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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三 三角形角中有关的几何模型（二）
模型四　双角平分线模型
.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
【例4-1】如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【例4-2】如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（ ）
A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α
【例4-3】已知中，．在图1中、的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则_______________．
模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
【例4-4】如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（　　）
A． B． C． D．
【例4-5】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4-6】.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　．
模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
【例4-7】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系 ；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=∠E，求∠A的度数．
【例4-8】如图1，在△ABC中，∠CBM和∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．
(1)若，求∠BDC的度数：
(2)过点D作DE⊥BD，垂足为D，过点B作BFDE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．
【例4-9】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
针对练习4
1 .如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
2 .如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3 .如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
4 .如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
模型五 角的折叠模型
折纸中的角度
如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如图②,2∠A=∠1-∠2.
图1-11
模型结论的推导:
结论(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,
即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,
∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A.
自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A
模型的应用:
【例4-1】.如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝　 　．
【例4-2】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ．
【例4-3】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A． B． C． D．
针对练习5
1 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
2.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是( )
A. B. C. D.
3 .（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；
（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；
（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
模型六　双垂直模型
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【例6-1】如图，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，点C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为（ ）
A．94° B．92° C．90° D．88°
【例6-2】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【例6-3】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．
针对练习6
1 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形两锐角互余　）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （　三角形内角和定理　）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是　21　．
2 .已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
3 .（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三 三角形角中有关的几何模型（二）
模型四　双角平分线模型
1.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
【例4-1】如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则2∠1+2∠2+∠A＝180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC＝180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC＝90°∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，
∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，
∴2∠BOC﹣∠A＝180°，
∴∠BOC＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠BOC＝90°70°＝125°；
（2）∠BOC＝90°∠A＝125°；
（3）∠BOC＝90°n°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【例4-2】如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（ ）
A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α
【答案】B
【分析】先求出∠ABC＋∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求∠P的度数．
【详解】解：在四边形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝360° （∠A＋∠D）＝360° α，
∵BP和CP分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC＋∠PCB＝∠ABC＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCD）＝（360° α）＝180° α，
∴∠P＝180° （∠PBC＋∠PCB）＝180° （180° α）＝α．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC＋∠BCD的度数．
【例4-3】已知中，．在图1中、的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则_______________．
【答案】
【分析】首先根据三角形内角和定理求得，再由三等分角线可得，由三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：，
，
、的两条三等分角线分别对应交于、，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三等分角线求解．
模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
【例4-4】如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据外角性质得出，再由角平分线的性质得出，，最后根据外角性质得出，将，的值代入式子中进而得出结果．
【详解】解：设，
根据外角性质可知：，
平分，平分的外角，
，．
根据外角性质：，
．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线、外角的性质的理解与运用能力．主要涉及以下知识点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半．灵活运用相关知识点是解本题的关键．
【例4-5】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用AD平分∠EAC，推出∠EAD=∠CAD，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质判断①正确；根据，得到∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，得到∠ABC=2∠DBC，由此判断②正确；根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的定义整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判断出③正确；根据∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，得出∠BAC＝2∠BDC，判断出④错误．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD=∠CAD=∠ABC=∠ACB，
∴，故①正确；
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
∵，
∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ADC=∠ACF
=（∠ABC+∠BAC）
=（180°﹣∠ACB）
=（180°﹣∠ABC）
=90°﹣∠ABD
故③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，故④错误；
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系，是解题的关键．
【例4-6】.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　．
【分析】依据∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，即可得到∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，再根据∠A1CD是△A1BC的外角，即可得到∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，同理可得∠A2∠A1．
【解答】解：∵△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A＝32°，
同理可得，∠A2∠A132°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
【例4-7】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系 ；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=∠E，求∠A的度数．
【答案】(1)125
(2)∠Q+∠BPC=180°
(3)∠A＝72°
【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；
（2）根据角平分线的定义和平角的定义可得出，再由四边形的内角和定理可得结论；
（3）根据题意求出∠Q=54°，从而得∠QBC+∠QCB=126°，∠MBC+∠NCB=252°，∠ABC+∠ACB=108°，最后由三角形内角和定理可得结论．
（1）
如图，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠2+∠4=25°+30°=55°，
∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，
故答案为：125；
（2）
∵BP平分∠ABC，
∴
∵BQ平分
∴
又
∴，
同理可得，
∵
∴
（3）
∵∠EBQ＝90°．且∠Q＝∠E，
∴∠E+∠E=90°,
∴∠E=36°，,
∴∠Q=54°
∴∠QBC+∠QCB=126°，
∴∠MBC+∠NCB=252°
∴∠ABC+∠ACB=108°，
∴∠A＝180°-（∠ABC+∠ACB）=72°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．
【例4-8】如图1，在△ABC中，∠CBM和∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．
(1)若，求∠BDC的度数：
(2)过点D作DE⊥BD，垂足为D，过点B作BFDE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．
【答案】(1)59°
(2)见解析
【分析】(1)依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝118°，进而得出∠CBM+∠BCN＝360°﹣118°＝242°，再根据∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝121°，即可得出∠D＝180°﹣121°＝59°；
(2)依据DE⊥BD，BFDE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，进而得到BF是∠ABC的平分线．
（1）
解：∵△ABC中，∠A＝62°，
∴∠ABC+∠ACB＝118°，
又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，
∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣118°＝242°，
又∵∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，
∴∠CBD＝∠CBM，∠BCD＝∠BCN，
∴△BCD中，∠DBC+∠BCD＝(∠CBM+∠BCN)＝×242°＝121°，
∴∠BDC＝180°﹣121°＝59°；
（2）
如图2，∵DE⊥BD，BFDE，
∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴BF是∠ABC的平分线．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键
【例4-9】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P=
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．
针对练习4
1 .如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：如图，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠1=180°-2∠3，∠2=180°-2∠4，∴∠1+∠2=180°-2∠3+180°-2∠4，根据图形可得：∠A=180°-∠1-∠2=m，∴∠1+∠2=180°-m，∴180°-2∠3+180°-2∠4=180°-m，∴2（∠3+∠4）=180°+m，∴∠3+∠4=，又∵在△BOC中，∠BOC=180°-（∠3+∠4），∴∠BOC=180°-=，故选B．
2 .如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
3 .如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接AE，
则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°（180°﹣70°）
＝125°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4 .如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此结果形式可以不同，只要正确皆可）
【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；
（2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．
试题解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°．
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分线，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m．
（3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
模型五 角的折叠模型
折纸中的角度
如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如图②,2∠A=∠1-∠2.
图1-11
模型结论的推导:
结论(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,
即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,
∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A.
自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A
模型的应用:
【例5-1】.如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝　 　．
【答案】30°
【解答】解：设折痕为EF，连接CC′．
∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1+∠2＝2∠ECF，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，
∴∠1＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°
【例5-2】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
【例5-3】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
针对练习5
1 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
2.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由题意得到，再利用外角性质得出，即可求解．
【解答】
解：如图所示：
由题意得：，
根据外角性质得：，，
，
．
故选：．
3 .（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；
（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；
（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，，，
∴，整理得，，
∵，，∴，即；
（2）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即；故答案为：；
（3）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
模型六　双垂直模型
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【例6-1】如图，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，点C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为（ ）
A．94° B．92° C．90° D．88°
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠CED，则可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED，∠B＝∠D＝90°，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；熟练掌握三角形全等的性质定理是解题的关键．
【例6-2】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠BHD+∠HBD＝90°，
∵BE是△ABC的高，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠BHD＝50°．
如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故选：B．
【例6-3】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．
【答案】20°，110°．
【解答】解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，
∴∠BCH＝40°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
针对练习6
1 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形两锐角互余　）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （　三角形内角和定理　）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是　21　．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（3）①根据三角形的面积公式分别求出S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可；
②连接BF，设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （三角形内角和定理），∴CD⊥AB．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠AEC＝∠CFE；
（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，
∴S△ACDS△ABC＝9，S△ACES△ABC＝12，
∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；
②连接BF，
设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，
∵AB＝4AD，
∴S△BDF＝3x，
∵BC＝3CE，
∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，
∴x+3+2x+6+3x36，
解得，x＝3，
∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，
故答案为：21．
2 .已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，
∴∠BEF＝∠AFD，
∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），
∴∠BEF＝∠BFE
3 .（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；
（2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案．
【解答】解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠A＝180°；
（2）如图，由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠BAC＝180°．
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