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第四节 单摆
主讲老师：
20XX.XX.XX
目录
01
02
单摆的周期
单摆的回复力
课堂引入
曾经有个广东人到瑞士旅游，看到摆钟很漂亮，就买了一个回家，但是回到广东之后发现摆钟计时不准了，而在瑞士买的时候是很准的。后来就打电话投诉，但经过鉴定摆钟的质量是没有问题的。那问题出现在哪里？
如何设置钟摆才能让摆钟时间准确？
第一部分：单摆的回复力
钟摆来回摆动
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（一）单摆
生活中你还能举出哪些类似的例子运动和钟摆相同？
秋千的摆动
钟摆的摆动
游乐大摆锤的摆动
这些运动有属于哪类运动，要想研究该类运动规律，可以怎么处理？
机械振动
简谐运动
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（一）单摆
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
实验时要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
简化处理：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。
单摆是实际摆的理想化模型。
（1）忽略线的伸缩和质量；
（2）线长远大于球的直径；
（3）振动时空气阻力可以忽略；
单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（一）单摆
用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动;
方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（二）单摆的图像
方法一：从图像判断
如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（二）单摆的图像
第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。
得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？
第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（三）单摆的回复力
方法二：从单摆的受力特征判断
思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？
（1）平衡位置：最低点O
（3）回复力来源：重力沿切线方向的分力G2
切向：
法向：
（向心力）
（回复力）
Fx = G2 = mgsin????
?
O
O'
?
mg
T
（2）受力分析:如图
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（三）单摆的回复力
单摆的回复力为重力沿圆弧切向的分力：
F回=mgsinθ
????角很小时，用弧度制表示的????与它的正弦值近似相等
?
当θ很小时，x≈弧长
F = mgsinθ
位移方向与回复力方向相反
sinθ≈θ
= L?θ
可见，在摆角很小（θ＜50）的情况下，单摆做简谐振动。
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
（三）单摆的回复力
摆球运动到最低点O（平衡位置）时回复力是否为零？合力是否为零？
平衡位置：
x=0， ， 回复力为零


，合外力不为零
?
O
FT
G
第二部分：单摆的周期
钟摆来回摆动
（一）单摆的周期影响因素
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短；悬绳较长的秋千，周期较长；单摆的周期与哪些因素有关？
猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度
实验方法:控制变量法
实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
（一）单摆的周期影响因素
实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？
结论：单摆的振动周期与其摆长有关。
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？
【设计实验】
请根据如下问题设计实验。
1.如果让你设计一个实验，你认为应该首先注意什么问题？
2.你认为如何测量摆长才较为准确？
3.你认为如何测量周期才较为准确？
4.在探究周期和摆长关系的过程中，你认为如何更加形象直观的反映二者关系？
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
（1）实验器材的选择和实验条件控制
摆线要选择弹性小的轻质细线；
选择质量大、直径小的摆球；
振幅不要太大；竖直平面内摆动；实验中摆长不变......
（2）摆长的测量
竖直悬挂测摆线长L，用游标卡尺测摆球直径d；
（3）累积法测周期
摆球通过平衡位置时开始（停止）计时
【设计实验】
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
(4)实验步骤
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
（5）数据记录：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全振动个数N
平均用时t
周期T
摆长L
30
41.41s
1.38s
51.002cm
30
37.53s
1.25s
40.802cm
30
33.30s
1.11s
31.102cm
30
27.61s
0.92s
21.002cm
30
19.81s
0.66s
10.902cm
（4）数据处理方案
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
T-L2图像
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系
图像
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（三）单摆的周期
1.惠更斯原理：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。
2.周期公式：
惠更斯（荷兰）
3.单摆周期跟振幅、摆球的质量无关
4.理解:
（1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。
（2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（三）单摆的周期
（3）注意事项:
摆长L:悬点到球心的距离
适用条件:单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
4.理解:
5.等效摆长：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
做垂直纸面的小角度摆动：
l等效＝lsin α
垂直纸面摆动：
l等效＝lsin α＋l
纸面内摆动：
左侧：l等效＝l
右侧：
纸面内摆动：
l等效＝l
x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
（三）单摆的周期
根据以前所学知识，结合本节单摆周期规律，你能解释新课引入中广东商人购买的摆钟问题出在哪里了吗？
提示：两地的重力加速度g不同。
影响g的主要因素:
①g由单摆所在的空间位置决定。由 知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。
②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。
巩固提升
钟摆来回摆动
课堂小结
单 摆
摆球重力沿切线方向的分力F ＝ mg sinθ
单摆的周期????=????????????????
?
线的伸缩和质量不计
小球可看作质点（摆长为悬点到球心的距离）
θ 很小时，sin????≈????≈???????? ，F＝－k x (简谐运动的条件)，F ＝ mg sinθ≈mg????≈???????????? x
?
理想化模型
单摆的回复力
课堂练习
1.图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中(　　)
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处,速度为零,合力与回复力也为零
C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
答案:C
解析:摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A项错误;摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C项正确,B、D项错误。
课堂练习
2. 对于单摆,下列说法正确的是(　　)
A.单摆振动时,摆球受到的向心力大小处处相等
B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
答案:C
解析:单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用,把重力沿切向和径向分解,其切向分力提供回复力,细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力,向心力大小为 ,可见最大偏角处向心力为零,平衡位置处向心力最大,而回复力在最大偏角处最大,平衡位置处为零。故选项C正确。
课堂练习
3.有一单摆,其摆长l=1.02 m,已知单摆做简谐运动,单摆振动30 次用的时间t=60.8 s。
(1)当地的重力加速度是多大?
(2)如果将这个单摆改为秒摆,摆长应怎样改变?改变多少?
答案:(1)9.79 m/s2
(2)缩短　0.027 m
课堂练习
课堂练习
4.一个摆长为2 m的单摆,在地球上某地摆动时,测得完成100次全振动所用的时间为284 s。(结果均保留三位有效数字)
(1)求当地的重力加速度g。
(2)若把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,则该单摆振动周期是多少?
答案:(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s
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