资源简介

4.4.2对数函数的
图象和性质
复习导入
一般地，函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
?
注：①????????????????????系数是1
②底数????为大于0且不等于1的常数
③对数的真数仅有自变量????
?
复习导入
思考：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？
? 学习函数的一般模式(方法)：
解析式（定义）
图象
性质
应用
数形结合
分类讨论
新知探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=log2x
x
y
0.25
-2
0.5
-1
1
0
2
1
4
6
8
12
活动1：使用描点法画出y=log2x的图像
o
x
y
-
1
.
.
.
.
y=log2x
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}图象特征
代数表述
定义域 （0,+∞）
值 域 : R
在(0,+∞)上递增
图象位于????轴右方
?
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
活动2：在同一坐标系中作出函数????=????????????12????的图象.你有什么发现？
?
新知探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=lo????12x
x
y
0.25
2
0.5
1
1
0
2
-1
4
6
8
12
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
y
0.25
2
0.5
1
1
0
2
-1
4
6
8
12
=
= -log2x
log2 x
-1
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=lo????????????x
?
y=log2x
新知探究
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于什么对称？
(x, y)
(x, -y)
新知探究
活动3：类似的，你能画出????=????????????3????和????=????????????13????的图象吗？
?
????=????????????2????
?
????=????????????12????
?
????=????????????3????
?
????=????????????13????
?
????>1时，底大图低
?
新知探究
思考：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}对数函数的图象特征
对数函数的相关性质
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1


函数定义域为(0,+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为????，渐近线为????轴
?
loga1=0?过定点1,0
?
当x>1时，y>0
当00
当0当x>1时，y<0
增函数
减函数
新知探究
例3：比较下列各题中两个值的大小：
(1)????????????23.4，????????????28.5； (2)????????????0.31.8，????????????0.32.7； (3)????????????????5.1，????????????????5.9.
?
解：(1)∵????=????????????2????在定义域上单调递增
而3.4<8.5，∴????????????23.4(2)∵????=????????????0.3????在定义域上单调递减
而1.8????????????0.32.7.
(3)∵????=????????????????????
∴当????>1时，????=????????????????????在定义域上单调递增
而5.1>5.9,∴????????????????5.1 当0 而5.1<5.9,∴????????????????5.1>????????????????5.9
?
新知探究
1）当底数相同，
利用对数函数y=logax的单调性证明；
2）当真数相同，
利用函数图像或换底公式；
3）当底数、真数都不同，
利用中间量（多数利用1和0）；
对数比较大小
练习巩固
练习1：比较下列各题中两个值的大小：
(1)????????????50.75，????????????51.35； (2)????????????123，????????????143； (3)????????????23，????????????54.
?
解：(1)对数函数????=????????????5????在(0,+∞)上单调递增，
而0.75<1.35，∴????????????50.75(2)由于????????????123=1????????????312，????????????143=1????????????314，又对数函数????=????????????3????在(0,+∞)上单调递增，且0<14<12<1，∴????????????314∴1????????????312<1????????????314，即????????????123(3)(中间值法)∵????????????23>????????????22=1，????????????54????????????54.
?
练习巩固
变式1：已知 ????=????????????20.2，????=20.2，????=0.20.3则（ ）.
A.?????
【答案】：????
分析：∵????=????????????20.220=1，
????=0.20.3<0.20=1且????>0，即0 ∴???? 故选B.
?
练习巩固
练习2：解下列不等式：
(1)????????????17????>????????????17(4?????)； (2)????????????????12>1；
?
解：(1)据题意得：????>04?????>0????<4????? ，解得0(2)当????>1时，????????????????12>1=????????????????????，解得????<12.此时，????无解.
当01=????????????????????，解得????>12.此时，12 即不等式的解集为{????|12?
练习巩固
练习2：解下列不等式：(3)????????????????(2?????5)>????????????????(?????1).
?
解：(3)当????>1时，2?????5>0?????1>02?????5>?????1 ，解得????>4.即不等式的解集为{????|????>4}.
当00?????1>02?????5综上，当????>1时，解集为{????|????>4}；
当0?
练习巩固
变式2-1：不等式????????????13(5+????)?
【答案】：(?2,1)
?
变式2-2：若????????????????34<1，求a的取值范围.
?
解：据题意得，????????????????34①当????>1时，????=????????????????????是增函数，解得????>34，所以????>1；
②当0综上所述，01.
?
新知探究
思考：对数函数 y = loga x 和指数函数 y=ax 的图象有何联系？
y=x
o
y=ax
o
y= logax
y= ax
y=x
新知探究
动态演示
新知探究
x, y 位置互换
y=logax
互为反函数
【结论】对数函数y = loga x和指数函数y=ax的图象关于直线y=x对称．
y=logax和y=ax互为反函数
y=ax
x=logay
练习巩固
练习3：在同一直角坐标系中，函数????=1????????，????=????????????????(????+12)(????>0且????≠1)的图象
可能是( ).
?
【答案】：????
?
练习巩固
变式3-1：如图，若C1，????2分别为函数????=????????????????????和????=????????????????????的图象，则( ).
?
A.0C.????>????>1 D.????>????>1
?
【答案】：????
?
变式3-2：画出函数 ????=|????????????2(????+1)| 的图象，并写出函数的值域和单调区间.
?
其值域为[0,+∞),
单调递增区间为[0,+∞)，
单调递减区间为(?1,0).
?
小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????????>????
图象
定义域
(0,+∞)
值域
????
性质
过定点(1,0)，即????=1时，????=????????????????1=0
减函数
增函数
当????>1时，????<0；
当00.
当????>1时，????>0；
当0????=????????????????????与????=????????????1????????的图象关于????轴对称
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
定义域
值域
性质
减函数
增函数
对数函数的图象和性质
????=????????????????????与????=????????
互为反函数，
图象关于????=????对称。

展开更多......

收起↑