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人教A版2019必修第一册
第五章 三角函数单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
教学目标 1.掌握三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式，并用其化简求值证明；
2. 掌握三角函数性质并会熟练应用.
3．能够灵活应用和角、差角、二倍角公式进行化简求值证明．
核心素养 1.直观想象：三角函数的图象及变换；
2.数据分析：三角函数性质的综合应用；
3.数学运算：利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式化简求值；
4.数学建模：提高实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
三: 课时安排
5.1任意角和弧度制 约2课时
5.2三角函数的概念 约3课时
5.3诱导公式 约2课时
5.4三角函数的图像与性质 约4课时
5.5三角恒等变换 约6课时
5.6函数Y=Asin(wx+ ) 约2课时
5.7三角函数的应用 约2课时
小结 约3课时
本章教学时间约需 24 课时，具体分配如下 (仅供参考):
四： 课标解读
1.注重三角函数内容的整体性，体现内容之间的有机衔接
2. 充分体现三角函数作为刻画一类现实世界周期变化现象的数学模型的思想，提升学生的数学建模素养
3.注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象素养
4.突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导
5. 通过问题引导学生主动思维，使学生得到思维训练
主题 知识单元 核心知识 评价要求 个数
了解 理解 掌握 函数 三角函 数 角与弧度 任意角的概念和弧制 √ 2
弧度与角度的互化 √ 三角函数的概念和性质 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 6
同角三角函数的基本关系式 √ 诱导公式 √ 周期函数的定义 √ 三角函数 y=sinx，y=cos x，y=tan x的图象和性质 √ 函数 y=Asin(wx+φ)的图象和性质 √ 三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 3
二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的三角恒等变换 √ 三角函数的应用 三角函数的简单应用 √ 1
总计 2 8 2 12
五:本章核心任务
1.核心知识评价要求
思想方法 评价要求
数形结合 能利用单位圆，理解弧度制、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的余弦公式;能用“五点法”绘制三角函数、y=Asin(wx+φ)的图象，并能根据图象求出函数的解析式;能以三角函数的图象为基础，综合应用函数有关知识研究三角函数的性质，体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具;能根据三角函数图象得到其性质，同时也能在性质研究的基础上画出函数图象，能结合图象理解函数y=Asin(wx+φ)中参数的几何意义，并确定参数的值;能由函数y=sinx的图象，经过恰当的变化得到函数 y=Asin(wx+φ)的图象
函数与方程 能在函数定义的基础上理解三角函数定义，能在函数理论的指导下，对三角函数展开研究;能建立实际问题的函数模型，并利用函数的知识解决实际问题，能在解决实际问题的过程中，进一步感受三角函数刻画周期变化现象时的作用;在求解具体问题或推导公式时，注重应用列方程(组) 的方法求解
分类与整合 能根据角的终边的位置分类，选择适当的公式和化简程序，求出适合的角;能根据三角函数的符号特征，分类求解三角函数值问题.
转化与化归 能通过换元将复杂的三角函数型问题转化为基本的三角函数问题解决;能根据三角函数式中角与函数名的特征，选择恰当的公式将之变形转化;能灵活对待公式中角的关系，通过换元等方法将陌生问题转化为熟悉的三角函数图象和性质问题，并加以解决.
特殊与一般 能根据三角函数在一个周期内的图象与性质解决三角函数的整体性问题，能根据参数取特殊值时的变化情况，把握一般的变化情况;能借助于特殊问题的研究，解决类三角函数图象变化规律问题.
2.思想方法评价要求
关键能力 评价要求
抽象概括 能在具体情境中抽象出三角函数的概念，能利用特殊到一般、具体到抽象的方法概括出三角函数的定义、图象和性质之间的逻辑关系;能概括出函数 y=Asin(wx+φ)的图象特征，及其与正弦函数图象之间的关系;能够在熟悉的情境或新的情境中抽象出有关三角函数问题，并加以解决·
推理论证 能通过类比、归纳、演绎等推理过程，理解三角函数的定义、图象与性质之间的逻辑关系，能综合应用三角函数的图象、性质进行分析、推理和论证;能准确、规范使用函数有关术语和数学符号进行表达，并能解决有关问题
运算求解 能够了解同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、二倍角公式等的运算特点，正确进行运算;能够根据式中角和函数名的特征，选择运算方法，设计运算程序进行合理的三角恒等变换，解决问题;在解决三角函数图象性质的问题中，能体会程序化的思想的意义和作用.
直观想象 能借助三角函数的图象特征，研究它们的基本性质和变化规律;能用三角函数描述和表达数学问题，启迪解决些这问题的思路，体会数形结合·能根据问题情境，想象并构建相应的三角函数图形，借助图形提出问题，发现规律，并解决问题，体会数形结合的思想.
数学建模 能阅读、理解问题情境，合理确定正弦型函数中参数的取值，通过对已知材料的分析、整理，能清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，并能创造性地解决与物理、地理等学科有着紧密联系的具有周期性变化特征的实际问题·
3.关键能力评价要求
六、单元教学建议
1.把握本章内容的主要变化
2.加强单元教学设计，注重局部范围内知识的系统化
3.加强与其他学科的联系，借助信息技术形象化地说明周期变化
4.强调数学思想方法，提升学生的数学核心素养
5.加强数学学习方法的引导，提高数学思维水平
6.注重信息技术的使用，加强知识的发生发展过程，加深概念的理解与认识
七、单元学习难点及其突破
一、角的有关概念的判断
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
二、终边相同的角的表示及应用
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
三、任意角终边位置的确定和表示
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或 所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或 的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或 所在象限．
由0°＜ ＜30°，每次逆时针旋转120°可得 终边的位置．
五、用弧度数表示角
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
七、由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
八、判断三角函数值在各象限符号的攻略：
1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
九、利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π ，k∈Z.
2 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
3 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
十、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
1 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
2 若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
十一、灵活应用同角三角函数关系式求值
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
十二、三角函数式化简的常用方法
1 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
2 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
十三、应用同角三角函数关系式证明
1．证明恒等式常用的思路是：
(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；
(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；
(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：
(1)巧用“1”的代换；
(2)化切为弦；
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
十四、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1 “负化正”——用公式一或三来转化；
2 “大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
3 “小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
4 “锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
十五、解决条件求值问题的两技巧
1 寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
2 转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
十六、三角函数式化简的常用方法
1 合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
2 切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
十七、解决化简求值问题的策略：
1 首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
2 可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
十八、三角恒等式的证明的策略
1 遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，
或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
2 常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，
“1”的代换法.
十九、诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，)，k∈Z k∈Z
y＝cos x(x∈R) （k∈Z x＝kπ，k∈Z
二十、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，
可以通过相互平移得到．
3．正、余弦曲线的对称性
x 0 π 2π
sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1)
y b (或A＋b) A＋b (或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b
(或A＋b)
二十一、用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)
在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
二十二、正弦(余弦)函数图象的应用
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
二十三、求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
二十四、三角函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
二十五、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
二十六、正弦函数、余弦函数的单调性
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
二十七、三角函数值大小比较的策略
2 不同名的函数化为同名的函数.
3 自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
二十八、三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
1 y＝asin2x＋bsin x＋c a≠0 ，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
2 y＝Asin ωx＋φ ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin ωx＋φ 的范围，最后得最值.
二十九、有关正切函数的定义域、值域问题
1．求正切函数定义域的方法
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
三十、正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
三十一、正切函数单调性的应用
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
三十二、给角求值问题
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
三十三、给值求值问题的解题策略
1 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝ α－β ＋β
②
③2α＝ α＋β ＋ α－β
④2β＝ α＋β － α－β
三十四、已知三角函数值求角的解题步骤
1 界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
2 求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
3 结合三角函数值及角的范围求角.
三十五、辅助角公式及其运用
2 形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
三十六、两角和与差的正切公式的正用
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
三十七、公式T α±β 的逆用
三十八、两角和与差的正切公式的变形运用
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
三十九、对于给角求值问题，一般有两类：
1 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
四十、解决条件求值问题的方法
1 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
2 当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
四十一、证明三角恒等式的原则与步骤
1 观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2 证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
四十二、化简求值问题
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(4)下结论：结合(2)求值．
四十三、三角恒等式证明的常用方法
1 执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
2 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
3 拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除
它们之间的差异，简言之，即化异求同；
4 比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
5 分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直
到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
四十四、三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin ωx＋φ ＋k 或y＝Acos ωx＋φ ＋k 的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
四十五、应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1 方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2 注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
四十六、由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
四十七、确定函数y＝Asin ωx＋φ 的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
1 代入法：把图象上的一个已知点代入 此时A，ω已知 或代入图象与x轴的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 .
四十八、三角函数图象与性质的综合应用
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
五十、解三角函数应用问题的基本步骤

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