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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题五 《全等三角形》考点知识梳理专题训练
知识点归纳
知识点 1： 全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
知识点2：全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
知识点3： 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
知识点4 ：全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
知识点 5 判定全等三角形（边边边）
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
知识点6 判定全等三角形（边角边）
1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
知识点7 判定全等三角形（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
知识点8 判定全等三角形（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
知识点9 判定全等三角形（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
知识点10 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
知识点11 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
高频考点：
【考点1】全等图形．
【例1-1】下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【例1-2】下列四个选项图中，与题图中的图案完全一致的是（ ）
A． B． C． D．
针对练习1
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
B．
C． D．
2.下列说法正确的是（　　）
A．两个形状相同的图形称为全等图形
B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同
D．面积相等的两个三角形是全等图形
3 .如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 　 　°．

【考点2】全等三角形的性质．
【例2-1】下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2-2】如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE＝40°．则∠AED的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【例2-3】如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为　 　.
针对练习2
1 .若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）
A．30 B．27 C．35 D．40
2 .如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上，则∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．72° C．45° D．90°
3.如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点3】全等三角形的判定
【例3-1】如图，点在一条直线上，，求证：．

【例3-2】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【例3-3】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【例3-4】如图，∠A＝∠D＝90°，添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△DCB全等的有（　　）
①∠ABC＝∠DCB；
②∠ACB＝∠DBC；
③AB＝DC；
④AC＝DB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
针对练习3
1.如图，已知点是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
2 .如图，，，连接交于点O，点E，F在线段上，且．求证：．

3 .已知：如图，、是的高，且．求证：．

4.如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，，，．

(1)写出其他对应边及对应角；
(2)求线段及线段的长度．
【考点4】全等三角形的判定与性质
【例4-1】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【例4-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，则点C的坐标是（　　）

A．（﹣4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）
【例4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．
（1）求证：△ABF≌△ACG；
（2）求证：BE＝CG+EG．
针对练习4
1.如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
2 .如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
3 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
如图，CD＝BE，∠C＝∠B，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△ACD．
（2）若ME＝5，求DN的长度．
【考点5】全等三角形的应用
【例5-1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【例5-2】如图，把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得AB＝5米，则槽宽为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例5-3】如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
针对练习5
1 .如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
2 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带　②　块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是　 　．
3 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．
【考点6】角平分线的性质
【例6-1】如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．

【例6-2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【例6-3】如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是 cm．

针对练习6
如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
2 .如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
3.如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
【考点7】角平分线的判定
【例7-1】如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【例7-2】如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【例7-3】已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
针对练习7
1 .如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
2.求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等．
要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．
【考点8】尺规作图：（1）作一个角等于已知角（2）作已知角的平分线
【例8-1】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线，使直线直线．
作法：如图，
①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．
【例8-2】如图，已知锐角，．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上且，请连接，求证：．
针对练习8
1.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题五 《全等三角形》考点知识梳理专题训练
知识点归纳
知识点 1： 全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
知识点2：全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
知识点3： 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
知识点4 ：全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
知识点 5 判定全等三角形（边边边）
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
知识点6 判定全等三角形（边角边）
1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
知识点7 判定全等三角形（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
知识点8 判定全等三角形（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
知识点9 判定全等三角形（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
知识点10 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
知识点11 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
高频考点：
【考点1】全等图形．
【考点1】全等图形．
【例1-1】下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，，
∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
【例1-2】下列四个选项图中，与题图中的图案完全一致的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【详解】解：将原图绕其中心顺时针旋转144度后，可以和A中的图形重合；
原图通过旋转变换不能得到与B、C、D中的图形重合，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等形的识别，通过旋转找出原图与选项中的图形重合是解题的关键。
针对练习1
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2.下列说法正确的是（　　）
A．两个形状相同的图形称为全等图形
B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同
D．面积相等的两个三角形是全等图形
【答案】C
【解答】解：A、两个形状相同、大小相同的图形是全等图形，故原命题错误，不符合题意；
B、两个圆的形状相同但大小不相同，不是全等图形，故原命题错误，不符合题意；
C、全等图形的形状、大小都相同，正确，符合题意；
D、面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
3 .如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 　 　°．

【答案】95．
【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°
∴∠α＝∠C′＝95°，
故答案为：95．
【考点2】全等三角形的性质．
【例2-1】下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据全等的定义和性质判断即可．
【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；
②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；
③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；
④若，则，，故④错误；
故正确的有1个．
故选：A
【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．
【例2-2】如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE＝40°．则∠AED的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】由△ABC≌△DEC，得∠DEC＝∠B＝73°，BC＝EC，再求出∠CEB＝∠B，最后根据平角的性质即可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝EC，∠CED＝∠B，
∴∠CEB＝∠B，
∵∠BCE＝40°，
∴∠CEB＝∠B＝＝70°，
∴∠AED＝180°﹣∠DEC﹣∠CEB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：A．
【例2-3】如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为　 　.
【答案】 或 或（-1，3）
【解析】【解答】解：因为 与 的一条边 重合
当点D在 的下方时，满足条件的坐标有 和 ；
当点D在 的上方时，满足条件的坐标是 .
故满足条件的为 或 或（-1，3）
针对练习2
1 .若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）
A．30 B．27 C．35 D．40
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
2 .如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上，则∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．72° C．45° D．90°
【答案】C
【解答】解：如图所示，∵AB＝AD＝1，BC＝DE＝2，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠1，
∴∠1+∠2＝∠2+∠AED＝∠BEF，
∵EF＝BF＝1，∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠1+∠2＝∠BEF＝45°．
故选：C．
3.如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质得出△DOC的周长为10，进而得出△DBC的周长＝△DOC的周长+BC即可．
【解答】解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，
∴△DOC的周长为10，OB＝OC，
∴△DBC的周长＝DO+OB+DC+BC
＝DO+OC+DC+BC
＝△DOC的周长+BC
＝10+4
＝14．
故选：C．
【考点3】全等三角形的判定
【例3-1】如图，点在一条直线上，，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
【例3-2】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【例3-3】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【例3-4】如图，∠A＝∠D＝90°，添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△DCB全等的有（　　）
①∠ABC＝∠DCB；
②∠ACB＝∠DBC；
③AB＝DC；
④AC＝DB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题意和图形，可以得到∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，然后根据各个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理即可求解．
【解答】解：①添加条件∠ABC＝∠DCB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC与△DCB全等，故①符合题意；
②添加条件∠ACB＝∠DBC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC与△DCB全等，故②符合题意；
③添加条件AB＝DC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC与△DCB全等，故③符合题意；
④添加条件AC＝DB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC与△DCB全等，故④符合题意．
故选：D．
针对练习3
1.如图，已知点是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由得，即，从而即可证得；
（2）由可得，，即可得到，从而即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2 .如图，，，连接交于点O，点E，F在线段上，且．求证：．

【分析】利用已知条件证明，推出，由，得到，即．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明．
3 .已知：如图，、是的高，且．求证：．

【分析】根据、是的高得到直角，再证明≌即可得到结论．
【详解】证明：、是的高，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，利用证明直角三角形全等是本题关键．
4.如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，，，．

(1)写出其他对应边及对应角；
(2)求线段及线段的长度．
【答案】(1)对应边：和，和；对应角：和，和.
(2)，
【分析】（1）由和是对应角可知F和M点是对应点，结合最长边对应关系可知和相对应，再由对应边所对的角也是对应关系可知和是对应角，据此进行逐一判断即可；
（2）由（1）所得对应关系可知，，由，可得.
【详解】（1）解：对应边：和，和；对应角：和，和.
（2）∵，
∴，，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键.
【考点4】全等三角形的判定与性质
【例4-1】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】先证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠ABD，再根据外角的性质，即可求出∠3．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1＝∠ABD，
∵∠1＝25°，∠2＝35°，
∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°，
故选：C．
【例4-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，则点C的坐标是（　　）

A．（﹣4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）
【答案】B
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AOB与△BEC全等，进而解答即可．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
在△AOB与△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB＝EC＝1，BE＝OA＝3，
∴OE＝OB+BE＝1+3＝4，
∴点C坐标（1，﹣4），
故选：B．
【例4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．
（1）求证：△ABF≌△ACG；
（2）求证：BE＝CG+EG．
【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；
（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAG，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（ASA）；
（2）证明：∵△ABF≌△ACG，
∴AF＝AG，BF＝CG，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠CAD＝∠CAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF＝EG，
∴BE＝BF+FE＝CG+EG．
针对练习4
1.如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）78°．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
2 .如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
3 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
如图，CD＝BE，∠C＝∠B，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△ACD．
（2）若ME＝5，求DN的长度．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DN＝5．
【分析】（1）根据已知条件利用AAS证明△ABE≌△ACD；
（2）先根据△ABE≌△ACD得出AB＝AC，∠E＝∠D，再利用ASA证明△ABM≌△ACD，然后得出AM＝AN，再证明△ADN≌△AEM，从而得出DN＝ME．
【解答】（1）证明∵∠1＝∠2，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵CD＝BE，∠C＝∠B，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，∠E＝∠D，
∵∠C＝∠B，∠1＝∠2，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AN，
∵∠DAN＝∠EAM，∠E＝∠D，
∴△ADN≌△AEM（AAS），
∴DN＝ME＝5．
【考点5】全等三角形的应用
【例5-1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1＝∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠ACB+∠DEF＝90°．
故选：C．
【例5-2】如图，把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得AB＝5米，则槽宽为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接AB，如图，利用“SAS”证明△OAB≌△OA′B′，从而得到A′B′＝AB＝5m．
【解答】解：连接AB，如图，
在△OAB和△OA′B′中
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
∴A′B′＝AB＝5（m）．
答：槽宽为5m．
故选：C．
【例5-3】如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
针对练习5
1 .如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
2 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带　②　块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是　 　．
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带②去．
故答案为：②，ASA．
3 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
【考点6】角平分线的性质
【例6-1】如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．

【答案】2
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长．
【详解】，
，
即．
，
，
．
∵平分，
，
，
∴平分．
，
．
，
，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键．
【例6-2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3cm，
故选：A．
【例6-3】如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是 cm．

【答案】3
【分析】过D作于E．根据角平分线性质求解即可．
【详解】解：过D作于E．如图，

∵是的平分线，，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
针对练习6
如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【分析】由角平分线的性质得到OM＝OD＝ON，由△ABC的面积＝△AOB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，得到△ABC的面积＝（AB+BC+AC） OD，由△ABC的周长＝18，OD＝2，即可求出△ABC的面积＝×18×2＝18．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OM＝OD，ON＝OD，
∵△ABC的面积＝△AOB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，
∴△ABC的面积＝AB OM+BC OD+AC ON＝（AB+BC+AC） OD，
∵△ABC的周长＝18，OD＝2，
∴△ABC的面积＝×18×2＝18．
故选：C．
2 .如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】A
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可知OD＝OE＝OF．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵，
，
，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．
故选：A．
3.如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
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【答案】（1）30°；
（2）见解答．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再计算出∠PBC＝60°，则利用角平分线的定义得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分线的定义得到∠PAD的度数；
（2）过P点作PE⊥AB于E点，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PD，PE＝PC，从而得到PD＝PC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
【考点7】角平分线的判定
【例7-1】如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【例7-2】如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
【例7-3】已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明．
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数．
【详解】（1）证明：，，，
点D在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键．
针对练习7
1 .如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作于，如图，

又∵平分，，
∴，
即点到直线的距离为8cm；
（2）证明：∵平分，且于点，，
∴，
又，
∴，
∴点在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键。
2.求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等．
要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．
【详解】解；已知：如图，的外角平分线与外角平分线相交于点P．
求证：；
证明：如图，过点P作于F，于G，于H，
∵的外角平分线与相交于点P，
∴，，
∴．
即点P到三边、、所在直线的距离相等
∴三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．
【考点8】尺规作图：（1）作一个角等于已知角（2）作已知角的平分线
【例8-1】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线，使直线直线．
作法：如图，
①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．
【答案】（1）作图见解析；（2）等边对等角；同位角相等，两直线平行
【解析】解：（1）根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；
（2）由作图可知平分，
．
又，
．（等边对等角）．
，
．
，
∴直线直线．（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.
【例8-2】如图，已知锐角，．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上且，请连接，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）作图如图所示，
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点评】此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．
针对练习8
1.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
2．如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
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