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函数的零点和函数的模型
【考点梳理】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【题型归纳】
题型一：函数零点存在定理
1．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.
【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
又，.
故选：B
2．（2022上·云南临沧·高一校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由零点存在性定理求解即可.
【详解】函数是连续增函数，
，，可得，
∴函数的其中一个零点所在的区间是，
故选：D．
3．（2022上·广东深圳·高一校考期末）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间.
【详解】因为，
所以，，
又在上连续不间断，且单调增，
所以的零点一定位于区间，
故选：B.
题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值
4．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
【答案】C
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间内，需要求解
的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，
共计算次.
故选：C
5．（2023上·山东菏泽·高一统考期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案.
【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过次二分法计算后，区间长度变为，
又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，
所以，则，又，所以，又，故，
所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．
故选：C.
6．（2022上·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.
【详解】令，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
，
所以在上有唯一零点，即，故，
所以方程的根落在区间上，
故选：B.
题型三：函数的零点所在区间求参数问题
7．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围.
【详解】和在上是增函数，
在上是增函数，
只需即可，即，解得．
故选：B.
8．（2021上·北京·高一北京二中校考期末）已知关于的方程在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把方程解的问题转化为函数图像交点问题，结合图像即可得解.
【详解】
根据题意可得，
故转化为函数和的图像的交点，如图所示，
易知的图像的两个交点为和，
当过点时，
当过点时，
所以的取值范围是.
故选：A
9．（2021上·北京·高一清华附中校考期末）已知函数，若函数在上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由的奇函数的性质，转化为时有两解，结合函数图像即可得解.
【详解】
由，
所以为奇函数，根据对称性可得时有两个零点即可，
令，
可得，
若则，
即有两解，
结合对称性可得：
如图所示可得：，
所以.
故选：A
题型四：零点的个数或根个数问题
10．（2023上·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可.
【详解】因为，解之得或2，
当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，，的图象如图：
由图可知使得或的点有4个.
故选：A.
11．（2023上·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【分析】根据题意，分别做出函数和函数的图像，即可判断.
【详解】
分别做出函数和函数的图像，如上图所示，
由图像可知，两个函数的交点个数是，
所以函数的零点个数是.
故选:C
12．（2022上·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析得和共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解.
【详解】由得，
所以或，
作出函数的图象如下：
由题可得的图象与有2个交点，
所以的图象必须和有3个交点，
所以解得，
故选:C.
题型五：零点的分布问题
13．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）已知函数恰有3个不相等的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先考虑时，分与讨论，再考虑时的情况，列出不等式，即可得到结果.
【详解】当时，为减函数，且，若，此时当时，没有零点，则必须当时，有3个零点，由，得，，不满足；当时，当时，只有1个零点，要使恰有3个零点，则需当时，有2个零点，由得或，∴要使当时有2个零点，且，得，综上，实数的取值范围是，
故选：A．
14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
15．（2022上·安徽合肥·高一统考期末）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，令，则，可得，
设，其中，任取、，
则.
当时，，则，即，
所以，函数在上为减函数；
当时，，则，即，
所以，函数在上为增函数.
所以，，，，则，
故函数在上的值域为，
所以，，解得.
故选：A.
题型六：函数模型的应用
16．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
(人数) … 6 … 36 … 216 …
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】(1)，
(2)11个
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
17．（2023下·湖南株洲·高一统考期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.

(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)13点
(3)
【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；
（2）根据题意列出不等式，求解出答案即可；
（3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.
【详解】（1）当时，，
当时，把代入是常数
得：，解得：
（2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中.
则，
解得：第一次注射药物后开始第二次注射药物，
即最迟13点注射药物.
（3）第二次注射药物后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量：
每毫升血液中第二次注射药物的含量：，
所以此时两次注射药物后的药物含量为：.
18．（2023上·广东广州·高一统考期末）为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中
①求g(1)的表达式：
②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值．
【答案】(1)10小时
(2)35.73
【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，
浓度，分类讨论解出即可
（2）①由题意可得（），求即可；②由于利用基本不等式可求出其最小值
【详解】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度
则当时，由，即得，所以，
当时，由，得，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时.
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②
（），
（毫克/立方米）
，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时内空气中净化剂浓度达到最小值毫克/立方米
题型七：函数与方程的综合问题
19．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，求解的零点；
(2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点．
【分析】（1）通过解的根即可求解；
（2）利用参数分离法将不等式恒成立，进行转化，求的取值范围；
（3）结合函数图象的交点个数，即可得到结论．
【详解】（1）当时，，
当时，令，所以，由于，
故此时方程无解，无零点，
当时，令，所以，即，解得，（正根舍去）
综上可知：的零点为．
（2）由于对任意的，不等式恒不成立，故对任意的，不等式恒成立，
由于，且恒成立，
由于，故；
（3）由可得，变为，
令，
作的图象及直线，由图象可得：
当或时，有1个零点．
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点．

20．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知函数，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设，从而可得，得，，求解即可；
（2）由题意可得，设，则，，解法一讨论、、、判断单调性，从而求解；解法二，参变分离后，结合二次函数的单调性求解即可.
【详解】（1）当时，
设，则，即，得，，
所以方程的解为：，；
（2）因为，所以当或时，的最小值为9，
故．
设，则，，
若，在上单调递增，
则，故，不合舍去．
若，任取，则，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递增，，，不合舍去；
当时，，，即；
当时，在上单调递减，，，可得，
综上，．
另解：可得，即在时恒成立，
而在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，最大值为9，所以．
21．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的零点；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将代入即可得到解析式；
（2）利用，求出，从而得到的解析式，令其为0，解出即可；
（3）分离参数得，令，则，设，根据复合函数单调性即可得到其值域，则得到的范围.
【详解】（1）由题意，过点，即，解得
所以，.
（2）为上的奇函数，
∴，解得，即，其定义域为，关于原点对称，
且，
故此时为奇函数，
又，
令，则，即．即，解得．
（3）由在区间上恒成立．
得，即，
令，则，
令，
设，，根据对勾函数单调性知在上单调递减，
而为单调增函数，则根据复合函数单调性知：
在上单调递减，
∴，
若关于的不等式在区间上恒成立，则，
又为正实数．∴．
【强化精练】
一、单选题
22．（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】在定义域内单调递增，
，，，,
由于，所以零点所在的区间是
故选：C
23．（2022上·广东深圳·高一校考期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“二分法”的处理过程写出第二次所取区间即可.
【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号，
所以第二次所取区间可能是或.
故选：A
24．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（ ）（参考数据：）
A．5485 B．4018 C．2143 D．1765
【答案】D
【分析】代入数据计算，得到，计算得到答案.
【详解】，则，，解得，
第四天新增感染人数约为.
故选：D
25．（2022上·云南临沧·高一校考期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合函数图象分析得解.
【详解】因为，，所以函数图象如图，
当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解.
同理当也不满足.
当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解.
综上，要使方程有两个不同的解，需．
故选：C
26．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】结合图像可知，由此可推得，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围.
【详解】不妨设，
因为方程的根的个数即为与的交点个数，
由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则，
又因为，且，
则，可得，
又因为，即，
可得，
所以当时，取到最小值.
故选：B.

【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
27．（2023·全国·校联考二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.
【详解】由题意，，
所以），
即．又，所以．
因为，所以．
故选：B．
28．（2023上·贵州黔西·高一统考期末）已知函数定义在R上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用题给条件求得函数的奇偶性对称轴和周期，再利用数形结合的方法即可求得函数的零点个数.
【详解】定义在R上函数满足，可得为奇函数，
又由，可得有对称轴，
由，可得，
则最小正周期为4，
函数的零点即函数与函数图像交点的横坐标.
又当时，，
在同一坐标系内作出函数与函数图像如下：
两函数图像有3个公共点，
则函数的零点个数是3
故选：C
29．（2023上·上海金山·高一统考期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程，等价于 且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解.
【详解】解：要使方程，
当且仅当 且，
即方程等价于 且，
即，
所以方程有且仅有两个不同的整数解，
即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解，
函数的图象如图所示：
因为，
所以要使的整数解有且仅有两个解，
则其中一个整数解为0和-1，
即 ，解得，
故选：A
30．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a的取值范围，进而求出范围作答.
【详解】函数，当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
当时，在上递减，在上递增，，
作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点，
观察图象知，，，
显然有，且，由得，
即，则有，因此，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
二、多选题
31．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点0 B．
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；
由于，故B正确；
当时，所以在上单调递增，故C正确；
当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．
故选：BC．
32．（2023上·广东佛山·高一统考期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对C，由零点存在定理判断端点；
对AB，由函数单调性判断不等式；
对D，由对数运算形式分别得，，（），结合函数单调性即可得，即可判断.
【详解】对C，，，
，，
由零点存在定理得，函数的零点，函数的零点，C对.
对AB，由解析式知，、均为增函数，则，，A错B对；
对D，.
，令，则即.
∵是增函数，故，D对.
故选：BCD.
33．（2023上·江西南昌·高一统考期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．m的取值范围为 B．的取值范围为
C． D．最大值为1
【答案】AC
【分析】作出的大致图象，根据图象求出，，，的范围即可判断AB选项，由得到，的关系即可判断CD选项.
【详解】函数图象如图所示：

由图可得，A正确；
当时,, 故，B错误；
又且，
故, 可得，C正确
又可得， 又，故等号不成立,
即，D错误,
故选：AC.
34．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（ ）
A．实数的取值范围为 B．
C． D．的最大值为1
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，数形结合，可判断A,B,C；结合基本不等式可判断D.
【详解】由函数解析式作出函数图象，如图，
由题意结合图象可知，且，故C正确；
则，，则，
当且仅当时等号成立，
但，故等号取不到，即，D错误；
由于存在，使得，
结合图象可知，A错误；
当时，，直线与的图象只有两个交点，
此时不存在，使得，故B错误，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：诸如此类分段函数的综合性题目，由于解析式中的函数比较简单，故可作出函数图象，数形结合，比如结合图象的对称轴，图像的交点个数等来解决问题.
三、填空题
35．（2022上·江苏南京·高一校考期末）函数有 个零点．
【答案】2
【分析】将问题转化为方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，画出两函数的图象，即可求得结果.
【详解】函数的零点个数，就是方程的根的个数，
即函数和的图象交点个数，
函数和的图象如下图所示，

由图象可知，两函数图象有2个交点，
所以函数有2个零点，
故答案为：2
36．（2023上·广西玉林·高一统考期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的 倍．
【答案】100
【分析】根据题意得到方程组，两式相减后得到答案.
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏4.3级地震所散发出来的能量为，则①，②，
②-①得：，解得：．
故答案为：100．
37．（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的范围，又即可将问题转化为， 共有四个零点，结合函数的图像即可求解.
【详解】当时，则，
此时，则或，
当时，则，
此时，则，
故问题转为， 共有四个零点，
画出函数图像如下可知：则，
故答案为：
38．（2023上·云南红河·高一统考期末）已知函数满足，当时，.函数 (且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将函数零点个数转化成函数图像交点个数的问题，根据题意分别画出两函数图象，利用数形结合列出所需满足的关系式，解不等式即可得.
【详解】函数在区间上恰有20个零点，
则函数图象与函数图象在区间上有20个交点，
由知，是周期为2的函数，
作函数与函数的部分图象如下：

易知当时，函数图象与函数图象有17个交点，故在上有3个交点，
显然不满足题意，
所以则需，解得
故答案为：
四、解答题
39．（2023上·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期末）已知指数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；
（2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由题意，设（，且），
∵的图象过点，
∴，解得，
故函数的解析式．
（2）∵，
∴，
令，因为，所以，
∴，，
函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，
则，即，解得，
故实数的取值范围为．
40．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可；
（2）令求出函数的零点，利用已知条件中零点的范围求解即可.
【详解】（1）由已知得函数为偶函数，
则，即，
化简整理得，即恒成立，故．
（2）由得，
即，，
所以的两个零点为，，
因为，，且，所以，且，
解得，且．
故a的取值范围是．
41．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数且函数是偶函数
(1)求的解析式
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围
(3)若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据是偶函数得函数的对称轴，从而求解，代入即可求解解析式；
（2）令，分离参数即可得到，求出的最大值，即可求解；
（3）令,化为关于的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得，从而求得另外的根，即求得函数的零点.
【详解】（1）将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，所以.
（2）令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立.所以.
令，，则，从而，
所以当时，取到最大值为，所以.
（3）令，则，
方程可化为，
即，也即.
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以.
所以，解得或.由，得，
由，得，所以该函数的零点为0，，2.
42．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有多年历史．清乾隆游览杭州西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足．
(1)求常数的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到分钟）
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感
【分析】（1）将，代入函数解析式可得出实数的值；
（2）当时，，然后解方程即可得解.
【详解】（1）解：因为茶水温度从开始，即当时，，解得.
（2）解：当时，，
当时，，即，
所以，，
所以，刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
43．（2022上·陕西宝鸡·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)证明：当时，只有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入即可求的，进而得，即可求解；
（2）结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴，∴.
从而，
∵，
∴，即，
故不等式的解集为.
（2）证明：的定义域为.
当时，在上为增函数，
而在上也为增函数，
则在上为增函数.
∵，
∴当时，只有一个零点.
44．（2022上·福建泉州·高一统考期末）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:
组别 1 2 3 4 5 6 7
声强I（W/cm2） 10-11 2×10-11 3×10-11 4×10-11 10-10 ① 9×10-7
声强级D（dB） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②
现有以下三种函数模型供选择:，，.
(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；
(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)，理由见解析，
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；
（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；
（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.
【详解】（1）选择.
由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是
同一个常数，所以不应该选择一次函数；
同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；
故应选择.
由已知可得，即，解得，
所以解析式为.
（2）由（1）知，
令，可得，，故①处应填；
又当时，，
故②处应填.
（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，
由已知，
故有，
所以，
因此，即，所以.
45．（2023上·山东泰安·高一统考期末）已知函数．
(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；
(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；
(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由奇函数的定义求解；
（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；
（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．
【详解】（1）由题知，当，，
设．则，所以，
因为是奇函数，所以，
又因为
所以；
（2）令，整理得，
因为有且只有一个零点，
所以方程有且只有一根或两相等根，
当时，，符合题意，
当时，只需
所以，此时，符合题意
综上，或．
（3）在上任取，且，则，．
所以，所以在上单调递减．
所以函数在上的最大值与最小值分别为，．
所以，
即，对任意成立．
因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以当时，y有最小值，所以，解得．
所以a的取值范围为．
46．（2023上·广西玉林·高一统考期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)证明函数在上的单调递增；
(3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数，由求解；
（2）利用函数单调性的定义求解；
（3）根据（2）知在上的单调递增，结合在区间上的值域为，转化为在上有两个不同实根求解.
【详解】（1）解：函数为奇函数，
，
即，
当时显然不成立，
故，．
（2）证明：定义域，
任取，则，
，，，
，
，
，在上的单调递增．
（3）由（2）知在上的单调递增，
在区间上的值域为，
，且且，
即，是方程的实根，
问题等价于在上有两个不同实根，
令，显然，
则，
即，解得，故的范围．函数的零点和函数的模型
【考点梳理】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【题型归纳】
题型一：函数零点存在定理
1．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·云南临沧·高一校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·广东深圳·高一校考期末）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B．
C． D．
题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值
4．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
5．（2023上·山东菏泽·高一统考期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022上·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（ ）
A． B． C． D．
题型三：函数的零点所在区间求参数问题
7．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021上·北京·高一北京二中校考期末）已知关于的方程在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021上·北京·高一清华附中校考期末）已知函数，若函数在上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：零点的个数或根个数问题
10．（2023上·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
11．（2023上·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．（2022上·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
题型五：零点的分布问题
13．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）已知函数恰有3个不相等的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022上·安徽合肥·高一统考期末）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：函数模型的应用
16．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
(人数) … 6 … 36 … 216 …
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
17．（2023下·湖南株洲·高一统考期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.

(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：）
18．（2023上·广东广州·高一统考期末）为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中
①求g(1)的表达式：
②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值．
题型七：函数与方程的综合问题
19．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，求解的零点；
(2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数.
20．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知函数，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
21．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的零点；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
【强化精练】
一、单选题
22．（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022上·广东深圳·高一校考期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（ ）（参考数据：）
A．5485 B．4018 C．2143 D．1765
25．（2022上·云南临沧·高一校考期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
27．（2023·全国·校联考二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2023上·贵州黔西·高一统考期末）已知函数定义在R上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2023上·上海金山·高一统考期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
30．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
31．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点0 B．
C．在上单调递增 D．在上单调递减
32．（2023上·广东佛山·高一统考期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2023上·江西南昌·高一统考期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．m的取值范围为 B．的取值范围为
C． D．最大值为1
34．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（ ）
A．实数的取值范围为 B．
C． D．的最大值为1
三、填空题
35．（2022上·江苏南京·高一校考期末）函数有 个零点．
36．（2023上·广西玉林·高一统考期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的 倍．
37．（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 .
38．（2023上·云南红河·高一统考期末）已知函数满足，当时，.函数 (且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
39．（2023上·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期末）已知指数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．
40．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
41．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数且函数是偶函数
(1)求的解析式
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围
(3)若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
42．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有多年历史．清乾隆游览杭州西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足．
(1)求常数的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到分钟）
（参考数据：，，，）
43．（2022上·陕西宝鸡·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)证明：当时，只有一个零点.
44．（2022上·福建泉州·高一统考期末）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:
组别 1 2 3 4 5 6 7
声强I（W/cm2） 10-11 2×10-11 3×10-11 4×10-11 10-10 ① 9×10-7
声强级D（dB） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②
现有以下三种函数模型供选择:，，.
(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；
(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由.
45．（2023上·山东泰安·高一统考期末）已知函数．
(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；
(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；
(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
46．（2023上·广西玉林·高一统考期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)证明函数在上的单调递增；
(3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

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