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第一章 《集合与常用逻辑用语》检测题
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．数集中的不能取的数值的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
3．集合的非空真子集的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（ ）
（1）；
（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数；
（3）.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”，
①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（ ）
A．R B． C． D．Q
10．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．① B．② C．③ D．④
12．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“”是真命题，则a的取值范围为
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，，则 ．
14．若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 .
15．命题：“，都有”的否定： .
16．设，则“"是“”的 条件．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
18．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
19．已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
20．全集，若集合，.
(1)求；；
(2)若集合，，求的取值范围.
21．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
22．已知集合为非空数集，定义.
(1)若集合，请证明，并直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合，且，求证：.
数学参考答案
1．D
【分析】直接根据集合的互异性即可得结果.
【详解】由集合的互异性可得，即，
所以不能取的数值的集合是，
故选：D.
2．C
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，故①是假命题；
记，
当时，，因为，，，所以；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，，当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，依次类推，
当时，，，，所以，
下面讨论时，集合中元素与集合的关系，
因为，有，，且，所以，
综上所述，，有，
即，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
3．B
【分析】根据集合中有个元素，从而可求解其非空真子集的个数，即可求解.
【详解】由题意知集合中有个元素，
所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确.
故选：B.
4．D
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断．
【详解】由已知，因此AB错，C表达方式错，D正确．
故选：D．
5．D
【分析】根据集合相等的概念和集合的交集运算以及集合间的基本关系判断即可.
【详解】因为集合，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，D，根据集合间的基本关系可知，故C错误，D正确.
故选：D.
6．D
【分析】由集合交集和补集的定义计算.
【详解】集合，，，
则，.
故选：D
7．B
【分析】根据命题与命题的否定的关系求解.
【详解】命题的否定为，为假命题；
存在整数1，它既不是合数，又不是质数，
所以命题至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数为真命题，
所以它的否定为假命题；
为假命题，所以它的否定为真命题；
故选:B.
8．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，
则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.
所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.
故选：B
9．ABD
【分析】根据新定义逐个选项检验即可得解.
【详解】对A，任意两个实数的和、差、积仍是实数，故R是封闭集合，故A正确；
对B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故是封闭集合，故B正确；
对C，取，则，故不是封闭集合，故C错误；
对D，任意两个有理数的和、差、积仍是有理数，故是封闭集合，故D正确；
故选：ABD
10．AD
【分析】根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，所以不成立，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为或，所以，故D正确；
故选：AD.
11．ACD
【分析】根据可判断①；取可判断②；取可判断③④.
【详解】对于①，，故①为真命题；
对于②，,但不成立，故②为假命题；
对于③，存在，使得，故③为真命题；
对于④，当时，，故④是真命题.
故选:ACD.
12．ACD
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可.
【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确；
对于B，不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，，即，
即，故a的取值范围为，故C正确；
对于D，关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据集合间的运算直接得解.
【详解】由，，
得，
故答案为：.
14．
【分析】根据题中条件可得方程无实数解，则，解出即可.
【详解】由题意可知方程无实数解，
所以，解得，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
15．，都有
【分析】根据全称命题的否定直接得出答案.
【详解】由全称命题的否定，得
命题：“，都有”的否定为：，都有.
故答案为：，都有.
16．必要不充分
【分析】解不等式得到，根据推出关系得到答案.
【详解】，故，解得，
因为，但，
故“"是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
17．【详解】（1）因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
（2）当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
18．【详解】（1）若，满足，此时，即，
当时，要使，则，即，即，
综上实数的取值范围为.
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于，
若时，
当，满足，此时，即，
当时，，
若，则满足或，
即或，
综上若，得或，
则当时，即实数的取值范围是.
19．【详解】（1）当时，，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，所以，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是.
（2）因为“，使得”是真命题，所以，
当时，
若，成立，此时，解得；
若，则有或，解得，
所以时，的取值范围是或，
所以命题为真命题时的取值范围是.
20．【详解】（1）由集合，
，
所以，，
（2）因为，可得，
又因为，且，所以，
所以实数的取值范围是.
21．【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”
22．【详解】（1）由，
集合，所以，所以，
因为，
所以.
（2）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故n的最小值为675.
（3）由于集合，，
则集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.

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