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第五章 三角函数
函数y=Asin(ωx+φ）的图象
一、学习目标
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)+b的实际意义．
2．能借助图象理解参数ω、φ、A、b的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
3.会运用函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题
二、重点难点
1、三角函数图象的变换
2、三角函数的图象变换求三角函数的性质
3、三角函数图像的综合问题
三、核心知识
　正弦型函数的图像变换
在同一坐标系中作出y＝sin，y＝3sin x，y＝sin x，y＝sin 3x，y＝sin x，y＝sin x的图像(图略)并回答下列问题．
1．观察y＝sin x，y＝3sin x，y＝sin x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像？
提示：函数y＝Asin x的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，
即y＝sin x的图像
y＝Asin x的图像．
2．观察y＝sin x，y＝sin的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin(x＋φ)的图像？
提示：函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”)，
即y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像．
3．观察y＝sin x，y＝sin 3x，y＝sin x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin ωx(ω＞0)的图像？
提示：函数y＝sin ωx的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到，
即y＝sin x的图像y＝sin ωx的图像．
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
三、核心例题
题型1、三角函数图象的变换
1．已知函数，为了得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有的点向左平移个单位
B．将函数图象上所有的点向右平移个单位
C．将函数图象上所有的点向左平移个单位
D．将函数图象上所有的点向右平移个单位
【答案】B
【详解】由题设，即只需将图象上所有的点向右平移个单位.
故选：B
2．已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，故，
则，
则向右平移个单位长度后得到.
故选：A
3．为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：A
4．将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，
再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.
故选：C
5．已知函数，则将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于原点对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，
即，
又图像关于原点对称，可得，即，，
， .
故选：C.
题型2、三角函数的图象变换求三角函数的性质
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
则，
由，得，即，，
则当时，对称轴为，
故选A.
7．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A.
8．若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，再向右平移个单位可得解析式为
，由其图象关于y轴对称，
得，得，，
当 时，得的最小值是.
故选：C
9．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到图象，则函数（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】C
【详解】解：由题意可得，，
由得，故C对、D错；
由得，故A、B错；
故选：C．
10．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）
A．最大值为3 B．最小正周期为
C．为奇函数 D．图象关于轴对称
【答案】D
【详解】依题意可得,
所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.
故选:D
题型3、三角函数图像的综合问题
11．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；
(2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程．
【详解】（1）令，，得，，
因此函数的单调递减区间是，．
令，，得，，因此函数图象的对称中心是，．
（2），先将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，
最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象．
12．不画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明怎样由正弦曲线得到它们的图象：
(1)；
(2)．
【详解】（1）由可知：振幅为，周期为，初相为，
把的图象向右平移个单位，
再使曲线上各点的横坐标变为原来的，
这时曲线就是函数的图象；
（2）可知：振幅为，周期为，初相为，
把的图象向左平移个单位，
再使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，
这时的曲线就是函数的图象.
13．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【详解】（1）由图可知，．因为，所以，．
代入有，
∴，
又∵，∴，∴；
（2）由题意知变换后
当时，令，即，
函数在时单调递减，此时，
函数在时单调递增，此时，
等价于有两解．
所以当时符合题意，即a的取值范围为．
当堂达标
一、单选题
1．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象
故选：D.
2．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，
故选：A
3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.
∴.
故选：B.
4．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（ ）
A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度
B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度
C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
【答案】D
【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到.
故选：D.
5．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】因为函数的最小正周期为，
所有，即，
因为，
所以只需将函数图象左平移个单位长度即可得到函数图象.
故选：.
6．以下平移能将函数的图象变成函数的图象的是（ ）
A．向右平移 B．向左平移
C．向右平移 D．向左平移
【答案】B
【详解】，
所以函数的图象向左平移得到.
故选：B
7．将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到，
令，解得，所以的对称中心为，
对于A：令，解得，所以是的一个对称中心，A正确；
对于B：令，解得，B错误；
对于C：令，解得，C错误；
对于D：令，解得，D错误，
故选：A
8．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】因为为奇函数，则，
所以，又，所以，解得，
因为，所以时，取得最小值，最小值为8.
故选：D
二、多选题
9．已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的一个单调增区间为
C．函数的一个对称中心是 D．函数的一条对称轴是
【答案】AD
【详解】对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：函数的单调递增区间满足：，
解得：，
取，得，取，得，
则函数在，上单调递增
即在上单调递减，故B错误；
对于选项C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；
对于选项D：函数的对称轴满足：，
解得：，取，得，故D正确.
故选：AD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．是函数图象的一条对称轴
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【详解】函数
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，得，
从而即时，单调递减，故B不正确；
对于C，，
所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；
对于D，，
所以的图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．已知函数．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数在区间上的单调递减区间为 ．
【答案】
【详解】将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数，
当，可得，
令，解得，即函数的单调递减区间为.
故答案为：.
12．函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为 .

【答案】
【详解】由图象可知，
又，则，所以，
又在该曲线上，所以，
则，即，
又，则，故.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数的图像上相邻两条对称轴的距离是，的最大值与最小值之差为1，且的图像的一个对称中心是．
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
【详解】（1）因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
又，故，.
因为的最大值与最小值之差为1，故，，
又由的图像的一个对称中心是，故，
则，又，
故当时，，
故.
（2），，，
，若方程在区间上有解，则，
故实数m的取值范围是
14．已知函数的部分图象如图所示，

(1)求的解析式；
(2)当时，求的最值．
【详解】（1）∵，，∴；
由图象可知：最小正周期，∴，
又，∴，解得：，
又，∴，∴；
（2）当时，，
∴当即时，，
∴当即时，，
∴当时，的最小值是－1，最大值是2．
15．已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
(1)求函数的周期及表达式；
(2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.
【详解】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，
可知，故周期，
由周期，所以，即函数，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故有，
所以函数的表达式为；
（2）由，可知，
由三角函数图像性质可得，
所以，
又因为函数对任意，都有恒成立，
故只需即可，即.
故参数的取值范围为.第五章 三角函数
函数y=Asin(ωx+φ）的图象
一、学习目标
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)+b的实际意义．
2．能借助图象理解参数ω、φ、A、b的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
3.会运用函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题
二、重点难点
1、三角函数图象的变换
2、三角函数的图象变换求三角函数的性质
3、三角函数图像的综合问题
三、核心知识
　正弦型函数的图像变换
在同一坐标系中作出y＝sin，y＝3sin x，y＝sin x，y＝sin 3x，y＝sin x，y＝sin x的图像(图略)并回答下列问题．
1．观察y＝sin x，y＝3sin x，y＝sin x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像？
提示：函数y＝Asin x的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，
即y＝sin x的图像
y＝Asin x的图像．
2．观察y＝sin x，y＝sin的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin(x＋φ)的图像？
提示：函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”)，
即y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像．
3．观察y＝sin x，y＝sin 3x，y＝sin x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin ωx(ω＞0)的图像？
提示：函数y＝sin ωx的图像，可以看作是把y＝sin x图像上所有的点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到，
即y＝sin x的图像y＝sin ωx的图像．
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
三、核心例题
题型1、三角函数图象的变换
1．已知函数，为了得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有的点向左平移个单位
B．将函数图象上所有的点向右平移个单位
C．将函数图象上所有的点向左平移个单位
D．将函数图象上所有的点向右平移个单位
2．已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
4．将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于原点对称，则（ ）
A． B． C． D．
题型2、三角函数的图象变换求三角函数的性质
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到图象，则函数（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
10．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）
A．最大值为3 B．最小正周期为
C．为奇函数 D．图象关于轴对称
题型3、三角函数图像的综合问题
11．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；
(2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程．
12．不画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明怎样由正弦曲线得到它们的图象：
(1)；
(2)．
13．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
当堂达标
一、单选题
1．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
2．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（ ）
A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度
B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度
C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
5．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．以下平移能将函数的图象变成函数的图象的是（ ）
A．向右平移 B．向左平移
C．向右平移 D．向左平移
7．将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的一个单调增区间为
C．函数的一个对称中心是 D．函数的一条对称轴是
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．是函数图象的一条对称轴
D．的图象关于点对称
三、填空题
11．已知函数．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数在区间上的单调递减区间为 ．
12．函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为 .

四、解答题
13．已知函数的图像上相邻两条对称轴的距离是，的最大值与最小值之差为1，且的图像的一个对称中心是．
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
14．已知函数的部分图象如图所示，

(1)求的解析式；
(2)当时，求的最值．
15．已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
(1)求函数的周期及表达式；
(2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.

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