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第五章 三角函数
三角函数的应用
一、学习目标
1.用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题；
2.将某些实际问题抽象为三角函数模型。
二、重点难点
1、三角函数模型在物理中的应用
2、三角函数模型在生活中的应用
三角函数模型在圆周中的应用
4、三角函数模型在几何中的应用
三、核心知识
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1、简谐运动的振幅就是A.
2、简谐运动的周期T＝.
3、简谐运动的频率f＝＝.
4、ωx＋φ称为相位．
5、x＝0时的相位φ称为初相．
二、三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
三、建立函数模型的一般步骤
四、运用三角函数模型解决问题的几种类型
1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
五、解三角函数应用问题的基本步骤
六、建立三角函数拟合模型的注意事项
1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
三、核心例题
题型1、三角函数模型在物理中的应用
1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故选：D
2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
3．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（ ）cm．（精确到0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
【答案】B
【详解】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取，
又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，
所以函数的最小正周期为，即，解得，
即线长约为cm.
故选：B.
题型2、三角函数模型在生活中的应用
4．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期（min），
则此人的心跳为次/分，故④正确；
故选：C
5．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时
C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时
【答案】B
【详解】当时，，
由，得，
所以(时)；
由，得，
所以(时).
故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.
故选：B
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
因为圆的半径为则点的纵坐标为，
又因为筒车的轴心到水面的距离为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：D
题型3、三角函数模型在几何中的应用
7．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，因为，
，
所以，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
，
故选：D
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，记，在中，，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，
由，所以当，即时，取最大值，为,
故选：A.
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为
A．； B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
当堂达标
一、单选题
1．如图，是底部为不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某测量小组为了测得改建筑物的高度，选择了一条水平基线，在两处用测角仪分别测得的仰角分别为，（三点共线）．已知测角仪的高度为，，则该建筑物的高度约为（　　）m．
A．35 B．18 C．17 D．15
【答案】B
【详解】延长交于点，则，，，
因为，，所以，故，
在Rt中，，
故.
故该建筑物的高度约为.
故选：B
2．如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于表示距离，为非负数，所以BC选项错误.
点的初始位置为，在第四象限，
所以A选项符合，D选项不符合.
故选：A
3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
4．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A
【详解】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，则．故选:A
5．一金字塔位于某人的正东方向上，某人在点A测得金字塔顶端C的仰角为，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端C的仰角为，则金字塔的高度为（ ）米．（忽略人的身高）
A． B． C．40 D．
【答案】A
【详解】解：设CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CDtan60°x，
在Rt△CDB中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝CDtan30°x，
∵AB＝80米，
∵xx＝80，即x＝40米
故选：A．
二、多选题
6．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：

体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷
【答案】BC
【详解】由题图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为．
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．BC选项正确.
故选: BC
7．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12
B．
C．时，过山车距离地平面40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
【答案】ACD
【详解】由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因为，所以，所以.
对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即，，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.
故选：ACD.
三、解答题
8．已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位．
【详解】∵正弦交流电，
∴电流的峰值是，
周期是，
频率是，
初相位是．
9．半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)由题意得:
在中,设,由正弦定理得
　　　　　
所以,
(2)由(1)得：
当时达最大值
即,当平行四边形面积达到最大值．
10．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【详解】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.

（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.第五章 三角函数
三角函数的应用
一、学习目标
1.用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题；
2.将某些实际问题抽象为三角函数模型。
二、重点难点
1、三角函数模型在物理中的应用
2、三角函数模型在生活中的应用
三角函数模型在圆周中的应用
4、三角函数模型在几何中的应用
三、核心知识
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1、简谐运动的振幅就是A.
2、简谐运动的周期T＝.
3、简谐运动的频率f＝＝.
4、ωx＋φ称为相位．
5、x＝0时的相位φ称为初相．
二、三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
三、建立函数模型的一般步骤
四、运用三角函数模型解决问题的几种类型
1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
五、解三角函数应用问题的基本步骤
六、建立三角函数拟合模型的注意事项
1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
三、核心例题
题型1、三角函数模型在物理中的应用
1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（ ）cm．（精确到0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
题型2、三角函数模型在生活中的应用
4．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时
C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）

A．
B．
C．
D．
题型3、三角函数模型在几何中的应用
7．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为
A．； B．
C． D．
当堂达标
一、单选题
1．如图，是底部为不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某测量小组为了测得改建筑物的高度，选择了一条水平基线，在两处用测角仪分别测得的仰角分别为，（三点共线）．已知测角仪的高度为，，则该建筑物的高度约为（　　）m．
A．35 B．18 C．17 D．15
2．如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．一金字塔位于某人的正东方向上，某人在点A测得金字塔顶端C的仰角为，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端C的仰角为，则金字塔的高度为（ ）米．（忽略人的身高）
A． B． C．40 D．
二、多选题
6．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：

体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷
7．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12
B．
C．时，过山车距离地平面40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
三、解答题
8．已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位．
9．半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
10．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.

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