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(共23张PPT)
二次根式的加减
R·八年级数学下册
创设情境，导入新课
　　问题　现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
7.5 dm
8dm2
18dm2
问题引入，自主探究
1. 活动一中问题的关键是要比较
与 7.5 的大小，用计算
器算一下 成立吗？
5 dm
7.5 dm
8dm2
18dm2
不成立.
探究点 1 可以合并的二次根式
5 dm
7.5 dm
8dm2
18dm2
2. 将 与 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？
为什么？
, ,可以合并，由于它们有共同的因数 ，可以利用分配律进行合并.
即
5 dm
7.5 dm
8dm2
18dm2
归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.
3. 若 和最简二次根式 可以合并，则 m = ______.
2m-1 = 5
3
[对应训练]
1. 下列各式中，能与 合并的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）
A. B. C. D.
D
D
探究点 2 二次根式的加减
（1） ；
例 1 计算：
（2） .
解：（1） ；
（2） .
[选自教材P13]
例 2 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
（2） .
1. 计算 ，并说明其中的依据.
将 看成共同的因式，依据是分配律.
2. 教材 P13 例 1 和例 2 的计算中先做了什么？后做了什么？
先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并.
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
归纳总结：
3. 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减,第一步是化简,第二步是合并被开方数相同的二次根式,第二步类似于整式的加减中的合并同类项.
[对应训练]
（1） ；
（3） .
（2） ；
1. 下列计算是否正确？为什么？
错误，因为 ；
错误，因为 ；
正确.
原式= ；
（1） ；
2. 计算：
（2） ；
（3） ；
（4） .
原式= ；
原式= ；
原式= .
3. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 12.56 和 25.12.
求圆环的宽度 d（π 取 3.14，结果保留小数点后两位）
.
d
解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，
答：圆环的宽度 d 约为 0.83.
[巩固练习]
1. 可以合并的二次根式
例 1 若最简二次根式 与二次根式 可以合并，求 a，b 的值.
解：首先把二次根式 化为最简二次根式，即
由题意得 解得 故 a = 1，b = 1.
4a+3b = 2a-b+6，
3a-b = 2，
a = 1，
b = 1.
2. 二次根式的加减
例 2 已知 4x2 + y2-4x-6y + 10 = 0，求 的值.
解：∵4x2+y2-4x-6y+10 = 0，∴4x2-4x+1+y2-6y+9 = 0，
∴(2x -1) 2 +(y -3) 2 = 0. ∴x = ，y = 3.
当 x = ，y = 3 时，
3. 二次根式的大小比较方法：比较二次根式的大小，通常有
平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子
有理化法等.
（1）运用平方法
如：比较 和 的大小.
解：∵( )2 = 32×2 = 18，( )2 = 22×3 = 12，
又 18 > 12，∴ > .
（2）运用作差法
如：比较 和 的大小.
解：∵( )2 = 32×2 = 18，( )2 = 22×3 = 12，
∴ > .
（3）运用作商法
如：比较 和 的大小.
解：∵ ，
∴ > .
（4）运用倒数法
如：比较 和 的大小
（其中 n 为正整数）.
解：∵ ，
又 n 为正整数，
∴ ，∴ .
（5）运用分子有理化法
如：比较 和 的大小.
解：∵ ，
又 ，∴ ，
即 .
[课堂总结]
什么样的二次根式可以合并？二次根式的加减的一般步骤是怎样的？
类比整式的加减
二次整式的加减
化简
合并
计算
应用

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