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第十五章分式易错精讲与跟踪练习-数学八年级上册人教版
易错精讲
易错题一：
【例1】
已知，求的值．
答案.
【分析】设，得到，代入分式求值即可．
【详解】解：设，则．
∴
．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．
易错题二：
【例2】
阅读材料：关于x的方程：的解为：，；的解为：，；（可变形为的解为：，；根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程的解为____；
②方程的解为_______．
(2)解关于x的方程：．
答案．(1)①；②
(2)，
【分析】（1）按照题目材料找到规律即可求解；
（2）按照题目材料找到规律对方程进行变形求解．
【详解】（1）①的解为：，，
方程的解为，，
故答案为：，；
②的解为：，，
时，
或，
解得，，
故答案为：，；
（2）原方程变形为，，
由题意可得或，
解得，，
即原方程的解为，，
【点睛】此题考查了通过新定义求解分式方程的能力，关键是能准确理解并运用定义进行求解．
易错题三：
【例3】
张老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示燃油车、新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．（保留两位有效数字）
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（结果保留整数）（年费用年行驶费用年其他费用）
答案．(1)燃油车的每千米行驶费用为元；新能源车的每千米行驶费用为元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.05元；②当每年行驶里程大于5421千米时，买新能源车的年费用更低．
【分析】（1）根据表中的额信息，可以分别计算出燃油车和新能源车的每千米行驶的费用．
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元和（1）中的结果，可以列出分式方程，然后求解即可，注意分式方程一定要检验；
②根据题意，列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，
燃油车的每千米行驶费用为元，
即燃油车的每千米行驶费用为元；
新能源车的每千米行驶费用为元，
即新能源车的每千米行驶费用为元．
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元，
∴，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，．
答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.05元．
②设每年行驶里程为x 千米．
由题意得：，
解得．
答：当每年行驶里程大于5421千米时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，从而列出相应的分式方程和不等式．
易错题四：
【例4】
为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
答案．(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
(2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个；
(3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案；
（2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案；
（3）根据（2）代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴m为：或，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种个，乙种个；
方案二：购买甲种个，乙种个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为：（元），
方案二费用为： （元），
∵，
∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．
跟踪练习
1．已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
2．已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
3．【探究思考】
（1）探究一：观察分式的变形过程和结果，．
填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大．
（2）探究二：观察分式的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果．
【问题解决】（3）当时，求分式的最小值．
4．已知，求代数式的值．
5．某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了，行驶全程所需时间减少了4小时．
(1)求列车提速前的速度；
(2)现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．
6．《三湘都市报》华声在线2月21日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中．从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同．
(1)求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？
(2)总共有大小货车共20辆，每天需运出432立方米泥土，大小货车各需要多少辆？
7．无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
8．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天
(1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮；
(2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？
9．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
10．《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
11．阅读下列材料：
方程有两个解，它们是，；
关于x的方程：上有两个解，它们是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是，；
…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
12．综合与实践
为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，用元购买队服的套数是用元购买足球的个数的倍．
(1)每套队服和每个足球的价格分别是多少？
(2)甲商场优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过套，则购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．
(3)在（2）的条件下，若需要购买个足球，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．
13．2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣。某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的1.5倍，用12000元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套，求、两款套装的单价分别是多少元．
14．某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．
(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？
(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？
15．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：
(1)商场两次共购进了多少件服装？
(2)两笔生意中商场共盈利多少元？
16．乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条米长的道路，在修建米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的倍，结果共用天完成了全部任务．
(1)原来每天修建道路多少米？
(2)请求出该村是提前多少天完成修建任务的？
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可.
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2．(1)
(2)且．
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，
且，即：且，
即：且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
3．（1）9；（2）；（3）
【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知，然后再变形即可解答；
（2）模仿（2）分式的变形过程即可解答；
（3）先根据题意将将变形成，然后分、、三种情况解答即可．
【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数，
∴当时，
∵，
∴当时，最小，分式的值最大；
故答案为：9．
（2）；
（3）当时，，
∴当时，原分式有最小值为；
当时，原式，
∴当时，原分式有最小值为；
∴当时，分式的最小值为．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的关键．
4．，
【分析】根据非负数的性质列出方程组求出a,b,再根据分式的混合运算法则先化简后代值求解即可．
【详解】解：由已知，得
解得
原式
，
当，时， 原式．
【点睛】本题考查非负数的性质、分式的混合运算、解二元一次方程组等知识，正确运用法则是解题的关键，是中考常考题型，可以通过此类题目的训练提高计算能力．
5．(1)列车提速前的速度为100千米/小时
(2)
【分析】（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：列车提速前的速度为100千米/小时．
（2）第一次提速后的速度为（千米/小时），
第一次提速后行驶全程所需时间为（小时）．
依题意得：，
解得：，
∴．
答：m的取值范围为．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程和不等式组，是解题的关键．
6．(1)小货车每辆运输16方，大货车每辆运输24方
(2)大货车需要14辆，小货车需要6辆
【分析】（1）设小货车每辆运x立方米，则大货车每辆运立方米，根据大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同，列出方程进行求解即可；
（2）设小货车有a辆，根据每天需运出432立方米泥土，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设小货车每辆运x方，则大货车每辆运立方米，
依题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解．
则大货车为：（立方米）．
答：小货车每辆运输16立方米，大货车每辆运输24立方米；
（2）设小货车有a辆，则大货车有辆．
依题意得：，
解得：，
则大货车为（辆）．
答：大货车需要14辆，小货车需要6辆．
【点睛】本题考查列方程解决实际问题．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．
7．(1)
(2)队的施工速度更快
【分析】（1）根据题意找出等量关系列方程即可得到方程；
（2）根据题意找出数量关系列方程解方程，再利用作差法即可得到正确结果．
【详解】（1）解：队单独建设需要个月，队单独建设需要个月，
根据题意可得方程：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为，
答：若队单独建设需要个月，队单独建设需要个月．
（2）解：设队单独建设需要个月，根据题意得：，
解得：，
∴ ，
∵，
∴，即，
∴队的施工速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程应用， 分式方程的运算法则，作差法比较大小等相关知识点，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
8．(1)一名熟练工每天可以生产6个大齿轮
(2)安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套
【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意得，
，
解得：（经检验，是原方程的解），
答：一名熟练工每天可以生产6个大齿轮
（2）解：设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意得，
解得：，
答：安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9．(1)制作每个甲种用米材料，制作每个乙种用2米材料
(2)100个
【分析】（1）设制作每个乙种边框用米材料，则制作甲种边框用米材料，再根据题目中的数量关系列出分式方程，求根验证即可；
（2）设应安排制作甲种边框需要米，则安排制作乙种边框需要米，再根据题目中的数量关系列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：（1）设制作每个乙种边框用米材料，则制作甲种边框用米材料，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（米），
答：制作每个甲种用米材料，制作每个乙种用2米材料．
（2）解：设应安排制作甲种边框需要米，则安排制作乙种边框需要米，
由题意得：，
解得：，
，
答：应最多安排制作甲种边框100个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找出等量（不等）关系，列出分式方程（一元一次不等式）．
10．里
【分析】设善行者走里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走里时就追上了不善行者，
根据题意，
解得.
答：善行者走里时追上了不善行者.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)，．
【分析】（1）找到规律：的解为，，据规律解题即可．
（2）根据例题解方程即可求解．
【详解】（1）猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；
（2）由得，
，，
，．
【点睛】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.
12．(1)每个足球的价格是元，则每套队服的价格为元
(2)甲商场购买装备所花的费用为：；乙商场购买装备所花的费用为：
(3)乙商场购买比较合算，理由见解析
【分析】（1）设每个足球的价格是元，则每套队服的价格为元，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）买队服的费用+购买足球的费用=总费用，按照此计算方法即可；
（3）把代入（2）中到两商场的费用的表达式中，计算出值，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每个足球的价格是元，则每套队服的价格为元，根据题意得，
，
解得：，
∴每套队服价格为（元），
答：每个足球的价格是元，则每套队服的价格为元；
（2）解：甲商场购买装备所花的费用为：
乙商场购买装备所花的费用为：；
（3）解：当时，甲商场购买装备所花的费用为：（元），
乙商场购买装备所花的费用为：（元）
，
∴乙商场购买比较合算．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列代数式，代数式求值，根据题意列出方程和代数式是解题的关键．
13．款套装的单价是150元，款套装的单价是100元
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解方程后检验即可得出结论．
【详解】设款套装的单价是元，则款套装的单价是元．
依题意得：
解得：
经检验：是原方程的解且符合题意．
∴．
答：款套装的单价是150元，款套装的单价是100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
14．(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元
(2)43件
【分析】（1）设乙物品的单价是x元，则甲物品的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入中，可求出甲物品的单价；
（2）设购买m件甲物品，则购买件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）设乙物品的单价是x元，则甲物品的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．
（2）设购买m件甲物品，则购买件乙物品，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为43．
答：最多能购买甲物品43件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
15．(1)200件
(2)13200元
【分析】（1）设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，根据题意．列出方程，即可求解；
（2）根据销售这两批服装的总收入总成本所获利润，即可得到答案．
【详解】（1）解：设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，根据题意，得
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：商场两次共购进了200件服装；
（2）解：元，
答：共盈利13200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
16．(1)米
(2)天
【分析】（1）设原来每天修米，则采用新的修建技术后每天修米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据原来的用时减去15，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：设原来每天修米，则采用新的修建技术后每天修米，
由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天修道路米．
（2）（天）．
答：该村是提前天完成修建任务的．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
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