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第五章
5.3.1 诱导公式（二、三、四）
学习目标
1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四.
2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.
知识框架
复习回顾
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系. 由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.
????????????(????+?????2????)=????????????????
????????????(????+?????2????)=????????????????
??????????(????+?????2????)=????????????????
?
其中????????????
?
诱导公式一: 终边相同的角的三角函数值相等
复习回顾
公式一研究的是终边相同的角的同一三角函数的值相等，我们利用公式一，可以将任意范围内的角的三角函数值转化到[0,2π)内的角的三角函数值，
那么如何继续将 [0,2π)间的角的三角函数值转化到我们熟悉的0,????2)间的角的三角函数值呢？
?
思考：已知????????????300=12，求下列各式的值：
①sin2100 ②sin3300 ③sin1500
?
探究新知
探究一：在单位圆中研究角????与角????+????的三角函数值的关系。
?
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，设P1(x, y). 将角α的终边按逆时针方向旋转角π，终边与单位圆交于点P2，则P2是点P1关于原点的对称点，所以P2(?x, ?y).
?
?+?
O x
y
P1(x,y)
P2 (-x,-y)
sinα=y，
cosα=x，
tanα= ???????? ；
?
sin(π+α)=?y，
cos(π+α)=?x，
tan(π+α)= ?????????? = ???????? ；
?
探究新知
诱导公式二：终边关于原点对称的角（即角????与角????+????）
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????????????(????+????)=?????????????????,
????????????(????+????)=?????????????????,
????????????(????+????)=????????????????.
?
探究新知
探究二：你能类比公式二，证明下列公式吗？
诱导公式三：终边关于????轴对称的角（即角????与角?????）
?
????????????(?????)=?????????????????,
????????????(?????)=????????????????,
????????????(?????)=?????????????????.
?
探究新知
探究二：你能类比公式二，证明下列公式吗？
诱导公式四：终边关于????轴对称的角（即角????与角π?????）
?
????????????(?????????)=????????????????,
????????????(?????????)=?????????????????,
????????????(?????????)=?????????????????.
?
知识梳理
诱导公式二
????????????(????+????)=?????????????????,
????????????(????+????)=?????????????????,
????????????(????+????)=????????????????.
?
诱导公式一
sin(α+k?2π)=sinα
cos(α+k?2π)=cosα
tan(α+k?2π)=tanα
?
诱导公式三
sin(?α)=?sinα,
cos(?α)=cosα,
tan(?α)=?tanα.
?
诱导公式四
sin(π?α)=sinα,
cos(π?α)=?cosα,
tan(π?α)=?tanα.
?
其中????????????
?
知识梳理
说明：
1.公式中的????是指任意角，即使正切有意义的角，但在记忆时通常将????看做锐角。
2.诱导公式二、三、四的结构特征：函数名不变，符号看象限。
3.公式可以用弧度制表示，也可以用角度制表示。
?
知识梳理
思考：已知????????????300=12，求下列各式的值：
①sin2100 ②sin3300 ③sin1500
?
①????????????2100=????????????(1800+300)=?????????????300=?12;
?
②????????????3300=????????????(3600?300)=????????????(?300)=?????????????300=?12;
?
③????????????1500=????????????(1800?300)=????????????300=12.
?
学以致用
题型一：给角求值问题
例1 利用公式求下列三角函数值
（1）????????????225° （2）????????????8????3
（3）????????????(?16????3) （4）????????????(?2040°)
?
学以致用
学以致用
学以致用
利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:
反思感悟
学以致用
学以致用
题型二：给值（式）求值问题
例2.（1）已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　)
A. 45 B．?45 C．±45 D.35
?
学以致用
因为α是第一象限角，所以sin α>0，
学以致用
（2）已知????????????(????6?????)=33，则????????????(????+5????6)= .
?
变形1：若本例（2）中的条件不变，如何求????????????(?????13????6)？
?
变形2：若本例（2）中的条件不变，求????????????(5????6+????)?????????????2(?????????6)的值。
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学以致用
变形1：若本例（2）中的条件不变，如何求????????????(?????13????6)？
?
学以致用
变形2：若本例（2）中的条件不变，求????????????(5????6+????)?????????????2(?????????6)的值。
?
学以致用
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
反思感悟
解决条件求值问题的策略
学以致用
跟踪训练2
(1)若cos 165°=a,则tan 195°=(　　)
学以致用
答案 (1)B　(2)-a
学以致用
学以致用
题型三：三角函数的化简求值问题
学以致用
学以致用
（1）利用诱导公式，主要是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
（2）化简时函数名不发生改变,但一定要注意符号的改变.
（3）同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用“切化弦”,有时也将弦化切.
（4）注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
反思感悟
利用诱导公式一至四化简应注意的问题
学以致用
学以致用
学以致用
强化素养：分类讨论思想在诱导公式中的应用



分析因为n∈Z,所以n可能为偶数,也可能为奇数,两和情况下诱导公式所得结果不同,所以需要分类讨论.
学以致用
【规范答题】
课堂小结
1.知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性；
(2)诱导公式二、三、四.
2.方法归纳：函数名不变，符号看象限.
3.常见误区：符号的确定.
4.诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系. 主要体现了化归和数形结合的数学思想.
课堂小结
本 课 结 束

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