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4.3.1 等比数列的概念
重难点
重点：1、理解等比数列的概念与通项公式的意义；2、掌握等比数列性质的应用；
难点：1、掌握等比数列的通项公式及其应用；2、在实际问题中发现等比关系；
常考题型
知识梳理
一、等比数列的定义及通项公式
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2、对等比数列概念的理解
（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；
（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；
（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；
（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；
（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。
3、等比数列的通项公式
（1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.
（2）通项公式的变形：或
二、等比中项
1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列
2、对等比中项概念的理解
（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
此时，，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；
（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，
即在等比数列中，
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
三、等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即，，，…仍是等比数列，公比为
2、等比数列的运算性质
在等比数列中，若，则；
（1）特别地，时，；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质
若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，
则数列、、也是等比数列；
四、等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
五、等比数列常用的两种解题方法
1、基本量法（基本方法）
（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；
（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。
2、性质法（利用等比数列的性质解题）
（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。
题型精析
题型一 等比数列的定义
【例1】（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【变式1-1】（2022·高二课时练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【变式1-2】（2023·浙江绍兴·高二校考期中）（多选）下列数列为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（ ）．
A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列
C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列
题型二 等比数列的通项与基本量
【例2】（2023·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
【变式2-1】（2023·上海·高二七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列．
（1）若，，求；
（2）若，，求和q；
（3）若，，求.
题型三 等比中项及其应用
【例3】（2022·海南·高二统考期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．， B．2， C．， D．1，
【变式3-1】（2023·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）“”是“，，成等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【变式3-2】（2022·江苏南京·高二校联考阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3-3】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
题型四 等比数列的性质
【例4】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ）
A． B．3 C．±3 D．
【变式4-1】（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．32 D．64
【变式4-2】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【变式4-3】（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列中，若，，则 .
题型五 等比数列的证明
【例5】（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.
【变式5-1】（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，且.
（1）求，并证明是等比数列；
（2）求的通项公式.
【变式5-2】（2023·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
（2）求数列的通项公式．
【变式5-3】（2023·高二课时练习）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．
（1）当时，求、的值；
（2）试判断数列是否为等比数列？请说明理由．
题型六 由等比数列构造新数列
【例6】（2023·全国·高二课时练习）在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
【变式6-2】（2023·高二课时练习）（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列；
（2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列．
【变式6-3】（2022·高二课时练习）已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
题型七 等比数列的单调性与最值
【例7】（2023·江苏南京·高二统考期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式7-1】（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
【变式7-2】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-3】（2023·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
题型八 等比数列的实际应用
【例8】（2023·重庆·高二南开中学校考期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫 徵 商 羽 角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“徵 商 羽”的频率成等比数列 B．“宫 徵 商”的频率成等比数列
C．“商 羽 角”的频率成等比数列 D．“宫 商 角”的频率成等比数列
【变式8-1】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿
【变式8-2】（2023·辽宁·高二校联考阶段练习）明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·安徽黄山·高二统考期末）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.A地景区2001年的旅游人次为600万次，把景区门票价格提高到110元后，每年的旅游人次以10万次的年增加量逐年增长；B地景区2001年的旅游人次为300万次，取消景区门票以后，每年的旅游人次以11%的年增长率逐年增长.如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，那么从（ ）年起，B地的旅游收入将会超过A地.（参考数据：）
A．2008 B．2009 C．2010 D．20114.3.1 等比数列的概念
重难点
重点：1、理解等比数列的概念与通项公式的意义；2、掌握等比数列性质的应用；
难点：1、掌握等比数列的通项公式及其应用；2、在实际问题中发现等比关系；
常考题型
知识梳理
一、等比数列的定义及通项公式
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2、对等比数列概念的理解
（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；
（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；
（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；
（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；
（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。
3、等比数列的通项公式
（1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.
（2）通项公式的变形：或
二、等比中项
1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列
2、对等比中项概念的理解
（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
此时，，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；
（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，
即在等比数列中，
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
三、等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即，，，…仍是等比数列，公比为
2、等比数列的运算性质
在等比数列中，若，则；
（1）特别地，时，；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质
若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，
则数列、、也是等比数列；
四、等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
五、等比数列常用的两种解题方法
1、基本量法（基本方法）
（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；
（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。
2、性质法（利用等比数列的性质解题）
（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。
题型精析
题型一 等比数列的定义
【例1】（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【答案】C
【解析】，A选项错误；，B选项错误.
因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确.
，D选项错误.故选：C
【变式1-1】（2022·高二课时练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【答案】D
【解析】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D
【变式1-2】（2023·浙江绍兴·高二校考期中）（多选）下列数列为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】A：，则不为定值，不满足；
B：，则不为定值，不满足；
C：，则为定值，且，满足；
D：，则为定值，且，满足.故选：CD
【变式1-3】（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（ ）．
A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列
C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列
【答案】B
【解析】设新数列为，则，
因为为等比数列，故，故，
而，故为等比数列且公比为，故选：B.
题型二 等比数列的通项与基本量
【例2】（2023·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
【答案】B
【解析】设数列的公比为q，
则，所以，，所以．故选：B．
【变式2-1】（2023·上海·高二七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，
则，，.故选：B.
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为．
由，得，解得，
又
得．故选：A
【变式2-3】（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列．
（1）若，，求；
（2）若，，求和q；
（3）若，，求.
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】（1）因为数列为等比数列，且，，
所以，
（2）因为，，
所以，解得，
（3）因为，，
所以，
由题意可知，
所以，所以，解得或，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上或
题型三 等比中项及其应用
【例3】（2022·海南·高二统考期末）和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A．， B．2， C．， D．1，
【答案】C
【解析】和的等差中项为，
和的等比中项为.故选：C.
【变式3-1】（2023·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）“”是“，，成等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】由题意当时，成立，但此时，，构不成等比数列；
反之，当，，成等比数列时，必有成立，
故“”是“，，”成等比数列的必要不充分条件，故选：B
【变式3-2】（2022·江苏南京·高二校联考阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意得,,
故所以故选: .
【变式3-3】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】A
【解析】因为等比数列，则，故.故选：A
题型四 等比数列的性质
【例4】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ）
A． B．3 C．±3 D．
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A．
【变式4-1】（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
则，即，解得，
所以．故选：C．
【变式4-2】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【答案】B
【解析】数列是正项等比数列，，
由，得，得，
.故选：B.
【变式4-3】（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列中，若，，则 .
【答案】64
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，可得，
所以.
题型五 等比数列的证明
【例5】（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.
【答案】（1）证明见解析；（2），数列不是等比数列
【解析】（1）由，，
得，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，
所以
所以数列不是等比数列.
【变式5-1】（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，且.
（1）求，并证明是等比数列；
（2）求的通项公式.
【答案】（1），证明见解析；（2）
【解析】（1）由，，
得，
，，
∴，
是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知.
【变式5-2】（2023·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）是等比数列，；（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；
是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
【变式5-3】（2023·高二课时练习）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．
（1）当时，求、的值；
（2）试判断数列是否为等比数列？请说明理由．
【答案】（1），；（2）当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
【解析】（1）由题意可得，，.
（2）当时，.
由，两式相减得.
当时，不是等比数列；
当时，可得，,当时,,,
所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列.
综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
题型六 由等比数列构造新数列
【例6】（2023·全国·高二课时练习）在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．
【答案】81，27，9，或－81，27，－9
【解析】设插入的3个数为，，．
由题意得243，，，，3成等比数列．
设公比为，则，解得．
因此，所求3个数为81，27，9，或－81，27，－9．
【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
【答案】；或
【解析】（方法一）依题意，，，由等比数列的通项公式，得，解得．
当时，插入的3个数分别为；
当时，插入的3个数分别为．
因此，插入的3个数分别为；或．
（方法二）因为等比数列共有5项，即．
又因为，所以，即．
又因为要与同号，因此1．
类似地，有，而且与同号．因此：
当时，
当时，．
因此，插入的3个数分别为；或．
【变式6-2】（2023·高二课时练习）（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列；
（2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列．
【答案】（1）或，（2）或
【解析】（1）设插入的两个数分别为，即这四个数为，
因为前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
所以，解得，或，
所以这个数列为或，
（2）设这个等比数列的公比为，由题意得，
所以，得，得，或，
当时，，，，
，，
当时，，，，
，，
所以这个等比数列为，或.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
【答案】答案见解析.
【解析】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，
这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，
这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，
这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论：
在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，
这个新数列是等比数列，它的公比为.
题型七 等比数列的单调性与最值
【例7】（2023·江苏南京·高二统考期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】因为各项为正数，且，所以，即，
所以为递增数列，充分性成立，
若为递增数列，则，
因为各项为正数，所以，必要性成立.故选：C
【变式7-1】（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
【答案】A
【解析】根据“2023积数列”性质可知，
即，
根据等比中项性质可知：，
因为，且，
所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的，
即为递增的等比数列，且，
则当其前n项的乘积取最小值时n的值为1011.故选：A.
【变式7-2】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，
显然数列为不是递增数列，
因此有，，所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，故选：B
【变式7-3】（2023·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】由题意知，：由得，由得，
所以，又，所以，故错误；
：由得，故正确；
：因为是各项为正数的等比数列，，有
所以，所以，故错误；
：，则与均为的最大值，故正确.故选：
题型八 等比数列的实际应用
【例8】（2023·重庆·高二南开中学校考期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫 徵 商 羽 角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“徵 商 羽”的频率成等比数列 B．“宫 徵 商”的频率成等比数列
C．“商 羽 角”的频率成等比数列 D．“宫 商 角”的频率成等比数列
【答案】D
【解析】设“宫”的频率为，
则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为，
所以“宫 商 角”的频率成等比数列,公比为.故选：D
【变式8-1】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿
【答案】B
【解析】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，
其中，公比，
所以2022年进出口累计总额为（万亿）.故选：B
【变式8-2】（2023·辽宁·高二校联考阶段练习）明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该等比数列的公比为，则，即，
则夹钟和南吕的波长分别为，，
故夹钟和南吕的波长之积为.故选：B.
【变式8-3】（2023·安徽黄山·高二统考期末）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.A地景区2001年的旅游人次为600万次，把景区门票价格提高到110元后，每年的旅游人次以10万次的年增加量逐年增长；B地景区2001年的旅游人次为300万次，取消景区门票以后，每年的旅游人次以11%的年增长率逐年增长.如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，那么从（ ）年起，B地的旅游收入将会超过A地.（参考数据：）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】C
【解析】2002年为第1年，每年到A地景区旅游人次依次排成一列构成10为公差的等差数列，
则第n年到A地景区旅游人次为万，，
每年到B地景区旅游人次依次排成一列构成1.11为公比的等比数列，
第n年到B地景区旅游人次为万，
因此第n年A地景区旅游收入为万元，
B地景区旅游收入为万元，
于是B地景区与A地景区旅游收入的差为
，
令，则，即数列是递增数列，
而，，因此，
所以从2010年起，B地景区的旅游收入将会超过A地景区.故选：C

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