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5.4抛体运动的规律
一、【学习目标】　
1.熟练掌握平抛运动的研究方法.
2.会用运动合成和分解的知识分析求解平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹为抛物线.
3.了解斜抛运动及其运动规律，知道运动的合成与分解是分析抛体运动的一般方法.
二、【考点精讲深化】
考点一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.
图1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
考点二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线.
考点三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sin θ.如图2所示.
图2
考点四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
图10
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
考点深化
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图4所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
图4
知识深化
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、【考点实战演练】
一、填空题
1．以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）水平方向：不受力，加速度是 ，水平方向为 运动，vx＝ 。
（2）竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma，所以a＝ ；竖直方向的初速度为 ，所以竖直方向为 运动，vy＝
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v与水平方向的夹角）。
【答案】 0 匀速直线 v0 g 0 自由落体 gt
【解析】略
2．如图所示，已知排球网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s，则要使排球既不触网又不出界，水平扣球速度的大小取值范围为 。

【答案】
【详解】排球通过球网且不触网有
可得
球不出界有
解得
综上所述水平扣球速度的大小取值范围为
3．在“研究平抛运动”的实验中，我们将小球的运动分解为水平方向做 运动，竖直方向做 运动，以求出平抛物体的初速度。实验时，要求小球每次应从斜槽上 （填“同一位置”或“不同位置”由静止滑下）。
【答案】 匀速直线 自由落体 同一位置
【详解】[1][2]平抛运动在水平方向上不受力，有初速度，根据牛顿第一定律知，小球在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向仅受重力，初速度为零，所以竖直方向上做自由落体运动。
[3]实验时，为了保证平抛运动的初速度相同，小球每次应从斜槽上同一位置由静止释放。
4．在 探究平抛物体的运动规律的实验中，某同学在坐标纸上描出小球平抛运动中的几个位置，如图中的A、B、C、D所示，图中每个小方格的边长为L＝1.25 cm，g取10 m/s2，则利用以上数据可求得：

①小球做平抛运动的初速度大小为 m/s.
②小球运动到B点时的竖直分速度大小为 m/s.
【答案】 0.7 0.525
【详解】在竖直方向上，根据△y=L=gT2得，T=，
则初速度．
B点的竖直分速度
【点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式和匀变速直线运动的推论灵活求解．
5．如图所示，小球从斜面顶端A处以速率做平抛运动，恰好落到斜面底部B点，且此时的速率的大小为。已知重力加速度为g，则斜面的倾角为 ，AB之间的距离为 。
【答案】
【详解】[1] 由勾股定理
解得
由竖直方向速度公式
解得
设斜面倾角为，由两分位移关系
解得
[2] 设AB之间的距离为L
6．2021年9月2日上午，第八批在韩中国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送从韩国接回辽宁沈阳，109位志愿军烈士英灵及1226件相关遗物回到祖国怀抱，沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图1所示。小华同学从物理角度对“水门”进行了研究，他建立坐标对照片处理后得到水在空中的轨迹如图2所示，两水柱在最高点相遇，已知照片与实际长度比例为1∶100，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，水的密度，，。
（1）位于坐标原点的喷水口的出水方向与水平方向夹角为 ，位于处的喷水口的出水方向和水平方向夹角为 。
（2）位于坐标原点的喷水口横截面积为80cm2，则其流量为 m3/s，从喷出到两水柱在最高点相遇的过程中，位于坐标原点的喷水口在空中形成的水柱质量为 kg。
【答案】 0.2 400
【详解】（1）设位于坐标原点的喷水口喷出水在水平方向和竖直方向的速度分别为、，其水平方向和竖直方向的位移分别为、，则由
解得
出水方向和水平方向夹角为，则
即
位于坐标原点的喷水口在水平方向和竖直方向的速度分别为、，其水平方向和竖直方向的位移分别为、，则由
出水方向和水平方向夹角为，则
即
位于x=70cm处的喷水口出水方向和水平方向夹角为
（2）位于坐标原点的喷水口出水的速度为
故其出水流量为
该喷水口在空中形成水柱的质量为
7．平抛运动的两个重要推论：
（1）做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有 。
（2）做平抛运动的物体在任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 。
【答案】 tan θ=2tanα 中点
【详解】（1）[1]平抛运动水平方向做匀速直线运动，则有
，
竖直方向做自由落体运动
，
联立可得
，
可知
（2）[2]根据
可知做平抛运动的物体在任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
8．如图甲所示为某人先后两次由斜面体顶端的O点沿水平方向抛出小球，这个过程可以简化为如图乙所示的模型，第一次的落点为斜面体上的A点，第二次的落点为斜面体上的B点，小球可视为质点，忽略空气阻力。已知，两次抛出小球的初速度分别用、表示，小球落到斜面体上的速度与水平方向的夹角分别用、表示，则 ， 。

【答案】 1:1
【详解】[1]设斜面倾角为，根据平抛运动规律有
，，
，，
由题意可知
，
联立可得
，
[2]根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角关系可得
，
则有
9．一小球以速度水平抛出，落在倾角为的斜面上的P点，P为斜面中点，小球的速度与斜面夹角为，若抛出点正好位于斜面底端正上方，则小球飞行时间为 s，斜面的高度为 m。（重力加速度g取）

【答案】 0.1/ 0.2/
【详解】[1][2]依题意，小球落在斜面的中点时，有
求得小球飞行时间为
小球在水平方向上的位移大小为
由几何关系可得
求得斜面长度为
则斜面的高度为
10．如图所示以的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为的斜面上（取），则物体撞击斜面时的速度为 ，完成这段飞行的时间为 s。

【答案】 40
【详解】[1][2]物体垂直地撞在倾角为的斜面上，则有
解得
则物体撞击斜面时的速度为
完成这段飞行的时间为
11．小孩站在岸边向湖面依次抛出三个石子，三次的轨迹如图所示，最高点在同一水平线上。假设三个石子质量相同，忽略空气阻力的影响，三个石子中在最高点时速度最大的是沿轨迹 的石子，轨迹1、2、3在空中运动时间分别为、、，则、、的大小关系为 。

【答案】 1
【详解】[1]由题意可知，三个石子均做斜抛运动，即水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动。设任一石子初速度分解为水平分量，竖直分量为，上升的最大高度为H，上升运动时间为t，取竖直向上为正方向，则竖直方向有
整理有
由于石子的上升高度相同，所以竖直方向速度大小相同，其上升运动时间也相同。但水平位移不相同，所以其水平分量不同，根据
可知，水平距离大，则水平方向速度大小大。在最高点时，竖直方向速度为零，所以水平方向速度大，即在最高点的速度大，结合题图可知，轨迹1的石子在最高点的速度大。
[2]由上述分析可知，三个石子的上升时间相同，由因为三个石子下落均做自由落体运动，其下落高度相同，根据自由落体公式
可知，其下落时间也相同，综上所述，三个石子在空中运动的时间相同，即
12．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：如图是某同学实验得到的小球做平抛运动的轨迹，建立了坐标系，测出了a、b、c三点的坐标，g取10 m/s2，根据图中数据可知小球做平抛运动的初速度为 m/s，抛出点的横坐标为 cm，纵坐标为 cm。

【答案】 3 -60 -20
【详解】小球在竖直方向做自由落体运动，由匀变速直线运动的推论
得
小球在水平方向做匀速直线运动，所以水平初速度为
b点的竖直方向分速度为
所以从抛出到下落到b点所用的时间为
所以从抛出到下落到b点竖直方向的位移大小为
所以抛出点的纵坐标是
所以从抛出到下落到b点水平方向的位移大小为
所以抛出点的横坐标是
二、单选题
13．某一壕沟数据如图所示，α、b两点间水平距离为3h，竖直距离为h，汽车自a点水平飞出，落在壕沟边缘b点，假设汽车可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则汽车为了能飞跃壕沟，在a点的最小速度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】竖直方向为自由落体运动，则有
水平方向为匀速直线运动，则有
解得
故选D。
14．如图所示，运动员将网球从O点以速度水平击出，网球经过M点时速度方向与竖直方向的夹角为，落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）

A．O点距水平地面的高度为
B．M点距水平地面的高度为
C．网球从O点运动到N点的时间为
D．O、N两点间的水平距离为
【答案】C
【详解】A．根据平抛运动规律可知，网球在M点时的竖直分速度
在N点时的竖直分速度
则O点距水平地面的高度
故A错误；
B．M点距水平地面的高度
故B错误；
C．网球从O点运动到N点的时间
故C正确；
D．O、N两点间的水平距离
故D错误。
故选C。
15．小明同学将手中的空可乐罐水平扔向垃圾桶，可乐罐的轨迹如图所示。不计空气阻力，为把可乐罐扔进垃圾桶，小明可以（　　）
A．只减小扔可乐罐的初速度
B．只减小扔出可乐罐时的高度
C．只减小扔出可乐罐时人与垃圾桶的水平距离
D．以上说法均不可能实现
【答案】C
【详解】A．可乐罐做平抛运动，设初速度为v0，抛出点距桶的高度为h，水平位移为x，则有平抛运动的时间为
水平位移为
抛出点的位置不变，高度不变，增大初速度，可增大水平位移，从而把可乐罐扔进垃圾桶，A错误；
B．由A选项解析可知，减小扔出可乐罐时的高度，会减小可乐罐运动的时间，抛出点的位置不变，高度不变，初速度不变，水平位移会减小，从而不会把可乐罐扔进垃圾桶，B错误；
CD．可乐罐抛出时的高度不变，初速度不变，只减小扔出可乐罐时人与垃圾桶的水平距离，由题图可知，会把可乐罐扔进垃圾桶，C正确，D错误。
故选C。
16．如图所示，某网球运动员正对球网跳起从同一高度O点向正前方先后水平击出两个速度不同的排球，排球轨迹如虚线Ⅰ和虚线Ⅱ所示。若不计空气阻力，则（ ）
A．两球下落相同高度所用的时间是相同的
B．两球下落相同高度时在竖直方向上的速度不相同
C．两球通过同一水平距离，轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较少
D．两球在相同时间间隔内，轨迹如虚线Ⅱ的排球下降的高度较小
【答案】A
【详解】A．网球飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有
下落时间为
可知两球下落高度相同，所用时间相同，故A正确；
B．做平抛运动的小球下落相同高度时在竖直方向上的速度
可知两球下落相同高度时在竖直方向上的速度相同，故B错误；
C．由图可知两球通过同一水平距离，虚线Ⅰ的排球下落高度较多，根据
可知轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较多，故C错误；
D．两球均做平抛运动，所以在相同时间间隔内下降的高度相同，故D错误。
故选A。
17．在同一竖直方向、不同高处分别水平抛出两个小球A、B，两球在P点相碰，如图所示。设A、B两球的初速度分别为、，运动到P点的时间分别为、，在P点的速度与竖直方向的夹角分别为、，则（　　）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】根据题意可知，小球A到P点的高度大于小球B到P点的高度，由公式可得
则小球A运动到P点的时间较大，即
两球到P点的水平位移相等，由可知，小球A的初速度较小，即
两球运动到P点时，竖直分速度为
则有
由于小球A在竖直方向的速度较大，初速度小，则有
故选C。
三、多选题
18．如图，某次小明同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球，将球从A点斜向上击出，球垂直在墙上的O点后，反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．球在上升阶段和下降阶段的加速度不同
B．球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
C．球刚离开点时的水平速度大小大于刚到达点时的水平速度大小
D．球刚离开点时的速度大小不一定大于刚到达点时的速度大小
【答案】CD
【详解】A．球在上升阶段和下降阶段的加速度均为g，加速度相同，故A错误；
B．将球从A到O点的逆过程看做是平抛运动，则根据
球从A点到O点的运动时间小于从O点到B点的运动时间，故B错误；
C．因反弹后的水平位移等于反弹之前的水平位移，根据
可知，反弹之前的水平速度大于反弹后的水平速度，球刚离开A点时的水平速度大小大于刚到达B点时的水平速度大小，故C正确；
D ．根据
可知，球在离开A点的竖直速度小于刚到达B点时的竖直速度，则球刚离开A点时的速度大小不一定大于刚到达B点时的速度大小， 故D正确。
故选CD。
19．如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上。在斜面顶端将甲、乙（乙球图中未画出）两个小球分别以大小为v0和 的初速度水平向右抛出，甲球经过时间t恰好落在斜面的底端，此时甲球速度的大小为v且与水平方向的夹角为φ，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．乙球将落在斜面的中点
B．乙球经过的时间落在斜面上
C．乙球落在斜面上时的速度方向与水平方向的夹角为
D．乙球落在斜面上时的速度大小为
【答案】BD
【详解】C．甲、乙两小球均落在斜面上，位移方向相同，根据平抛运动的推论，速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的两倍，则可知两小球落在斜面上时速度方向一定相同，故C错误；
B．由题意知甲球落在斜面上时的速率为，由平抛运动规律知
，
而
联立解得
乙球的初速度大小为，则运动时间为，故B正确；
A．小球落在斜面上的位移为
乙球运动时间为，则其位移大小为甲球位移大小的，即乙球不能落在斜面的中点，故A错误；
D．因
则小球落在斜面上的速度为
乙球的初速度大小为，则乙球落在斜面上的速度大小为，故D正确。
故选BD。
20．如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（ ）
A．两只飞镖的抛出速度满足
B．两只飞镖击中墙面的速度满足
C．两只飞镖的运动时间一定相等
D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点
【答案】AD
【详解】A．设水平距离为，飞镖的初速度为，击中墙面的速度为，速度与竖直方向的夹角为，则有
联立解得
由于从同一位置O抛出，相同，所以有
故A正确；
B．击中墙面的速度为
由于
则有
故B错误；
C．竖直方向有
可得
可知两只飞镖的运动时间一定不相等，故C错误；
D．根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点，可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点，故D正确。
故选AD。
四、解答题
21．滑板爱好者从倾角、长度L＝14m的斜坡底端，以的初速度沿斜坡匀减速上滑，加速度大小，从坡顶飞出后落在右侧的平台上，平台上表面与坡顶高度相同。不计空气阻力，g取10，，。求滑板爱好者：
（1）冲出坡顶时的速度大小v；
（2）在平台上的落点到坡顶的距离x。
【答案】（1）5m/s；（2）2.4m
【详解】（1）根据
可得冲出坡顶时的速度大小
（2）运动员冲出坡顶后做斜抛运动，则
解得
x=2.4m
22．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度为。山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，取，求：
（1）运动员在空中的飞行时间t；
（2）运动员从飞出至落在斜坡上的位移s的大小；
（3）运动员从A点到距斜坡距离最大时所用的时间。
【答案】（1）2s；（2）40m；（3）1s
【详解】（1）根据题意，设运动员在空中飞行的时间为t，水平方向上有
竖直方向上有
又有
解得
（2）结合（1）分析可知，运动员的水平位移为
竖直位移为
又有
解得
（3）运动员速度方向与斜面平行是距离斜面最远
解得
t1=1s
23．已知某标准乒乓球台台面长l，球网高h。如图所示，在某次乒乓球比赛接球过程中，一中学生从己方台面边缘中点正上方距台面高H处，将乒乓球水平垂直球网拍出，乒乓球能直接落到对方台面上，不计空气阻力，乒乓球可视为质点，重力加速度为g。求：
（1）乒乓球从拍出到第一次落到对方台面上所经过的时间；
（2）乒乓球拍出后瞬时的速度大小范围。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设乒乓球从拍出到第一次落到对方台面上所经过的时间为，根据
解得
（2）设乒乓球刚好落到对方台面边缘中点时，乒乓球拍出后瞬时速度大小为，水平方向有
解得
设乒乓球刚好擦网飞落到对方台面上时，乒乓球拍出后瞬时速度大小为，从拍出到擦网历时，竖直方向有
水平方向有
联立可得
乒乓球能直接落到对方台面上，故拍出后瞬时的速度大小v满足
解得
24．如图所示，在倾角为37°的斜坡（斜坡足够长）上有一人，前方有一只狗沿斜坡匀速向下奔跑，速度v=15m/s，此人分别多次以不同速度大小水平抛出一小球，试图击中狗，人、狗和小球均可看成质点，不计空气阻力。（已知sin37°=0.6，g=10m/s2）
（1）某次投出的小球落在了斜面上，且落在斜面上的速度，求此次小球飞行的水平位移；
（2）若某次刚抛出小球时人与狗相距l=30m，本次投出的小球恰好击中狗，求此次抛出速度v0的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小球落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为，根据平抛运动的推论，速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移方向与水平方向的夹角正切值的两倍，即
可得
且
解得
，
小球在空中运动的时间为
水平位移
（2）设过程中石块运动所需时间为，对于动物，运动的位移
对于石块，竖直方向
水平方向
代入数据，由以上三式可得
25．如图所示，从高为h=20m的斜面顶端A点以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面底端B点，斜面倾角θ=30°（已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力），求：
（1）小球从抛出到落到B点所经过的时间t ；
（2）小球落到B点时的速度大小v ；
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动，则
解得
s
（2）根据几何关系得
水平方方向
解得
所以
小球落到B点时的速度大小
26．据报道，我国自主研发的新一代战略隐形轰炸机轰-20已试飞完成。某次试飞中，轰-20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰-20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）炸弹在空中运动的时间t；
（2）A点到山坡底端的距离d。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）炸弹在竖直方向做自由落体运动，则有
解得
（2）设炸弹的水平位移为x，如图

则有
，
解得5.4抛体运动的规律
一、【学习目标】　
1.熟练掌握平抛运动的研究方法.
2.会用运动合成和分解的知识分析求解平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹为抛物线.
3.了解斜抛运动及其运动规律，知道运动的合成与分解是分析抛体运动的一般方法.
二、【考点精讲深化】
考点一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.
图1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
考点二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线.
考点三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sin θ.如图2所示.
图2
考点四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
图10
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
考点深化
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图4所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
图4
知识深化
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、【实战演练】
一、填空题
1．以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）水平方向：不受力，加速度是 ，水平方向为 运动，vx＝ 。
（2）竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma，所以a＝ ；竖直方向的初速度为 ，所以竖直方向为 运动，vy＝
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v与水平方向的夹角）。
2．如图所示，已知排球网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s，则要使排球既不触网又不出界，水平扣球速度的大小取值范围为 。

3．在“研究平抛运动”的实验中，我们将小球的运动分解为水平方向做 运动，竖直方向做 运动，以求出平抛物体的初速度。实验时，要求小球每次应从斜槽上 （填“同一位置”或“不同位置”由静止滑下）。
4．在 探究平抛物体的运动规律的实验中，某同学在坐标纸上描出小球平抛运动中的几个位置，如图中的A、B、C、D所示，图中每个小方格的边长为L＝1.25 cm，g取10 m/s2，则利用以上数据可求得：

①小球做平抛运动的初速度大小为 m/s.
②小球运动到B点时的竖直分速度大小为 m/s.
5．如图所示，小球从斜面顶端A处以速率做平抛运动，恰好落到斜面底部B点，且此时的速率的大小为。已知重力加速度为g，则斜面的倾角为 ，AB之间的距离为 。
6．2021年9月2日上午，第八批在韩中国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送从韩国接回辽宁沈阳，109位志愿军烈士英灵及1226件相关遗物回到祖国怀抱，沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图1所示。小华同学从物理角度对“水门”进行了研究，他建立坐标对照片处理后得到水在空中的轨迹如图2所示，两水柱在最高点相遇，已知照片与实际长度比例为1∶100，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，水的密度，，。
（1）位于坐标原点的喷水口的出水方向与水平方向夹角为 ，位于处的喷水口的出水方向和水平方向夹角为 。
（2）位于坐标原点的喷水口横截面积为80cm2，则其流量为 m3/s，从喷出到两水柱在最高点相遇的过程中，位于坐标原点的喷水口在空中形成的水柱质量为 kg。
7．平抛运动的两个重要推论：
（1）做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有 。
（2）做平抛运动的物体在任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 。
8．如图甲所示为某人先后两次由斜面体顶端的O点沿水平方向抛出小球，这个过程可以简化为如图乙所示的模型，第一次的落点为斜面体上的A点，第二次的落点为斜面体上的B点，小球可视为质点，忽略空气阻力。已知，两次抛出小球的初速度分别用、表示，小球落到斜面体上的速度与水平方向的夹角分别用、表示，则 ， 。

9．一小球以速度水平抛出，落在倾角为的斜面上的P点，P为斜面中点，小球的速度与斜面夹角为，若抛出点正好位于斜面底端正上方，则小球飞行时间为 s，斜面的高度为 m。（重力加速度g取）

10．如图所示以的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为的斜面上（取），则物体撞击斜面时的速度为 ，完成这段飞行的时间为 s。

11．小孩站在岸边向湖面依次抛出三个石子，三次的轨迹如图所示，最高点在同一水平线上。假设三个石子质量相同，忽略空气阻力的影响，三个石子中在最高点时速度最大的是沿轨迹 的石子，轨迹1、2、3在空中运动时间分别为、、，则、、的大小关系为 。

12．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：如图是某同学实验得到的小球做平抛运动的轨迹，建立了坐标系，测出了a、b、c三点的坐标，g取10 m/s2，根据图中数据可知小球做平抛运动的初速度为 m/s，抛出点的横坐标为 cm，纵坐标为 cm。

二、单选题
13．某一壕沟数据如图所示，α、b两点间水平距离为3h，竖直距离为h，汽车自a点水平飞出，落在壕沟边缘b点，假设汽车可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则汽车为了能飞跃壕沟，在a点的最小速度为（　　）

A． B． C． D．
14．如图所示，运动员将网球从O点以速度水平击出，网球经过M点时速度方向与竖直方向的夹角为，落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）

A．O点距水平地面的高度为
B．M点距水平地面的高度为
C．网球从O点运动到N点的时间为
D．O、N两点间的水平距离为
15．小明同学将手中的空可乐罐水平扔向垃圾桶，可乐罐的轨迹如图所示。不计空气阻力，为把可乐罐扔进垃圾桶，小明可以（　　）
A．只减小扔可乐罐的初速度
B．只减小扔出可乐罐时的高度
C．只减小扔出可乐罐时人与垃圾桶的水平距离
D．以上说法均不可能实现
16．如图所示，某网球运动员正对球网跳起从同一高度O点向正前方先后水平击出两个速度不同的排球，排球轨迹如虚线Ⅰ和虚线Ⅱ所示。若不计空气阻力，则（ ）
A．两球下落相同高度所用的时间是相同的
B．两球下落相同高度时在竖直方向上的速度不相同
C．两球通过同一水平距离，轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较少
D．两球在相同时间间隔内，轨迹如虚线Ⅱ的排球下降的高度较小
17．在同一竖直方向、不同高处分别水平抛出两个小球A、B，两球在P点相碰，如图所示。设A、B两球的初速度分别为、，运动到P点的时间分别为、，在P点的速度与竖直方向的夹角分别为、，则（　　）

A．， B．，
C．， D．，
三、多选题
18．如图，某次小明同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球，将球从A点斜向上击出，球垂直在墙上的O点后，反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．球在上升阶段和下降阶段的加速度不同
B．球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
C．球刚离开点时的水平速度大小大于刚到达点时的水平速度大小
D．球刚离开点时的速度大小不一定大于刚到达点时的速度大小
19．如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上。在斜面顶端将甲、乙（乙球图中未画出）两个小球分别以大小为v0和 的初速度水平向右抛出，甲球经过时间t恰好落在斜面的底端，此时甲球速度的大小为v且与水平方向的夹角为φ，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．乙球将落在斜面的中点
B．乙球经过的时间落在斜面上
C．乙球落在斜面上时的速度方向与水平方向的夹角为
D．乙球落在斜面上时的速度大小为
20．如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（ ）
A．两只飞镖的抛出速度满足
B．两只飞镖击中墙面的速度满足
C．两只飞镖的运动时间一定相等
D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点
四、解答题
21．滑板爱好者从倾角、长度L＝14m的斜坡底端，以的初速度沿斜坡匀减速上滑，加速度大小，从坡顶飞出后落在右侧的平台上，平台上表面与坡顶高度相同。不计空气阻力，g取10，，。求滑板爱好者：
（1）冲出坡顶时的速度大小v；
（2）在平台上的落点到坡顶的距离x。
22．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度为。山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，取，求：
（1）运动员在空中的飞行时间t；
（2）运动员从飞出至落在斜坡上的位移s的大小；
（3）运动员从A点到距斜坡距离最大时所用的时间。
23．已知某标准乒乓球台台面长l，球网高h。如图所示，在某次乒乓球比赛接球过程中，一中学生从己方台面边缘中点正上方距台面高H处，将乒乓球水平垂直球网拍出，乒乓球能直接落到对方台面上，不计空气阻力，乒乓球可视为质点，重力加速度为g。求：
（1）乒乓球从拍出到第一次落到对方台面上所经过的时间；
（2）乒乓球拍出后瞬时的速度大小范围。
24．如图所示，在倾角为37°的斜坡（斜坡足够长）上有一人，前方有一只狗沿斜坡匀速向下奔跑，速度v=15m/s，此人分别多次以不同速度大小水平抛出一小球，试图击中狗，人、狗和小球均可看成质点，不计空气阻力。（已知sin37°=0.6，g=10m/s2）
（1）某次投出的小球落在了斜面上，且落在斜面上的速度，求此次小球飞行的水平位移；
（2）若某次刚抛出小球时人与狗相距l=30m，本次投出的小球恰好击中狗，求此次抛出速度v0的大小。
25．如图所示，从高为h=20m的斜面顶端A点以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面底端B点，斜面倾角θ=30°（已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力），求：
（1）小球从抛出到落到B点所经过的时间t ；
（2）小球落到B点时的速度大小v ；
26．据报道，我国自主研发的新一代战略隐形轰炸机轰-20已试飞完成。某次试飞中，轰-20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰-20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）炸弹在空中运动的时间t；
（2）A点到山坡底端的距离d。

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