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15.2　分式的运算
15.2.1　分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
【知识重点】
知识点1 分式的乘方
1. 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方.
用字母表示为＝ (n为正整数).
2. 分式乘方的方法
(1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与确定有理数乘方结果符号的方法相同；
(2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现＝的错误.
特别解读
① 分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.
② 学习了分式的乘方法则后，可直接用法则计算分式的乘方，在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方.
知识点2 分式的乘除、乘方混合运算
1. 分式的乘除混合运算 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算.
2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的.
知识链接
① 分式的乘除、乘方混合运算关键有两点：一是正确选择运算顺序；二是正确运用运算法则.
② 运算的结果应化为最简分式或整式.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)()3；　　(2)()2；　(3)()2.
【思路分析】(1)(2)先由负数乘方的规律确定结果的正负号，然后按照乘方的法则计算即可；(3)直接依据乘方的法则计算即可．
【规范解答】
【方法归纳】分式乘方对分式的分子、分母中每个因式分别乘方，包括系数，特别地，当系数为负数时，计算时应先确定结果的符号．
【例2】计算：
(1)(－)2÷(－)3·()2；
(2)()3÷(x＋y)2·()3.
【思路分析】先进行乘方运算，再由除变乘，然后进行分式的乘法运算．
【规范解答】
【方法归纳】当遇到分式的乘除及乘方的混合运算时，要先乘方，再乘除，若分子、分母含有多项式，一般不要展开而保留幂的形式，以便约分．
【同步练习】
一、选择题
1．计算：－÷·＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－n
2．【2022·郑州模拟】化简÷·后的结果为( )
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是( )
A．()3＝ B．()2＝
C．(－)2＝ D．()3＝
4．计算(－)·()2的结果是( )
A．－ B． C．－ D．
5．计算÷(－)·()2的结果是( )
A．－x B．－ C． D．
6．下列分式运算正确的是(　　)
A．·＝ B．＝ C．＝ D．÷＝
7．下列各式计算结果正确的是( )
A．(－)3÷(b3c2)2＝－ B．()2÷()3·＝
C．()2·()3＝ D．(－)2÷()4·()2＝
8．计算·÷的结果是(　　)
A．a5 B．－a5 C． D．－
9．化简÷×的结果为(　　)
A．－2 B．2 C．－ D．
10．彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题是(　　)
A．÷＝ B．·＝－
C．÷＝ D．·＝x(x＋1)
二、填空题
11．计算：·÷＝ .
12．计算：()3＝　　；(－)3＝ ．
13．化简：－(－)2·(－)3÷(ab)4＝　　．
14．计算：·÷＝ ．
15．计算：
(1)·÷(－)＝________________；
(2)÷·＝_____________．
16．计算(－)3·(－)2的结果是________________.
17．计算：·()2÷＝__________．
18．计算：
(1)(－)5·(－)4÷(－mn4)＝_________；
(2)()2·()2÷＝______________．
19．若2x－3y＝0，则()3÷()2·的值等于___________.
三、解答题
20．计算：
(1)·÷；
(2)÷·.
21．计算：
(1)(－)3；
(2)()3·()2÷()4.
22．计算：
(1)(－)÷(－)3÷()3；
(2)()2÷(x＋y)2·()3.
23．计算：
(1)·÷(x－2)；
(2)()2÷()2·.
24．若m＋n＝－5，求÷的值．
25．计算÷·，下面是小翔的计算过程，小翔的计算过程是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若不正确，请改正．
解：原式＝÷(－1)＝.
26．先化简，再求值：·÷，其中a满足a2－a＝0.
27．(1)已知a2＋10a＋25＝－|b－3|，
求·÷的值．
(2)已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求·÷的值．
28．在学习了分式的乘方后，老师给出了一道题：
计算(a4＋)·(a2－1)的值．
同学们都无从下手，小明将a2－1变形为a，然后用平方差公式很轻松地得到结论．你知道他是怎么做的吗？
29．阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值．
解：由＝知x≠0，所以＝3，即x＋＝3，所以＝x2＋＝(x＋)2－2＝32－2＝7，故的值为.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知＝，求的值．
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)()3；　　(2)()2；　(3)()2.
【思路分析】(1)(2)先由负数乘方的规律确定结果的正负号，然后按照乘方的法则计算即可；(3)直接依据乘方的法则计算即可．
【规范解答】(1)原式＝－＝－；
(2)原式＝＝；
(3)原式＝＝.
【方法归纳】分式乘方对分式的分子、分母中每个因式分别乘方，包括系数，特别地，当系数为负数时，计算时应先确定结果的符号．
【例2】计算：
(1)(－)2÷(－)3·()2；
(2)()3÷(x＋y)2·()3.
【思路分析】先进行乘方运算，再由除变乘，然后进行分式的乘法运算．
【规范解答】(1)原式＝·(－)·＝－＝－＝－；
(2)原式＝··＝＝.
【方法归纳】当遇到分式的乘除及乘方的混合运算时，要先乘方，再乘除，若分子、分母含有多项式，一般不要展开而保留幂的形式，以便约分．
【同步练习】
一、选择题
1．计算：－÷·＝( A )
A．－ B．－ C．－ D．－n
2．【2022·郑州模拟】化简÷·后的结果为( C )
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是( D )
A．()3＝ B．()2＝
C．(－)2＝ D．()3＝
4．计算(－)·()2的结果是( C )
A．－ B． C．－ D．
5．计算÷(－)·()2的结果是( A )
A．－x B．－ C． D．
6．下列分式运算正确的是(　D　)
A．·＝ B．＝ C．＝ D．÷＝
7．下列各式计算结果正确的是( D )
A．(－)3÷(b3c2)2＝－ B．()2÷()3·＝
C．()2·()3＝ D．(－)2÷()4·()2＝
8．计算·÷的结果是(　B　)
A．a5 B．－a5 C． D．－
9．化简÷×的结果为 (　A　)
A．－2 B．2 C．－ D．
10．彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题是(　D　)
A．÷＝ B．·＝－
C．÷＝ D．·＝x(x＋1)
二、填空题
11．计算：·÷＝ .
【答案】5b
12．计算：()3＝　　；(－)3＝ ．
【答案】－
13．化简：－(－)2·(－)3÷(ab)4＝　　．
【答案】
14．计算：·÷＝ ．
【答案】
15．计算：
(1)·÷(－)＝________________；
(2)÷·＝_____________．
【答案】－
16．计算(－)3·(－)2的结果是________________.
【答案】－
17．计算：·()2÷＝__________．
【答案】
18．计算：
(1)(－)5·(－)4÷(－mn4)＝_________；
(2)()2·()2÷＝______________．
【答案】
19．若2x－3y＝0，则()3÷()2·的值等于___________.
【答案】
三、解答题
20．计算：
(1)·÷；
解：
(2)÷·.
解：－
21．计算：
(1)(－)3；
解：－
(2)()3·()2÷()4.
解：－
22．计算：
(1)(－)÷(－)3÷()3；
解：
(2)()2÷(x＋y)2·()3.
解：
23．计算：
(1)·÷(x－2)；
解：
(2)()2÷()2·.
解：
24．若m＋n＝－5，求÷的值．
解：原式＝×
＝(m＋n)2.
当m＋n＝－5时，原式＝×(－5)2＝.
25．计算÷·，下面是小翔的计算过程，小翔的计算过程是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若不正确，请改正．
解：原式＝÷(－1)＝.
解：不正确，正确的计算过程如下：原式＝··＝
26．先化简，再求值：·÷，其中a满足a2－a＝0.
解：原式＝a2－a－2，∵a2－a＝0，∴原式＝0－2＝－2
27．(1)已知a2＋10a＋25＝－|b－3|，
求·÷的值．
解：(1)由已知条件得(a＋5)2＋|b－3|＝0，∴a＝－5，b＝3.
原式＝··＝－.
当a＝－5，b＝3时，原式＝－＝－＝－.
(2)已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求·÷的值．
∵x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，∴(x2－2x＋1)＋(y2＋4y＋4)＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝0.∴x－1＝0，y＋2＝0，即x＝1，y＝－2.
原式＝··＝.
当x＝1，y＝－2时，原式＝＝＝－.
28．在学习了分式的乘方后，老师给出了一道题：
计算(a4＋)·(a2－1)的值．
同学们都无从下手，小明将a2－1变形为a，然后用平方差公式很轻松地得到结论．你知道他是怎么做的吗？
解：原式＝a(a2＋)(a4＋)
＝a(a4＋)(a8＋)＝a(a8＋)
＝a＝a＝a17－.
29．阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值．
解：由＝知x≠0，所以＝3，即x＋＝3，所以＝x2＋＝(x＋)2－2＝32－2＝7，故的值为.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知＝，求的值．
解：由＝知x≠0，∴＝5，
即x－3＋＝5，∴x＋＝8，
∴＝x2＋1＋＝(x＋)2－1＝82－1＝63，∴＝

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