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4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（2019）选择性必修第二册
学习目标
1.理解等差数列的含义.
2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{} 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，记为=.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
我们把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列{}的前项和，记作即= + + .
如果数列{} 的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式.
二、新课讲授
1、等差数列的概念
（1）北京天坛圜丘的地面石板数：
9，18，27，36，54，63，72，81. ①
（2）S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48. ②
问题1：请看以下的数列，你能找到它们的取值规律吗？
（3）测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24，23，22，21. ③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即
18 9=9, 27 18=9，…，81 72=9.
如果用{} 表示数列①，则有：
=9, =9,…， =9.
从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
数列②和数列③也和数列①具有相同的规律.
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
追问1：请判断以下数列是否为等差数列.
（1）5，9，13，17，21.
（2）9，7，5，3，1，-1.
（3）6，6，6，6，6，6.
（4）0，1，0，1，0，1.
是， =4
是， =-2
是， =0
不是
追问2：如果在和中间插入一个数，使， ， 成等差数列，那么应满足什么条件？
由等差数列的定义，有，所以，即.
此时我们把叫做的等差中项.
的等差中项是它们的算数平均数.
2、等差数列的通项公式
问题2：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？
设等差数列{}的首项为，公差为，则由定义可得：
=
追问1：你能根据递推公式，写出等差数列的通项公式吗？
由 = ，可得
= , = ,….
于是 = + ,
= + ,
= + ,
归纳可得 = ,
当时，
上式为 =
综上所述， = 成立.
首项为 ，公差为的等差数列{}的通项公式为：
= （ ）.
追问2：还有其他方法可以推导出等差数列的通项公式吗？
=
=
=
=
=
1个等式
1个等式进行累加，得
.
即 = （ ）.
3、等差数列与函数的关系
问题3：观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？
因为 = ，
所以当=0时， = 是常数函数；
所以当≠0时， 是一次函数()当()时的函数值，即 =
追问1：等差数列{} 的图象与一次函数的图象有什么关系？
等差数列{}：离散的点
一次函数：过这些点的直线
斜率是，截距是
追问2：由一次函数得到的数列一定是等差数列吗？
任给，则，
；
， ，…
，
所以，数列{}是以为首项， 为公差的等差数列.
数列{}是公差不为0的等差数列的充要条件：
数列的是的一次函数.
追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
当0时，等差数列{}单调递增；
当0时，等差数列{}单调递减；
当0时，等差数列{}为常数列.
三、巩固新知
例1 写出以下等差数列的通项公式.
（1）5，9，13，17，21.
（2）9，7，5，3，1，-1.
（3）6，6，6，6，6，6.
= 4=4+1
= (-2)=-+11
=66
例2 已知等差数列{}的通项公式为，求等差数列{}的首项和公差.
解法一:把代入通项公式，
当时，.
于是= = .
所以，数列 {}的首项为3，公差为-2.
解法二:把代入通项公式，
于是= = .
所以，数列 {}的首项为3，公差为-2.
小结：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即 = = .
一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值.
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式和第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得
把代入 = ，得
()= +11，
所以， ×20+11=-49
令+11 =-289，=100，
所以-289是该数列中的第100项.
等差数列的首项和公差是等差数列的“基本量”.
四、课堂小结
1、等差数列及等差中项的定义.
2、等差数列的通项公式；递推公式、归纳和累加法.
3、通项公式的应用.（函数与方程）
五、作业布置
课本P15：练习 第4、5题
递推公式→
通项公式→
应用
函数与方程的思想

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