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第二章 机械振动
2.3单摆
1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时
回复力的来源.
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.
【学习目标】
导入新课
我们日常生活中看到的秋千、钟摆在竖直平面内的运动也是周期性地在最低点附近来来回回地“摆动”。
那么，这种摆动是否和弹簧振子的振动具有相同的规律呢？今天，我们就来研究这种摆动。
在弹簧振子的学习中，明白了其运动是“周期”+“往返”的振动。
一、单摆
1.单摆的组成：由细线和　　组成.
2.理想化模型
(1)细线的质量与小球相比　　　　.
(2)小球的直径与线的长度相比　　　　.
小球
可以忽略
可以忽略
(1)单摆的回复力就是摆球所受的合外力吗？
答案　单摆的回复力不是摆球所受的合外力.单摆的运动可看成变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力.
(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？
答案　单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.
二、单摆振动的原因
1.单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用.
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向
的分力的合力.
(3)回复力来源：摆球重力沿　　　　方向的分力
F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力.
(4)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　　，方向总指向　　　　，即F＝－　 x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动.
圆弧切线
正比
平衡位置
2.单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈ ，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－ x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动.
例1　图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
√
解析　摆球在摆动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；
摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误.
三、单摆的振动图像
综上，在摆角很小的情况下，单摆做简谐振动。
结论：单摆振动的x-t图象是一条正弦（余弦）函数图像。
例2　如图所示为一单摆的振动图像，则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在增大
√
解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线的拉力大小相等，故A正确；
t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；
t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；
t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线的拉力也减小，故D错误.
三、单摆的周期
答案　不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.
单摆的周期公式为T＝2π .
(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？
答案　可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.
(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？
1.惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.
2.单摆振动的周期与摆球质量　　(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅　　(填“有关”或“无关”)，但与摆长　　(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期　　(填“越大”“越小”或“不变”).
3.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家　　　首先提出的.
无关
无关
有关
(2)公式：T＝ ，即周期T与摆长l的二次方根成　　 ，与重力加速度g的二次方根成　 　，而与振幅、摆球质量　 　.
越大
惠更斯
正比
反比
无关
4.对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%).
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.
例3　如图所示，图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
答案　1.25 Hz
解析　由单摆振动图像得T＝0.8 s，
(2)开始时刻摆球在何位置？
答案　在B点
解析　开始时刻摆球在负方向最大位移处，故开始时刻摆球在B点.
(3)若当地的重力加速度为9.86 m/s2，则这个摆的摆长是多少？
答案　0.16 m
针对训练　甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆
　摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是4∶9
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在
　地点的重力加速度之比为9∶4
√
例4　如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则
A.球A先到达C点
B.球B先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪个球先到达C点
√
故tA返回
当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，
SUITANGYANLIAN　 ZHUDIANLUOSHI
课堂练习
1.(对单摆回复力的理解)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是
1
2
3
A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大、
√
解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；
1
2
3
t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；
t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误；
t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确.
2.(单摆周期公式的应用)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示.以下说法正确的是
A.当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移
D.把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
√
1
2
3
摆钟快了，周期小，则需将摆长增大，增大周期，B错误；
由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移圆盘，C错误；
摆钟从福建移到北京，重力加速度增大，则需将摆长增大，下移圆盘，D错误.
1
2
3
3.(单摆周期公式的应用)如图所示，摆长为L的单摆，周期为T.如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的5/9，使摆球A(半径远小于L)通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是
1
2
3
A.单摆在整个振动过程中的周期不变
B.单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的 倍
C.单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的
D.单摆的整个振动过程中的周期无法确定
√
1
2
3
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仓颉之初作书盖依类象形故谓之文其形声相益即谓之字文者物象之本字者言孳乳而浸多也著于竹帛谓之仓颉之初作书盖依类象形故谓之文其形声相益即谓之字文者物象之本字者言孳乳而
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