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第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
学案
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识汇总
等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和公式为，还可以写成.
习题检测
1.设等比数列的前n项和为，且，，则( )
A.128 B.127 C.64 D.63
2.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，，则( )
A.3 B.4 C.5 D.7
3.已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则( )
A. B. C. D.
4.一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各棱的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该几何体的表面积(含最底层正方体的底面积)超过39，则正方体的个数至少是( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
5.在各项均为正数的数列中，，，为的前n项和，若，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.（多选）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则( )
A. B.
C. D.
7.已知等比数列的前3项和为168，，则__________.
8.已知等比数列的前n项和为，，，则______.
9.一个乒兵球从高处自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来的，则当它第n次着地时，经过的总路程是__________；至少在第_________次着地后，它经过的总路程能达到.
10.数列满足，，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前n项和为.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，解得，所以公比，所以.故选D.
2.答案：C
解析：法一：因为等比数列的公比为，，，所以，解得.故选C.
法二：根据等比数列前n项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得.故选C.
3.答案：D
解析：设等差数列的公差为d，由得，解得，则，所以，，设等比数列的公比为q，则，则，故选D.
4.答案：C
解析：设最下层正方体棱长为，从下往上相邻两正方体棱长间的关系为.从上往下看，几何体顶部裸露部分的面积与最下方正方体的上底面面积相等.设含n个正方体的几何体表面积为，
由，得，即，故该几何体中正方体的个数至少是6.故选C.
5.答案：A
解析：，得，或，又各项均为正数，故符合题意，不符题意舍去.
，，所以数列为首项为2，公比为3的等比数列，
则，解得.故选A.
6.答案：ABD
解析：A项，由两端同除以，得，解得或-1.又是正项等比数列，所以，故A正确；
B项，，故B正确；
C项，，故C错误；
D项，，故D正确.故选ABD.
7.答案：24
解析：设等比数列的公比为q，则，，即，解得，.
8.答案：12
解析：设等比数列的公比为q，由，，得，
而，于是，
所以.
9.答案：；7
解析：当乒乓球第n次着地时，经过的总路程为.
由，知，即.
10.解析：（1），
，
，
，
，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，，所以，
设，设其前n项和为，
则①，
②，
①减②得，
所以，
所以.

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