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2024中考数学一轮复习 (全国通用版)
C2024中考数学精讲与精练（全国通用版）
第十三讲 全等三角形
考点1：全等三角形的概念和性质
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。
2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）
文字语言 图形语言 符号语言
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等， 面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等．
考点2：全等三角形的判定方法
文字语言 图形语言 符号语言 简记
有三边对应相等的两个三角形全等 SSS
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA
有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL
考点3：常考的全等模型
1.几何变换中的全等模型
（1）平移全等模型，如下图：
（2）翻折全等模型，如下图：
（3）旋转全等模型，如下图：
2.一线三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如图：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如图1，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.
图1 图2 图3
（2）等边三角形中的手拉手全等模型
如图2，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如图3，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.
全等三角形是平面几何的基本工具，是后续学习的基础，也是中考必考考点之一。掌握必要的常见全等模型是非常必要的，可以帮我们快速解决平面几何相关证明和计算问题。
例题1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意；
B、由可得，，可利用证明，故此选项符合题意；
C、不能证明，故此选项不合题意；
D、不能证明，故此选项不合题意；
故选：B．
【感悟】本题考查了全等三角形的判定方法，熟记判定，牢记模型是解此题的关键，．
例题2．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【感悟】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
例题3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于点，于点，解直角，得出，证明，得出，再求出，，然后利用正切函数定义即可求解．
【详解】如图，作于点，于点，

∵，，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：．
【感悟】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
例题4．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，，，，连接，则所在直线的表达式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点C作轴于D，证明得到，进而求出，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线所在直线的表达式为，
∴，即，
∴直线所在直线的表达式为，
故选A．

【感悟】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例题5．（2023·广西钦州·模拟预测）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论结论正确的是（ ）
A．矩形是正方形 B． C． D．
【答案】A
【分析】过作于点，过作于点，根据正方形的性质得出，，从而可得四边形为正方形，由矩形的性质可知，，然后根据全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】过作于点，过作于点，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又，
在和中
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故正确；
∴，故错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于， 故错误，
不能得出与全等，不一定等于，故错误；
故选：．
【感悟】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
例题6．（2023·江苏徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．
【详解】解：如图，连接，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，则，，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，
，
．
周长：．
故答案为：．
【感悟】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例题7．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由即可证明；
（2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．
【感悟】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例题8．（2023·福建南平·二模）在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1．
(1)判断直线与直线的位置关系，并证明；
(2)当时，求的大小；
(3)如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：．
【答案】(1)，证明见解析(2)(3)证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质和等边对等角的性质，得到，即可证明；
（2）设，则，由旋转的性质，得出，再根据三角形外角的性质，得到，然后根据三角形内角和定理，求出的值，即可得到答案；
（3）连接CF、CG，利用旋转的性质，证明，得，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得的，从而得出，再证明，得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：，证明如下：
证明：由旋转的性质可得，，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，即；
（3）解：证明：如图3，连接、，
由旋转的性质可知：，，，
，
，
，，
，
，，
，点F为线段的中点，
，
，
，
，
在和Rt中，
，
，
，
．
【感悟】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识．解题关键是作辅助线构造全等三角形．
例题9．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
图1 图2
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【感悟】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
例题10．（2023·辽宁阜新·二模）如图1，已知和均为等腰直角三角形，，，，点D在线段上，点F为中点，点M为中点，点N为中点．

(1)如图1， ______，和之间的数量关系是______；
(2)如图2，绕点C顺时针旋转，点G为中点，求证：四边形为正方形；
(3)如图3，若，，在将绕点C顺时针旋转过程中，直线，交于点H，直接写出面积的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)4
【分析】（1）连接，延长交于点G，证明，得出，，推出，即，则，根据三角形的中位线定理得，，根据平行线的性质得出，则，即可得出结论；
（2）连接，相交于点H，交于点P，通过证，得出，，根据三角形的中位线定理得出，则四边形为菱形，用和（1）相同的方法证明，即可求证四边形为正方形；
（3）根据题意可得点D在以点C为圆心，长为半径的圆上运动，则当与直线相切时，面积最小，通过证明四边形为正方形，得出，，求出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：连接，延长交于点G，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵点F为中点，点M为中点，点N为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；

（2）证明：连接，相交于点H，交于点P，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵点F为中点，点M为中点，点N为中点，点G为中点，
∴，，
∴，则四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形；

（3）解：根据题意可得：点D在以点C为圆心，长为半径的圆上运动，
令点H到直线距离为h，
∴，
∵由图可知，当与直线相切时，最小，则h最小，
∴当与直线相切时，面积最小，
由（2）可知，，，
∴，
∵与直线相切，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴四边形为正方形，则，，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【感悟】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，灵活运用三角形的中位线定理．
例题11．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若
，求 的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；
（2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案；
（3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
（3）过点D作交的延长线于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【感悟】本题是综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
全等三角形的基本知识虽然很重要，但是更重要的是要掌握常见的几何模型，比较重要的有平移全等型、翻折全等型、旋转全等型，这三个是基础型，其它的几个：一线三直角模型、一线三等角模型，其中一线三直角模型是一线三等角模型的特殊情况。几何模型切记不要死记硬背！理解这几种模型之间的关系，是灵活使用模型帮助我么解决问题的关键！ 例如，我们常说的手拉手模型其实本质上就是旋转模型与相似的复合。
选择题
1．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和定理求出，利用全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C
2．（2023·山东淄博·统考二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选C．
3．（2023·天津东丽·统考二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，进而得出是两个顶角相等的等腰三角形，即可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故选：D．
4．（2023·天津·统考二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，的对应点为．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋转可知，由全等的性质可知，故选项A正确；由全等可知，结合，可得，故选项B不正确；根据等边对等角可知，所以，由全等可知，即可证明，可得出，故选项C不正确；由三角形外角的性质可得，所以，即，由全等可知，可证明，故选项D不正确．
【详解】解：∵由旋转可知：，
∴，故选项A正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故选项B不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故选项C不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项D不正确；
故选：A．
5．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（ ）

A．3 B．7 C．8 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果．
【详解】解：∵，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，
∴，
∵
∴.
故选：B．
6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，四边形为菱形，，交的延长线于点，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据菱形的性质，通过证明即可；通过证明，即可求证；通过证明，即可求证；连接连接交于，设，根据三角形面积之间的关系，即可求证．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
，
；故①正确；
，，
，
∴，
，故②正确；
∵，
，，
，
，
；故③正确；
连接交于，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：D．
7．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是的垂直平分线，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，
点P的运动路径长为．
故选：A．
8．（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形中，点E在以B为圆心的弧上，射线交于F，连接，若，则（　　）．

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，过点B作于点H，根据圆的性质和等腰三角形的性质可定，再结合正方形的性质可得；再证可得，即；然后再根据勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：如图，连接，过点B作于点H，

∵点E在以B为圆心的弧上，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍去）．
故选：B．
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：B．
10．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】设交与点O，证明．连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接，设交与点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
取中点M，连接，，则，为定长，
∵，
∴，
∴，
如图，过点M作于点N，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当A，M，G三点共线时，，
故选：B．

11．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点E在正方形的外部，，连接交于点F，的平分线交于点G，．若，则等于（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】作于H，连接，设，由题先证明，得到，，再结合可求出，再利用勾股定理构造方程即可解答．
【详解】解：如图，作于H，连接，设，

∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，,
∵，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
12．（2023·安徽滁州·统考一模）如图，在正方形中，，G是的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】连接，将绕点D逆时针旋转得，连接，作于H，利用证明得，再说明得，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：连接，将绕点D逆时针旋转得，连接，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故选A．
13．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，点为线段上一点，以和为边在线段同侧作等边和等边，连接与交于点，连接与相交于点、与相交于点，连接，（1）绕点顺时针旋转与重合 （2）绕点逆时针旋转与重合 （3） （4） （5）平分．以上结论错误的个数为( )个．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】证明，可判断（1）；进而可证得，可判断（2）；根据全等的性质即可判断（3）；过点分别作，的垂线，垂足分别为，，由可得，即可判断（5）；结合（5）的结论说明，再在上截取，连接，可得为等边三角形，进而易得，可得，即可判断（4）．
【详解】解：和均为等边三角形，
，，，
，
，
绕点顺时针旋转与重合，
故（1）正确；
，
，
，
，
，
，
绕点逆时针旋转与重合，
故（2）正确；
，，
，
故（3）正确；
过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
，
平分，
故（5）正确；
，
，
，
，
又，
，
平分，
，
在上截取，连接，
为等边三角形，
，，
，
又，
，
，
，
故（4）正确；
综上所述，错误的有0个，
故选：D．
14．（2022上·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①；
②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②；
③由，得，进而得，可判断③；
④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④；
⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤．
【详解】①∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴，，
∵是直角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
当点E不是的中点时，，
故①错误；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，，
所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，
故④错误；
⑤∵，AB＝AC，
∴，
当不是的平分线时，，
此时，
故⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
15．（2021上·山西吕梁·八年级统考期中）把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据题目条件使用SAS即可得到，根据全等三角形的性质可得BD=CE，，．使用等价代换思想可得BE=CE+DE；结合三角形内角和定理可得，结合三角形外角的性质，等腰三角形的性质和已知条件可得．
【详解】解：∵，
∴，即．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴，故①正确．
∴BD=CE．
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+DE，故②正确．
∵，
∴．
又∵，，
∴，故③正确．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵AD=AE，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴，故④正确．
故选：D．
16．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，

，
，
；
②当时，

在中，，
在中，，
综上可知，的长为5或．
故答案为：5或．
17．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知，，，，绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当为等腰三角形时，AP的长为 ．

【答案】或或
【分析】分类讨论：①当，由，，则，过作与，于，利用三角形的中位线的性质得到 ， ， ，可得到与的长，然后利用等腰三角形的性质得到 ，易得 ，又，利用三角形全等的性质得到，则 ，即，则，然后根据三角形相似的性质得到：：，代值计算可得，从而求得；②当，则点在点，易证，然后根据三角形相似的相似比即可得到，从而求得；②当，则，而，得到，即，易证，然后根据三角形相似的相似比即可求得．
【详解】解：①当，
，，，
则，
过作与，于，如图，

为的中点，
， ， ，
， ，
，
而，
，
又，
，
而，
，即，
，
：：，即： ：，
，
；
②当，则点在点，如图，

，
而，
，
，
：：，即： ：，
，
；
③当，则，
而，
，即，如图，

，
：：，即：：，
．
故答案为或或．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．

【答案】3
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，
故答案为：3．
19．（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是，则B点的坐标是 ．

【答案】
【分析】如图，延长正六边形的边与x轴交于点E，过A作轴于N，连接，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边与x轴交于点E，过A作轴于N，连接，

三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：．
20．（2023·广东广州·统考二模）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为 ．

【答案】2或/或2
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，即可得出结论．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，

当时，；
如图2所示，

当时，．
综上所述，的长为2或．
故答案为：2或．
21．（2023·广东东莞·统考一模）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为中的直角，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ．
【答案】/
【分析】根据余角的性质得到，证明，得到，由勾股定理可得，求得，得到，求得，于是得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
22．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为边作正方形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段上运动，且始终满足，连接，，，当的面积为5时，的长是 ．

【答案】或
【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点，先证出，再证出，利用三角形的面积公式求解即可得；②当点在线段上运动时，过点作于点，连接，先求出，是等腰直角三角形，再设，则，从而分别求出的长，然后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：①如图，当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点，
∵四边形是正方形，，
，
，
∵在中，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的面积为5，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
又，
；
②如图，当点在线段上运动时，过点作于点，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
设，则，，
，
又，
，
，
整理为，
即或，
解方程得：或（舍去），
解方程得：（此时点在上，不符合题设，舍去）或（舍去），
综上，的长是或，
故答案为：或．
23．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
24．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，交于M点，交于N点．下列结论：①； ②若F是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
【答案】①③/③①
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，可得，根据正方形的性质证明，在中，由勾股定理，即可证明①；
过A作，交延长线于G，由（1）同理可得，，设，
则可表示出设，在中，由勾股定理可得，设，则，即可证明②；
根据条件可证明，进而证明，即可证明③．
【详解】解：①将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∵，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
而，
在中，，
∴，故①正确；
②过A作，交延长线于G，如图：
由（1）同理可得，，
∴，
设，
∵F是的中点，
则，
在中，，
∴，
解得，
设，则，
∴，
在中，，
∴，故②不正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
25．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．

【答案】2
【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是．
【详解】解：过点作于点F，则，
∵，
∴．
又，
∴.
∴．
设，矩形中，，
，
，，解得，
∴．
故答案为：2

26．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

【答案】见解析
【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
【详解】证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
27．（2021·江苏泰州·校考一模）已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为　　　　　　（直接写出答案）
【答案】（1）AD=OB，证明见解析；（2）AD=OB，证明见解析；（3）AD=2sinOB．
【分析】（1）如图1，连接AC，根据已知条件得到△ABC与△COD是等边三角形，求得∠ACD=∠BCO，推出△ACD≌△BCO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，根据已知条件得到∠ACB∽△DCO=30°，推出△ACD∽△BCO，根据相似三角形的性质得到 ，由三角函数的定义得到
，于是得到结论；
（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，根据已知条件得到∠ACB=∠DCO，推出
△ACD∽△BCO，根据相似三角形的性质得到，由三角函数的定义得到结论；
【详解】解：（1）AD=OB，
如图1，连接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC与△COD是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD与△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；
（2）AD=OB；
如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴ ，
∵∠CFB=90°，
∴=2sin60°=，
∴AD=OB；
（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO= ，
∴∠ACD=∠BCO，
同理可得：△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB=90°，
∴，
∴AD=2sinOB．
28．（2023·浙江台州·统考一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F．
(1)点C到的距离为______；
(2)如图1，当点E在的外部时．
①求证：；
②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；
(3)若，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①见解析，②
(3)或
【分析】（1）连，直接求的长即可；
（2）①设交于点，证明即可；
②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得．
（3）分E在上方和E在下方两种情况，分别求得即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，
∵在中，，，D是边上的中点，
∴，，
∴点C到的距离为，
故答案为：；
（2）解：①设交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵过点D作的垂线交射线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴；
②延长和交于点，连接，
∵，，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当E在上方时，过D作于H，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当E在下方时，
同理，，，
则，
综上，或．
29．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在中，．
(1)如图1，在内取点D，连接，，将绕点A逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
(2)如图2，点D为中点，点E在的延长线上，连接交于点F，，连接并延长至点G，连接，若，求证：﹔
(3)如图3，，点D在的延长线上，连接，在上取点E，，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）先证明，从而得到，过E作垂直于的延长线于点F，由得到，从而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，则即可；
（2）取中点H，连接、，由是中位线得到，由得到，，因为，则是中位线，，，从而证明，得到，因为，得到是等边三角形，即即可；
（3）建立直角坐标系，设，则，用带有x的表达式得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：过E作垂直于的延长线于点F，如图3所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，，
∴在中，，，，
∴；
；
（2）解：取中点H，连接、，与交于点O，如图4所示，
∵D是中点，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形，，
∴；
；
（3）解：以点为原点，为x轴，建立直角坐标系，
设，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
，
∵，则当时，有最小值，即有最小值，
∴．
30．（2021下·重庆·八年级统考期末）在矩形中，，，点为上的点，点矩形内部一动点，连接，；
（1）如图一，若满足，，，，求证：；
（2）如图二，当点在线段上的运动，求的最小值；
（3）如图三，若点为的中点，为矩形内部一动点，连接，，，问是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)存在最小值，理由见解析.
【分析】(1)过点P作PF⊥BC交BC于F，然后证明△PFE≌△ECD即可得到答案；
(2)作D点关于BC的对称点，连接，当P、E、三点共线且与BD垂直时即为最小值；
(3)将三角形BPC顺时针旋转90°得到新三角形，然后可以得到，容易得出当点Q、P、、四点共线时此时有最小值.
【详解】解：(1)如图所示，过点P作PF⊥BC交BC于F
在直角三角形PFB中，
∴BF=PF，
∴
即BF=PF=1=EC
又∵BF+EF+EC=BC=5
∴EF=BC-BF-EC=3
∴FE=CD
∴△PFE≌△ECD
∴PE=DE
(2)如图所示，作D点关于BC的对称点，连接，当、、三点共线且与BD垂直时即为最小值
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，在中，∠
∴△BCD∽
∴
∴
又∵，
∴
由对称性可知
∴
∴的最小值为
(3)如图所示，将三角形BPC顺时针旋转90°得到新三角形，然后过点作⊥AD交AD于N，连接Q交BC于M
由旋转的性质可知，，，∠=∠=90°
∴
∴
故当Q、P、、四点共线， 有最小值
∵∠=90°
∴A、B、三点共线，
∴在直角三角形中，
∴
∵点为的中点
∴
∴
∴的最小值为
22024中考数学一轮复习 (全国通用版)
2024中考数学精讲与精练（全国通用版）
第十三讲 全等三角形
考点1：全等三角形的概念和性质
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。
2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）
文字语言 图形语言 符号语言
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等， 面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等．
考点2：全等三角形的判定方法
文字语言 图形语言 符号语言 简记
有三边对应相等的两个三角形全等 SSS
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA
有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL
考点3：常考的全等模型
1.几何变换中的全等模型
（1）平移全等模型，如下图：
（2）翻折全等模型，如下图：
（3）旋转全等模型，如下图：
2.一线三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如图：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.
（2）等边三角形中的手拉手全等模型
如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.
全等三角形是平面几何的基本工具，是后续学习的基础，也是中考必考考点之一。掌握必要的常见全等模型是非常必要的，可以帮我们快速解决平面几何相关证明和计算问题。
例题1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是( )
A． B． C． D．
例题2．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
例题3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（　　）

A． B． C． D．
例题4．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，，，，连接，则所在直线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2023·广西钦州·模拟预测）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论结论正确的是（ ）
A．矩形是正方形 B． C． D．
例题6．（2023·江苏徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．
例题7．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
例题8．（2023·福建南平·二模）在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1．
(1)判断直线与直线的位置关系，并证明；
(2)当时，求的大小；
(3)如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：．
例题9．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
图1 图2
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

例题10．（2023·辽宁阜新·二模）如图1，已知和均为等腰直角三角形，，，，点D在线段上，点F为中点，点M为中点，点N为中点．
(1)如图1， ______，和之间的数量关系是______；
(2)如图2，绕点C顺时针旋转，点G为中点，求证：四边形为正方形；
(3)如图3，若，，在将绕点C顺时针旋转过程中，直线，交于点H，直接写出面积的最小值．
例题11．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，求 的值．
全等三角形的基本知识虽然很重要，但是更重要的是要掌握常见的几何模型，比较重要的有平移全等型、翻折全等型、旋转全等型，这三个是基础型，其它的几个：一线三直角模型、一线三等角模型，其中一线三直角模型是一线三等角模型的特殊情况。几何模型切记不要死记硬背！理解这几种模型之间的关系，是灵活使用模型帮助我么解决问题的关键！ 例如，我们常说的手拉手模型其实本质上就是旋转模型与相似的复合。
选择题
1．（2023·浙江金华·三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第1题 第2题 第3题
2．（2023·山东淄博·统考二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·天津东丽·统考二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·统考二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，的对应点为．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
第4题 第5题
5．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．以上都不对
6．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，四边形为菱形，，交的延长线于点，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第6题 第7题 第8题
7．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形中，点E在以B为圆心的弧上，射线交于F，连接，若，则（　　）．
A．2 B． C． D．
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中二模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
第9题 第10题
10．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
11．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点E在正方形的外部，，连接交于点F，的平分线交于点G，．若，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
第11题 第12题
12．（2023·安徽滁州·统考一模）如图，在正方形中，，G是的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
13．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，点为线段上一点，以和为边在线段同侧作等边和等边，连接与交于点，连接与相交于点、与相交于点，连接，（1）绕点顺时针旋转与重合 （2）绕点逆时针旋转与重合 （3） （4） （5）平分．以上结论错误的个数为( )个．
A．3 B．2 C．1 D．0
14．（2022上·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第14题 第15题
15．（2021上·山西吕梁·八年级统考期中）把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
16．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
第16题
17．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知，，，，绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当为等腰三角形时，AP的长为 ．
第17题 第18题
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．
19．（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是，则B点的坐标是 ．
第19题 第20题
20．（2023·广东广州·统考二模）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为 ．
21．（2023·广东东莞·统考一模）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为中的直角，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ．
第21题
22．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为边作正方形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段上运动，且始终满足，连接，，，当的面积为5时，的长是 ．
第22题 第23题
23．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
24．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，交于M点，交于N点．下列结论：①； ②若F是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
第24题 第25题
25．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．
三、解答题
26．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

27．（2021·江苏泰州·校考一模）已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为　　　　　　（直接写出答案）
28．（2023·浙江台州·统考一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F．
(1)点C到的距离为______；
(2)如图1，当点E在的外部时．
①求证：；
②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；
(3)若，请直接写出的长．
29．（2023·重庆沙坪坝·南开中学阶段练习）如图，在中，．
(1)如图1，在内取点D，连接，，将绕点A逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
(2)如图2，点D为中点，点E在的延长线上，连接交于点F，，连接并延长至点G，连接，若，求证：﹔
(3)如图3，，点D在的延长线上，连接，在上取点E，，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．
30．在矩形中，，，点为上的点，点矩形内部一动点，连接，；
（1）如图一，若满足，，，，求证：；
（2）如图二，当点在线段上的运动，求的最小值；
（3）如图三，若点为的中点，为矩形内部一动点，连接，，，问是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由．
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