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(共23张PPT)
第5章 三角函数
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握正切函数的性质； 1.逻辑推理素养.
2.会画正切函数的图象； 2.直观想象素养.
3.会用正切函数的性质解决简单问题 . 3.数学运算素养.
温故知新
－32°
1.正切函数
2.正弦函数、余弦函数图象和性质的研究过程？
形
数
形
数
单位圆
三角函数
函数图像
函数性质
同角三角函数基本关系式
诱导公式
周期性
奇偶性
单调性
最大值与最小值
利用单位圆
温故知新
－32°
正切函数
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象和性质 ？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
形
数
数
形
单位圆
三角函数
函数性质
函数图像
同角三角函数基本关系式
诱导公式
新知探究
正切函数
由诱导公式 ,且
可知，
正切函数是周期函数，周期是.
1.周期性
2.奇偶性
由诱导公式 ,且
可知，
正切函数是奇函数.
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
新知探究
可以先考察函数的图象和性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
任何画出函数的图象？
如图所示，设x∈[0, )，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则
由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角x的正切值.
新知探究
我们可以利用线段AT画出函数的图象，如图所示.
，
，
，
，
，
A
T
x
y
O
观察图象可知：当x∈[0，)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tanx，x∈[0，)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x= ，但不会与该直线相交．
新知探究
根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象．
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征
新知探究
根据正切函数的周期性，只要把函数图象向左、右平移，每次平移π个单位，就得到正切函数的图象,我们把它叫做正切曲线(tanget curve)(如图）.
从图象可以看出，正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支性状相同的曲线组成的.
新知探究
观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增.
3.单调性
由正切函数的周期性可得，
正切函数在每个区间上都单调递增.
4.值域
当时，在(-∞,+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.因此 ，
正切函数的值域是实数集R.
5.对称性
观察正切曲线可知，
正切函数的图象关于每个点中心对称.
新知探究
定义域
值域
单调性
奇偶性
周期性
最值
对称性
R
在每个区间上都单调递增.
奇函数
周期函数，周期
无最值
关于每个点中心对称.
新知形成
解：
【例1】求函数的定义域、周期及单调区间.
自变量x的取值应满足
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形得出相应结论.
即
∴此函数的定义域为.
新知形成
解：
【例1】求函数的定义域、周期及单调区间.
设,又
∴
即
∵对
∴此函数的周期为2.
由解得
∴此函数的单调递增区间为.
新知形成
1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2.函数周期的求解方法
(1)定义法;
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
3.求函数(且都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令-kπ＜ωx＋φ＜kπ，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化,即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
初试身手
1.求函数的定义域、周期及单调区间.
解：
由得，
∴此函数的定义域为.
,∴此函数的周期是.
由得，.
∴此函数的单调递增区间为.
新知探求
【例2】不通过求值，比较下列每组数的大小：
⑴； ⑵．
解：
⑴∵,
又∵,而函数在区间上单调递增,
∴
则.
新知探求
【例2】不通过求值，比较下列每组数的大小：
⑴； ⑵．
解：
⑵∵,
又∵, ∴,
∵,∴,
∴
则.
∵, ∴,
∴
而函数在区间上单调递增，
初试身手
2.⑴比较大小;
⑵写出使成立的x的集合.
解：
⑴∵
⑵由得，，如图所示，在区间内，上述不等式x的取值范围是,
∴, 即.
又∵,且在区间上单调递增，
x
y
O
y=1
又∵函数的周期为,
∴此不等式成立的x的集合为.
课堂小结
1.正切函数的图象及其研究方法
2.正切函数的性质
3.正切函数的图象和性质的应用
作业布置
作业：P213—214 习题5.4 第7,8，9⑶，⑷，13，14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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