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2024成都中考数学第一轮专题复习之
第四章 第四节 解直角三角形的实际应用 知识精练
基础题
1. (2023天津)sin 45°＋的值等于(　　)
A. 1 B.
C. D. 2
2. (2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的(　　)
第2题图
A. 南偏西70°方向
B. 南偏东20°方向
C. 北偏西20°方向
D. 北偏东70°方向
3. (2023南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两点相距(　　)
A. 米 B. 米
C. x·sin α米 D. x·cos α米
第3题图
4. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB的值为(　　)
　　
第4题图
A. B. C. D.
5. (2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
第5题图
6. (2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　)
　
第6题图
A. 1.59米 B. 2.07米
C. 3.55米 D. 3.66米
7. (北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为(　　)
第7题图
A. 7米 B. 11米 C. 13米 D. 20米
8. (2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第8题图　
9. [新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为________．
第9题图
10. [新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)
第10题图
11. 成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A处放置高为1米的测角仪AB，在B处测得塔顶F的仰角为30°，沿AC方向继续向前行38米至点C，在CD处测得塔顶F的仰角为65°(点A，C，E在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF的高度．(结果保留整数，参考数据：≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)
第11题图
拔高题
12. [新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图 第12题图① 第12题图②
说明 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
13. 雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14 cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16 cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.73)
图①
图②
第13题图
参考答案与解析
1. B　【解析】原式＝＋＝.
2. D　【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．
3. B　【解析】∵在Rt△ABC中，cos α＝，∴AC＝.∵AB＝x，∴AC＝.
4. B　【解析】如解图，连接BD，在△ABD中，AB＝＝，AD＝＝2，BD＝＝，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴cos ∠CAB＝＝.
第4题解图
5. D　【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD＝1，AB＝5，设Rt△ABC的AC边为x，则x2＋(x＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，∴BC＝4，∴cos α＝＝.
第5题解图
6. D　【解析】根据题意可知，∠BAD＝90°，∠BCA＝45°，AB＝5，∴AC＝AB＝5，在Rt△ABD中，∠D＝30°，∴tan 30°＝，∴AD＝＝＝5，∴CD＝AD－AC＝5－5≈3.66(米).
7. C　【解析】如解图，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N.由题意可知DM＝EN＝15，∵背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，∴＝，∴CM＝9.∵DE＝MN＝2，∴CN＝7.∵背水坡EF的坡度i＝3∶4，∴＝＝，解得CF＝13.
第7题解图
8. 2.7　【解析】如解图，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2 cm，∴CE＝BD＝2 cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan 37°＝≈0.75，∴OE≈2.7 cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.
第8题解图
9. 　【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A＝β＝∠B，∴tan α＝tan B＝.易知△ACO∽△BDO，∴＝＝＝.∵CD＝12，∴OD＝8，∴tan α＝tan B＝.
10. (3＋)　【解析】如解图，过点O作OC⊥BT，垂足为C，由题意得BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB·cos 45°＝2×＝(米).∵OM＝3米，∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC＋OM＝(3＋)米．
第10题解图
11. 解：如解图，设BD的延长线与EF交于点G，由题意可得∠FDG＝65°，∠FGD＝90°，
∴∠DFG＝25°.
AB＝CD＝EG＝1米，AC＝BD＝38米，设FG＝x米，
在Rt△BFG中，∠FBG＝30°，
tan 30°＝＝＝，
解得BG＝x，
在Rt△DFG中，∠DFG＝25°，
tan 25°＝＝≈0.47，
解得DG＝0.47x，
∴BD＝BG－DG＝x－0.47x＝38，解得x≈30，
∴EF＝FG＋EG＝30＋1＝31(米).
∴主火炬塔EF的高度约为31米．
第11题解图
12. 解：如解图，过点A作AF⊥MN，垂足为点F，
设BF＝x cm，∵BC＝9 cm，
∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm.
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF·tan 35°≈0.7x cm.
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF·tan 22°≈0.4(x＋9)cm，
∴0.7x＝0.4(x＋9)，解得x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4 cm，
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm.
第12题解图
13. 解：如解图，过点B作BE⊥MN于点E，过点D分别作DF⊥MN于点F，作DG⊥BE于点G，
则易得四边形DGEF是矩形，DF＝16 cm，∴EF＝DG，DF＝GE.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，tan ∠DCF＝，
∴CF＝＝＝＝16 cm.
∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.
∵∠ABD＝85°，
∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.
在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin ∠DBG＝，cos ∠DBG＝，
∴DG＝BD·sin ∠DBG＝BD·sin 40°≈0.64BD，
BG＝BD·cos ∠DBG＝BD·cos 40°≈0.77BD，
∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.
∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，
∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋16，
解得BD≈18.2 cm.
答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2 cm.
第13题解图

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