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第3讲　抛体运动
目标要求　
1.会处理运动的合成与分解及关联速度问题。
2.掌握解决曲线运动的一般方法，会处理平抛、斜抛运动。
考点一　运动的合成与分解
例1　(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
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例2　如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
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关联速度问题
首先明确物体的实际速度为合速度，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
例3　滑雪是冬季运动项目之一，如图所示，整个滑雪轨道在同一竖直平面内，高为H的弯曲滑道OA与长直斜滑道AB连接，某运动员从O点由静止滑下，到达A点并水平飞出后落到长直斜滑道上的B点，不计滑动过程中的摩擦和空气阻力，若弯曲滑道OA的高H加倍，运动员仍落到斜滑道上，则下列说法正确的是(　　)
A．运动员在A点水平飞出的速度加倍
B．运动员在A点飞出后在空中运动的时间加倍
C．运动员落到斜滑道上的速度大小不变
D．运动员落到斜滑道上的速度方向不变
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考点二　平抛运动
1．平抛运动及研究方法
2．平抛运动的两个推论
(1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ，如图甲所示。
(2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
例4　某次演习中飞机对山上的标靶投掷炸弹，其简化模型如图所示。山体的截面ABC近似为等腰三角形，其中AB、AC边长均为1 000 m，A点距地面高度为600 m，B、C为水平地面上两点，D、E分别为AB、AC的中点。飞机在B点正上方800 m处水平投掷一枚炸弹，炸弹离开飞机后做平抛运动。重力加速度g＝10 m/s2，飞机和炸弹均可视为质点，则(　　)
A．要击中E处的标靶，炸弹的初速度大小为120 m/s
B．炸弹不能击中E处的标靶
C．要击中A处的标靶，炸弹的初速度大小为40 m/s
D．要击中C处的标靶，炸弹的初速度大小为50 m/s
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平抛运动与斜面(曲面)的综合问题解题策略
情景示例 解题策略
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移方向，常规建系，分解位移 tan θ＝＝＝
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求飞行时间、位移等 已知位移方向，常规建系，分解位移 tan θ＝＝＝
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求离斜面最大距离及所用时间 已知速度方向，沿斜面向下为x轴，垂直斜面向上为y轴建立坐标系，分解初速度和重力加速度，t＝，h＝
例5　(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
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考点三　斜抛运动
性质 斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线
研究 方法 运动的合成与分解、逆向思维法
基本 规律 (以斜 上抛 运动 为例) (1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；x＝v0tcos θ (2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg；y＝v0tsin θ－gt2
常见 图例
例6　(2023·江苏南通市第一次调研)某喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷头出水速度的大小和方向均可调节。设喷头出水速度大小为v0，方向与水平地面的夹角为θ，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力，则(　　)
A．v0越大，喷灌的射程越远
B．θ越大，喷灌的射程越远
C．喷灌射程最远时，水在空中的时间不是最长
D．喷灌射程相同时，水在空中上升的最大高度相同
学习笔记：______________________________________________________________
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1．(2023·江苏南京师大附中模拟)在我国古代，人们曾经用一种叫“唧筒”的装置进行灭火，这种灭火装置的特点是：筒是长筒，下开窍，以絮囊水杆，自窍唧水，既能汲水，又能排水。简单来说，就是一种特制水枪。设灭火时保持水喷出的速率不变，忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．灭火时应将“唧筒”的轴线指向着火点
B．想要使水到达更高的着火点，必须调大“唧筒”与水平面间的夹角(90°以内)
C．想要使水到达更远的着火点，必须调小“唧筒”与水平面间的夹角(90°以内)
D．若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当慢一些
2.(2023·江苏南通市期末)如图，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平。从A、B两点分别以初速度v1、v2水平抛出两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球(　　)
A．必须同时抛出
B．初速度v1与v2相等
C．击中O点时速度相同
D．击中O点时重力的瞬时功率相等
第3讲　抛体运动
例1　D　[以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。]
例2　A　[设物体A下落高度为h时，物体A的速度大小为vA，物体B的速度大小为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mvA2＋mvB2，联立方程解得vB＝，故选A。]
例3　D　[根据动能定理有mgH＝mv2，可得运动员水平飞出的速度v＝，若H加倍，可知其水平飞出的速度变为原来的倍，选项A错误；运动员从A点飞出后做平抛运动落在斜滑道上，设斜滑道倾角为θ，则有tan θ＝＝，解得t＝，若H加倍，则运动员在空中运动的时间变为原来的倍，选项B错误；运动员从A点水平飞出落到斜滑道上时，速度方向与水平方向夹角α的正切值始终是位移方向与水平方向夹角θ的正切值的2倍，θ不变，所以α也不变，故速度方向不变，选项D正确；运动员落到斜滑道上的速度方向不变，大小为v′＝，α不变，若H加倍，则运动员落到斜滑道上的速度大小变为原来的倍，选项C错误。]
例4　B　[要击中A处标靶，由几何知识可知，抛出点到A点的水平位移为800 m，竖直位移为200 m，由平抛运动规律有h＝gt2，x＝vt，解得初速度v＝40 m/s，同理可知，要击中C处的标靶，炸弹的初速度大小也为40 m/s，故C、D错误；综上所述，当炸弹初速度为40 m/s时轨迹恰好过A、C两点，所以炸弹初速度小于40 m/s时落在A点左侧，初速度大于40 m/s时落在C点右侧，即炸弹不能落在AC边上任意位置，故A错误，B正确。]
例5　 m/s
解析　频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s
设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间水平方向上的位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t
y1＝gt2＝×10×0.22 m＝0.2 m
y2＝g(2t)2－gt2＝×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m
令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为
s1＝
s2＝＝
则有∶＝3∶7
整理得x＝y
故在抛出瞬间小球速度的大小为
v0＝＝ m/s。
例6　C　[初速度可以分解为vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，在空中运动的时间为t＝，则水平射程为s＝v0cos θ·t＝v0cos θ·＝，所以当v0一定时，夹角为θ＝45°时，喷灌的射程最远，最大值为；θ一定时，v0越大，喷灌的射程越远，故A、B错误；由t与s的表达式可知，当s最大时，t不是最大；水在空中上升的最大高度H＝，喷灌射程相同时，水在空中上升的最大高度不一定相同，C正确，D错误。]
高考预测
1．B　[水离开出口水后做抛体运动，所以灭火时“唧筒”的轴线不能指向着火点，故A错误；当调大“唧筒”与水平面间的夹角，即水在竖直方向的初速度增大，所以竖直位移更大，将到达更高的着火点，故B正确；当调小“唧筒”与水平面间的夹角时，水在空中的时间减小，虽然水在水平方向的速度增大，但是不一定能使水到达更远的着火点，故C错误；若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当快一些，才能使水喷出的速度大小不变，故D错误。]
2．B　[已知O为抛物线OM顶点，则以O为原点建立xOy直角坐标系，则设OM为y＝ax2
则两平抛运动在竖直方向为自由落体运动，有
y1＝ax12＝gt12
y2＝ax22＝gt22
联立解得＝
平抛运动在水平方向为匀速直线运动，有x1＝v1t1，x2＝v2t2
联立可得·＝
整理可得v1＝v2，故B正确；
因＝>1，则可得t1>t2
故A处球先抛出才能同时击中O点，故A错误；
因v1＝v2，但竖直方向有v1y＝gt1>v2y＝gt2
故两分速度合成后可知击中O点时的速度不同，故C错误；
两球在O点时重力瞬时功率为PG1＝mgv1y>PG2＝mgv2y
即击中O点时重力的瞬时功率不相等，故D错误。]

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