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第4讲　圆周运动　天体的运动
目标要求　
1.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。
2.知道开普勒定律，会分析天体的运动规律，会比较卫星的参量。
考点一　圆周运动
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好发生滑动
圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型 最高点：FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0
轻杆模型 最高点：mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力
带电小球在叠加 场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动
倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点
例1　(2023·北京卷·10)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是(　　)
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
学习笔记：______________________________________________________________
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例2　(2023·江苏省南京市南京师大附中一模)如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为ω的匀速圆周运动。已知O、B间距离为r，AB杆长为L，则(　　)
A．L越大，活塞运动的范围越大
B．圆盘半径越大，活塞运动的范围越大
C．当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr
D．当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr
学习笔记：______________________________________________________________
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例3　很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。如图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示：弹簧一端固定，另一端与质量为m的小滑块(含触点a)连接，当触点a、b接触，电路接通使气门嘴灯发光，触点b位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b距离为L，弹簧劲度系数为，重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b均可视为质点。
(1)若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
(2)若自行车以的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
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解决圆周运动问题的基本思路
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考点二　天体的运动
1．开普勒定律理解
(1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2；
(2)根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r＝R；
(3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
2．卫星的发射、运行及变轨
在地面 附近 静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式)
考虑自转： 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R
卫星的 发射 地球的第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度
(天体) 卫星在 圆轨道 上运行 G＝Fn＝ 轨高速低周期大
变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长
3.天体质量和密度的计算
例4　(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是(　　)
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
学习笔记：______________________________________________________________
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例5　(2023·江苏南京市三模)2022年10月31日，搭载梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭发射取得圆满成功。实验舱发射可简化为三个轨道，如图所示，先由近地圆轨道1进入椭圆轨道2，再调整至圆轨道3。轨道上A、B、C三点与地球中心在同一直线上，A、C两点分别为轨道2的远地点与近地点。下列说法正确的是(　　)
A．实验舱在轨道2上C点的速度大于第一宇宙速度
B．实验舱在轨道2上运行的周期小于在轨道1上运行的周期
C．实验舱在轨道2上的A点和在轨道3上的B点受到的万有引力相同
D．实验舱在轨道2上C点的速度小于在轨道3上B点的速度
学习笔记：______________________________________________________________
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例6　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　)
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
例7　(2022·福建卷·4)2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地390 km近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为G，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为m0，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为r1、r2，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为(　　)
A.GMm0(－) B．GMm0(－)
C.GMm0(－) D．2GMm0(－)
学习笔记：______________________________________________________________
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1．(2023·江苏连云港市模拟)如图所示，螺旋测微器旋钮转动一周，旋钮同时沿着轴线方向前进或后退一个螺距的距离。旋钮上“0”刻线处A点的旋转半径约为5.0 mm，内部螺纹的螺距x＝0.5 mm。若匀速转动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线移动的速度大小之比约为(　　)
A．10∶1 B．10π∶1
C．20π∶1 D．20∶1
2.(2023·江苏省南京师范大学附属中学一模)已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，赤道上有一个卫星监测站B(图中未画出)。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为(　　)
A. B.
C. D.
第4讲　圆周运动　天体的运动
例1　A　[空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；根据F＝mω2R，ω＝，解得小球质量m＝，故B错误；若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所得质量偏大，故D错误。]
例2　D　[当B点在圆心左侧水平位置时，活塞运动到最左位置，距离O点s1＝L＋r
当B点在圆心右侧水平位置时，活塞运动到最右位置，距离O点s2＝L－r
所以活塞运动范围为s1－s2＝2r
此距离与L无关，与r成正比，与圆盘半径无关，故A、B错误；
圆盘B点速度vB＝rω
当OB垂直于AB时，如图甲所示
此时B点的速度方向一定沿杆，则vA≠vB，故C错误；
当OB垂直于AO时，如图乙所示
此时活塞速度方向与圆盘上B点速度方向相同，速度方向与杆的夹角θ相同，沿杆速度vBcos θ＝vAcos θ
此时有vA＝vB＝rω，故D正确。]
例3　(1)　(2)
解析　(1)只要气门嘴灯位于最高点时a、b接触即可保证全程灯亮，弹簧原长时a、b间的距离为＋L＝2L
气门嘴灯位于最高点时恰好可以亮，则有＝mg＋2kL＝3mg
解得满足要求的最小速度为v＝
(2)速度为时轮子滚动的周期为T＝＝
此速度下气门嘴灯所需的向心力为
F＝m＝2mg，
此力恰好等于a、b接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应与圆心等高的点，故当气门嘴灯位于下半圆周时灯亮，即t＝＝。
例4　A　[因为“夸父一号”轨道要始终保持“夸父一号”被太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。]
例5　A　[轨道1为近地圆轨道，实验舱运行的速度为第一宇宙速度，实验舱由轨道1变为轨道2，要做离心运动，因此在C点应该加速，所以在轨道2上C点的速度大于在轨道1上C点的速度，即实验舱在轨道2上C点的速度大于第一宇宙速度，故A正确；根据开普勒第三定律＝k可知轨道半径越大，周期越大，所以实验舱在轨道2上运行的周期大于在轨道1上运行的周期，故B错误；根据万有引力公式F＝G，可知实验舱在轨道2上的A点和在轨道3上的B点受到的万有引力大小相同，方向不同，故C错误；根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝可知实验舱在轨道1上运行的速度大于在轨道3上的速度，而实验舱在轨道2上C点的速度大于实验舱在轨道1上C点的速度，所以实验舱在轨道2上C点的速度大于在轨道3上B点的速度，故D错误。]
例6　B　[火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误；火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日则有(－)t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。]
例7　A　[空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道半径r1变轨到半径r2的过程，根据动能定理有
W＋W引力＝ΔEk
依题意可得引力做功
W引力＝G－G
万有引力提供空间站在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有G＝m0
空间站在轨道上运动的动能为
Ek＝G
动能的变化量ΔEk＝G－G
联立解得W＝(－)，故选A。]
高考预测
1．C　[旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A点做圆周运动的线速度为vA1＝，A点水平移动的速度为vA2＝，代入数据得＝，故选C。]
2．C　[设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有
G＝mr
由题图可知卫星A的轨道半径为
r＝2R
在地球表面根据万有引力等于重力
G＝mg
联立解得T′＝4π
如图所示，卫星A的通信信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面监测站B不能一直保持直接通信，也就监测不到，当卫星A与监测站B的连线与赤道相切时即将离开可监测范围。设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通信
根据几何关系可得cos θ＝＝＝
则有t－t＝2θ
联立以上解得t＝
故C正确，A、B、D错误。]

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