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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
知识回顾
y=sinx (x?R)
y=cosx (x?R)
定义域
值 域
周期性
R
[ - 1, 1 ]
T = 2?
1.定义域、值域与周期性
sin(-x)= - sinx (x?R)
y=sinx (x?R)
是奇函数
cos(-x)= cosx (x?R)
y=cosx (x?R)
是偶函数
定义域关于原点对称
2. 奇偶性与对称性
y=sinx
x
sinx
↗ 0 ↗ ↗ ? ↗
-1
0
1
0
-1
增区间为 [ ， ] ，其值从-1增至1
减区间为 [ ， ]，其值从1减至-1
正弦函数的单调性

y=sinx (x?R)
增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1
减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1
[ +2k?, +2k?],k?Z
[ +2k?, +2k?],k?Z
问题：正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从 -1 增大到 1；
在每个减区间上，函数值从 1 减小到 -1；
x
cosx
-? ↗ ↗ 0 ↗ ↗ ?
-1
0
1
0
-1
余弦函数的单调性
y=cosx
增区间为 [?????，0 ] ，其值从-1增至1
?
减区间为 [0 ，????]，其值从1减至-1
?
????∈[?????,????]
?

y=cosx (x?R)
增区间为 其值从-1增至1
[ +2k?, 2k?],k?Z
减区间为 ， 其值从 1减至-1
[2k?, ?+ 2k?], k?Z
正弦、余弦函数的最值
当 时，
有最大值1
当 时，
有最小值-1
当 时，
有最大值1
当 时，
有最小值-1
y=sinx
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
对称轴：
对称中心：
正弦、余弦函数的对称轴和对称中心
对称轴：
对称中心：
函数
y=sinx
y=cosx
图形
定义域
值域
最值
单调性
奇偶性
周期
对称性
1
-1
时，
时，
时，
时，
增函数
减函数
增函数
减函数
1
-1
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
奇函数
偶函数
例3 下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合
使函数 取得最小值的x的集合，就是
使函数 取得最小值的x的集合
函数 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
解：
（2）令z=2x,因为使函数 取最大值的z
的集合是
所以使函数 取最大值的x的集合是
同理，使函数 取最小值的x的集合是
函数 取最大值是3，最小值是-3。
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) sin( ) 与 sin( )
(2) cos( ) 与 cos( )
解:(1)????=sin????在[?????2,0]上递增,
?
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．
比较三角函数值大小的步骤：
例5 求函数 的单调增区间
y=sinz的增区间
√
f(x)与-f(x)单调性相反
用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或
y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间
(用不等式表示)中的“x ”；
第三步：解关于x的不等式．
注1.当ω＜0时，先将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，将y＝Acos(ωx＋φ)转化为y＝Acos(－ωx－φ)．
注2.k∈Z这一条件不能省略．
总之，求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
(2)y=cos2x-4cos x+5.
解：令t=cos x,
则-1≤t≤1.
y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1时,函数取得最大值10;
t=1时,函数取得最小值2,
所以函数的值域为[2,10].
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，
可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值.
(2)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，
利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：

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