资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题一 有理数考点大串讲专题复习
知识点回顾
一、正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
二、有理数
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 （0不能忽视）
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
四、相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则== -1(a0,b0))
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
五、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。
4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
七、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
④倒数等于它本身的数是1或-1。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
八、有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
九、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
十、科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
十一、近似数
只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。
一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。
高频考点
【考点1】正数和负数的判断
【例1-1】在下面四组数：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是　　
A．①② B．②④ C．③④ D．②③④
【例1-2】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 　 　岁．
【考点2】相反意义的量
【例2-1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若上升7米记作米，则米表示（ ）
A．上升5米 B．下降5米 C．下降7米 D．上升7米
【例2-2】下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ）
A．购进kg苹果与卖出kg苹果 B．高出海平面m与低于海平面m
C．向东走m和向西走m D．飞机上升m与飞机前进m
【考点3】有理数的分类
【例3-1】下列说法正确的是（　　）
A．有理数分为正数、负数和零
B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数
D．整数包括正整数和负整数
【例3-2】把下列各数填在相应的大括号里．
，4，，，，，，，0，．
(1)整数集合｛ …｝
(2)分数集合｛ …｝
(3)非负数集合｛ …｝
(4)正有理数集合｛ …｝
(5)负有理数集合｛ …｝
【例3-3】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【考点4】数轴
【例4-1】下列说法正确的是（ ）
A．数轴上的点只能表示整数 B．两个不同的有理数可以用数轴上的同一点表示
C．数轴上的点表示的所有数都是有理数 D．数轴上，原点右边的数都是正数
【例4-2】画出数轴并表示下列有理数：，，，3，0.用“>”号把这五个数连接起来.
【例4-3】如图，数轴上点，表示的数分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【例4-4】如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　）
A． B． C． D．
【考点5】相反数
【例5-1】下列每一对数：和，和，和，和，和中，互为相反数的有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【例5-2】和互为相反数，那么 ．
【例5-3】如图，在单位长度是1的数轴上，点和点所表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 .
【例5-4】在数轴上表示下列各数，并用“”号把它们按照从小到大的顺序排列．
3，，，0，．
【考点6】绝对值
【例6-1】在数轴上，到原点的距离为3的数是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【例6-3】．以下说法正确的是 ．
①绝对值等于它本身的数是0和1；
②如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负；
③已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；
④已知时，那么的最大值为8，最小值为；
⑤若且，则代数式的值为．
【例6-4】已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ．
【例6-5】将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“>”把这些数连接起来．（要求先用铅笔画图，准确无误后再用黑色笔覆盖）
．

【例6-6】数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为
(1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　；
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　；
(3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简．
(4)当代数式取最小值时，x的值为 　　．
【考点7】有理数大小比较
【例7-1】下列各组有理数大小的比较中，错误的是（ ）
A． B． C．D．
【例7-2】已知，，，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确（ ）
A． B． C． D．
【考点8】有理数的加减
【例8-1】点P从数轴原点出发，先向左移动5个单位长度，然后再向右移动9个单位长度，最后再向左移动7个单位长度后停下，此时点P与点Q重合，则点Q表示的数是 ．
【例8-2】校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在处．规定以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）：
(1)小明离主席台最远是______米；
(2)以主席台为原点，用1个单位长度表示，请在数轴上表示点；
(3)在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处______次；
(4)若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？
【例8-3】用简便方法计算：．
【例8-4】计算（能使用简便方法的使用简便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点9】有理数的乘除
【例9-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【例9-3】气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？
【例9-4】计算：
(1)；
(2)．
【考点10】有理数的乘方
【例10-1】表示（ ）
A．乘5 B．5个相加 C．5个相乘 D．2个相加
【例10-2】计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例10-3】计算： ．
【例10-4】若，则 ．
【考点11】有理数的混合运算
【例11-1】李宏同学设计了一个运算程序如图所示．按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．若时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【例11-2】计算：
(1)；
(2)．
【例11-3】计算：
(1)
(2)
【例11-4】某水果店新进了箱橘子，以每箱千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下．
与标准质量的差值（单位：千克）
箱数
(1)箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
(2)与标准重量比较，箱橘子总计超过或不足多少千克？
(3)若橘子每千克售价元，求售完这箱橘子可卖多少元？
【考点12】科学计数法
【例12-1】国家统计局2023年2月14日数据显示河南省2022年商品、服务类电子商务交易额突破万亿元，居全国第十一位，比上年同期增长3.5%．数据“1.2万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【例12-2】用科学记数法表示的数，它原来是________位数（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点13】近似数
【例13-1】下列各数据中，是近似数的有（　　）
①小明体重；②黄山莲花峰的海拔；③小强买笔花了元；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例13-2】2021年9月25日，华为公司副董事长、“CFO”（首席财务官）孟晚舟女士乘坐中国政府包机返回祖国，行程约12357千米．用四舍五入法对12357取近似值，其中错误的是（　　）
A．12360（精确到10） B．（精确到百分位）
C．（精确到千位） D．1万（精确到万位）
【例13-3】指出下列各数精确到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523亿；
(3)；
(4)0.00125．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题一 有理数考点大串讲专题复习
知识点回顾
一、正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
二、有理数
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 （0不能忽视）
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
四、相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则== -1(a0,b0))
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
五、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。
4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
七、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
④倒数等于它本身的数是1或-1。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
八、有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
九、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
十、科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
十一、近似数
只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。
一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。
高频考点
【考点1】正数和负数的判断
【例1-1】在下面四组数：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是　　
A．①② B．②④ C．③④ D．②③④
【分析】根据正数与负数的特征可判断求解．
【解析】①中 是负数，不符合题意；
②③④中的三个数都不是负数，符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了负数的定义，解题的关键是正确理解定义．
【例1-2】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 　 　岁．
【分析】根据正数和负数的意义解答即可．
【解析】如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作岁．
故答案为：．
【考点2】相反意义的量
【例2-1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若上升7米记作米，则米表示（ ）
A．上升5米 B．下降5米 C．下降7米 D．上升7米
【答案】B
【分析】根据具有相反意义的量求解即可．
【详解】解：∵上升7米记作米，
∴米表示下降5米，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．
【例2-2】下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ）
A．购进kg苹果与卖出kg苹果 B．高出海平面m与低于海平面m
C．向东走m和向西走m D．飞机上升m与飞机前进m
【答案】B
【分析】相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量．
【详解】解：A：卖出kg苹果相当于购进kg苹果，不符合题意；
B：高出海平面m与低于海平面m是具有相反意义的量，符合题意；
C：向东走m相当于向西走9m，不符合题意；
D：飞机的上升和下降，前进和后退具有相反意义．上升和前进不具有相反意义，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查具有相反意义的量．掌握相关定义是解题关键．
【考点3】有理数的分类
【例3-1】下列说法正确的是（　　）
A．有理数分为正数、负数和零
B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数
D．整数包括正整数和负整数
【分析】直接利用有理数的有关定义分析判断即可．
【解析】解：A、有理数包括正有理数、负有理数和零，故此选项错误；
B、分数包括正分数、负分数，故此选项错误；
C、一个有理数不是整数就是分数，故此选项正确；
D、整数包括正整数、负整数0和零，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数，正确区分相关定义是解题关键．
【例3-2】把下列各数填在相应的大括号里．
，4，，，，，，，0，．
(1)整数集合｛ …｝
(2)分数集合｛ …｝
(3)非负数集合｛ …｝
(4)正有理数集合｛ …｝
(5)负有理数集合｛ …｝
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【详解】（1）解：整数集合{，4，，，0，…}
（2）分数集合{，，，，…}
（3）非负数集合{4，，，，，0，，…}
（4）正有理数集合{4，，，，，…}
（5）负有理数集合{，，，…}
【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【例3-3】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
解：由题可得：
【考点4】数轴
【例4-1】下列说法正确的是（ ）
A．数轴上的点只能表示整数 B．两个不同的有理数可以用数轴上的同一点表示
C．数轴上的点表示的所有数都是有理数 D．数轴上，原点右边的数都是正数
【答案】D
【分析】利用数轴表示数逐一判断即可求解．
【详解】解：数轴上的点可以表示一切实数，则A和C选项错误，故A和C选项不符合题意；
B、数轴上的同一个点只能表示唯一一个数，则B选项错误，故B选项不符合题意；
D、数轴上，原点右边的数都是正数，正确，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了数轴表示数，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
【例4-2】画出数轴并表示下列有理数：，，，3，0.用“>”号把这五个数连接起来.
【答案】图见解析；
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＞”号连接起来即可．
【详解】解：如图所示：
故
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
【例4-3】如图，数轴上点，表示的数分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】观察数轴，在数轴上找到对应的点和数字即可．
【详解】解：在数轴上点表示，点表示，
故选：．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴上数字的规律是解答本题的关键．
【例4-4】如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.
【详解】∵A表示的数为1，
∴=1+（-3）×1=-2，
∴=-2+（-3）×（-2）=4，
∴=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），
∴=-5+（-3）×（-4）=7，
∴=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，
∴= ，
故选B.
【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.
【考点5】相反数
【例5-1】下列每一对数：和，和，和，和，和中，互为相反数的有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】A
【分析】根据相反数的概念逐一判断即可．
【详解】解：和相等，不是相反数；
与互为相反数；
，，它们互为相反数；
，，它们相等，不互为相反数；
和互为倒数，不互为相反数；
∴互为相反数的有对，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数．
【例5-2】和互为相反数，那么 ．
【答案】1
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【例5-3】如图，在单位长度是1的数轴上，点和点所表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 .
【答案】﹣2
【分析】根据图示，点和点之间的距离是6，据此求出点C表示的数，即可求得点B表示的数.
【详解】∵点和点所表示的两个数互为相反数，点和点之间的距离是6
∴点C表示的数是﹣3，
∵点B与点C之间的距离是1，且点B在点C右侧，
∴点B表示的数是﹣2
故答案为﹣2
【点睛】本题为考查数轴和相反数的综合题，稍有难度，根据题意认真分析，熟练掌握数轴和相反数的相关知识点是解答本题的关键.
【例5-4】在数轴上表示下列各数，并用“”号把它们按照从小到大的顺序排列．
3，，，0，．
【答案】图见解析，
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小．正确的将各有理数表示在数轴上是解题的关键．
由题意知，，，然后在数轴上表示各数，最后根据从左向右依次增大进行排序即可．
【详解】解：，，
∴在数轴上表示各数如图：
∴．
【考点6】绝对值
【例6-1】在数轴上，到原点的距离为3的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义求解即可；掌握绝对值的意义为到原点的距离是解题的关键．
【详解】解：在数轴上，到原点的距离为3的数是．
故选C．
【例6-2】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【答案】D
【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键．
【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，
∴，
∵，
∴或，
又∵，或，，
∴或，
∴或，
∴或，
∴的值为3或5．
故选：D．
【例6-3】．以下说法正确的是 ．
①绝对值等于它本身的数是0和1；
②如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负；
③已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；
④已知时，那么的最大值为8，最小值为；
⑤若且，则代数式的值为．
【答案】③④⑤
【分析】本题考查了绝对值的定义，化简绝对值；根据绝对值等于它本身的数是非负数，即可判断①；根据，即可判断②；③根据，得出a、b、c两负一正，再分类讨论：当a和b为两个负数时，当a和b为一正一负时，即可判断③；当时，，则当时，取最大值，当时，，即可判断④；根据且，得出，则，进而得出，，则，代入求解即可判断⑤．
【详解】解：①绝对值等于它本身的数是非负数，故①不正确，不符合题意；
②，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴a、b、c两负一正，
当a和b为两个负数时：，
当a和b为一正一负时：，
故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
当时，，
∴当时，取最大值，，
当时，，
当时，
故④正确，符合题意；
⑤∵且，
∴a和b互为相反数，
∴，则，
∴，，
∴，
∴，
故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有③④⑤，共3个，
故答案为：③④⑤．
【例6-4】已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ．
【答案】8或4
【分析】此题考查的是化简绝对值．根据绝对值的性质可得，，从而得出，，然后分类讨论，分别代入中即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
综上：的值为8或4；
故答案为：8或4．
【例6-5】将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“>”把这些数连接起来．（要求先用铅笔画图，准确无误后再用黑色笔覆盖）
．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查绝对值、相反数，数轴上有理数的表示及有理数的大小比较，先利用绝对值和相反数的定义得到，，再利用数轴表示5个数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大进行大小比较．
【详解】解：，，
在数轴上表示为：

；
【例6-6】数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为
(1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　；
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　；
(3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简．
(4)当代数式取最小值时，x的值为 　　．
【答案】(1)5，6
(2)，5或
(3)0
(4)2
【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用．
（1）根据题目所举例子进行计算即可；
（2）仿照题干所举例子进行解答即可；
（3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可；
（4）根据绝对值的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：，．
故答案为：5，6；
（2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，
，则或，
即或．
故答案为：，5或；
（3）解：由数轴可知，，，，
则|
；
（4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和，
显然只有当时，距离之和才是最小，
则取最小值时，x的值为2；
故答案为：2．
【考点7】有理数大小比较
【例7-1】下列各组有理数大小的比较中，错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】先去括号，再比较各数的大小即可．
【详解】A、∵，，∴，故本选项正确，不符合题意；
B、∵∴，故本选项错误，符合题意；
C、∵，∴，故本选项正确，不符合题意；
D、∵，∴，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于一切负数是解答此题的关键．
【例7-2】已知，，，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较解答即可．
【详解】解：∵，， ，且
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解本题的关键
【考点8】有理数的加减
【例8-1】点P从数轴原点出发，先向左移动5个单位长度，然后再向右移动9个单位长度，最后再向左移动7个单位长度后停下，此时点P与点Q重合，则点Q表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数及有理数的加减法，根据向右移动加，向左移动减进行解答即可．
【详解】解：因为点P从数轴原点出发，先向左移动5个单位长度，然后再向右移动9个单位长度，最后再向左移动7个单位长度后停下，
所以点P所表示的数是，
因为点P与点Q重合，则点Q表示的数是．
故答案为：．
【例8-2】校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在处．规定以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）：
(1)小明离主席台最远是______米；
(2)以主席台为原点，用1个单位长度表示，请在数轴上表示点；
(3)在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处______次；
(4)若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？
【答案】(1)10
(2)
(3)4
(4)2.4
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，
（1）逐次求得每次运动后的位置即可求得离主席台的距离；
（2）根据第一问可得到主席台的位置，并在数轴上标注即可；
（3）根据每次运动与5的大小即可求得经过主席台的次数；
（4）根据步行记录如得到总计，结合每步行1米消耗0.04卡路里即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
故小明离主席台最远是10米．
（2）根据第一问得知点A即为主席台，
．
（3）小明从主席台出发经过仲裁处，由到经过仲裁处，到经过仲裁处，到经过仲裁处．则共经过仲裁处4次．
（4）根据题意得，，
则小明在拍照过程中步行消耗2.4卡路里．
【例8-3】用简便方法计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律把分母相同的两个数先加即可．
【详解】解：
．
【例8-4】计算（能使用简便方法的使用简便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得到答案；
（2）先将小数化为分数，再将式子变形为，计算即可得到答案；
（3）将式子变形为，进行计算即可得到答案；
（4）将式子变形为，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【考点9】有理数的乘除
【例9-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得出，，推出，，，，最后选出即可．
【详解】解：从数轴可知：，，
，，，，
选项B、C、D错误，只有选项A正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法减法和乘法，关键是能根据数轴得到，．
【例9-2】计算的结果是（　　）
A．6 B．36 C． D．1
【答案】B
【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【详解】解：原式
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
【例9-3】气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
即山顶的温度为；
（2）
（米），
即他距山脚1500米．
【例9-4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算除法，再计算乘法即可求解；本题考查了有理数的混合运算；
（2）先根据乘法分配律进行变形，再计算乘除法，最后计算加减法求解；本题考查了有理数的四则混合运算、乘法运算律等知识点．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【考点10】有理数的乘方
【例10-1】表示（ ）
A．乘5 B．5个相加 C．5个相乘 D．2个相加
【答案】C
【分析】根据乘方的意义：表示个数相乘，即可．
【详解】解：表示5个相乘；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方．熟练掌握表示个相乘，是解题的关键．
【例10-2】计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，以及乘法分配律，逆用乘法分配律计算即可．
【详解】解：
．
故选C．
【例10-3】计算： ．
【答案】
【分析】把原式化为，再逆用积的乘方运算可得答案．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【例10-4】若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，平方的非负性，解题的关键是求出、的值，准确进行计算．先根据绝对值和平方的非负性求出、的值，然后再代入中计算即可．
【详解】，
，，
，，
将，代入中得：
，
故答案为：．
【考点11】有理数的混合运算
【例11-1】李宏同学设计了一个运算程序如图所示．按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．若时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】C
【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算．根据所给程序运算法则求解即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，；
∴该运算程序能输出结果时至少需要运行3次．
故选：C
【例11-2】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解．
（2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【例11-3】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先算乘方和绝对值，然后运算乘除，最后加减解题；
（2）先算乘方，然后运算乘除，最后加减解题；
【详解】（1）
；
（2）
．
【例11-4】某水果店新进了箱橘子，以每箱千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下．
与标准质量的差值（单位：千克）
箱数
(1)箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
(2)与标准重量比较，箱橘子总计超过或不足多少千克？
(3)若橘子每千克售价元，求售完这箱橘子可卖多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了正负数和有理数的加减乘除混合运算，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻千克，则两箱相差千克；
（2）将这个数据相加，和为正，表示比标准质量超过，和为负表示比标准质量不足，再求绝对值即可；
（3）先求得总质量，再乘以元即可．
【详解】（1）解：（千克），
∴最重的一箱比最轻的一箱重千克；
（2）（千克），
∴箱橘子总计超过千克；
（3）（元），
∴售完这箱橘子可卖元．
【考点12】科学计数法
【例12-1】国家统计局2023年2月14日数据显示河南省2022年商品、服务类电子商务交易额突破万亿元，居全国第十一位，比上年同期增长3.5%．数据“1.2万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将万亿用科学记数法表示为：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【例12-2】用科学记数法表示的数，它原来是________位数（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据科学记数法的形式，其中，n是整数位数减1．
【详解】解：根据题意，
∴它原来是12位数．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式以及a与n的取值是解题的关键．
【考点13】近似数
【例13-1】下列各数据中，是近似数的有（　　）
①小明体重；②黄山莲花峰的海拔；③小强买笔花了元；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据近似数与准确数的含义，结合生活实际经验逐一进行判断即可．
【详解】①小明体重，体重最后一位是估计值，是近似数；
②黄山莲花峰的海拔，不是绝对的精确，是近似数；
③小强买笔花了元，是准确值．
故选：A．
【点睛】本题考查学生对近似数和准确数的定义的掌握情况．生活中的表示测量的数据往往是近似数，如测量的身高、体重等；准确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等．
【例13-2】2021年9月25日，华为公司副董事长、“CFO”（首席财务官）孟晚舟女士乘坐中国政府包机返回祖国，行程约12357千米．用四舍五入法对12357取近似值，其中错误的是（　　）
A．12360（精确到10） B．（精确到百分位）
C．（精确到千位） D．1万（精确到万位）
【答案】A
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：A．12357精确到10是，符合题意；
B．12357精确到百分位为，不符合题意；
C．12357精确到千位是，不符合题意；
D．12357精确到万位是1万，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
【例13-3】指出下列各数精确到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523亿；
(3)；
(4)0.00125．
【答案】(1)精确到个位
(2)精确到十万位
(3)精确到千位
(4)精确到十万分位
故选：C．
【点睛】本题考查的是学生对近似数有效数字的理解，掌握近似数有效数字的概念：“从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字”是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑