资源简介

6.2.1　向量的加法运算
知识点归纳
一、向量加法的定义和三角形法则
(1)定义：求 的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
(3)三角形法则
如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ .
提醒　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
二、向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量 (OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.
提醒　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
三、共线向量的加法与向量加法的运算律
(1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b 时等号成立.
(2)向量加法的运算律
①交换律：a＋b＝b＋a.
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
提醒　(1)已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和.
(2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
题型演练
题型一　向量的加法运算法则
例1 (1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.0
(2)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
小结 (1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
训练1 (1)正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A.1 B.
C.3 D.2
(2)如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
题型二　向量的加法运算律
例2 设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
小结　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
变式2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋|＝________.
题型三　向量加法在实际问题中的应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
小结　应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
变式3 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.
方法小结
1.重要思想与方法
(1)三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，二者是统一的.当两个向量首尾相连时，选用三角形法则，当两个向量共起点时，选用平行四边形法则.
(2)在应用三角形法则和平行四边形法则求向量的和时，应用了数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量平移到共同起点.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．平行四边形中，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
4．已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
6．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
二、多选题
7．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上
C． D．
8．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，，则 ．
10．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
11．若向量，不共线，且，，则的取值范围是 ．
12．若，则
四、解答题
13．如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
14．如图，在中，，.
(1)，求的值；
(2)若，，试用，表示.
15．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
16．如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023·新疆·高三学业考试）在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
4．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023下·河南新乡·高一校考阶段练习）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中， .
7．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简 .
8．（2023·全国·高一随堂练习）填空：
（1） ；
（2） ．
四、解答题
9．（2022下·高一课前预习）已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)；
(2).
10．（2022下·高一课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.6.2.1　向量的加法运算
知识点归纳
一、向量加法的定义和三角形法则
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
(3)三角形法则
如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
提醒　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
二、向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.
提醒　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
三、共线向量的加法与向量加法的运算律
(1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立.
(2)向量加法的运算律
①交换律：a＋b＝b＋a.
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
提醒　(1)已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和.
(2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
题型演练
题型一　向量的加法运算法则
例1 (1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.0
(2)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)＋＋＝＋＝.
(2)以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，
由和的模相等，方向相同，
得＝，即＋＝.
小结 (1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
训练1 (1)正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A.1 B.
C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，
所以|＋|＝||＝AC＝.
(2)如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b.
题型二　向量的加法运算律
例2 设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋
＝＋＋＋
＝.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝0.
小结　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
变式2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋|＝________.
答案　1
解析　|＋＋|＝|＋＋|
＝||＝1.
题型三　向量加法在实际问题中的应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解　作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，∴α＝60°，
从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
小结 　应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
变式3 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.
解　如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，
||＝20 km，||＝20 km.
在Rt△ACD中，
||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处.
方法小结
1.重要思想与方法
(1)三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，二者是统一的.当两个向量首尾相连时，选用三角形法则，当两个向量共起点时，选用平行四边形法则.
(2)在应用三角形法则和平行四边形法则求向量的和时，应用了数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量平移到共同起点.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．平行四边形中，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先用表示出，然后相加，即可得到本题答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查向量的加减法运算，属基础题.
2．在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】， ，
，
，，.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
3．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
【答案】D
【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
4．已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系,分别求得向量 的坐标，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系；
设，故，，
故，，，
故，，
设，
则，
解得，
故．
故选：C
5．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.
【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
6．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】解：，，
，且，四边形是平行四边形．
故选：D．
二、多选题
7．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上
C． D．
【答案】BC
【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；
根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.
【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.
故选：BC.
8．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】根据三角形的中位线的性质和向量的加法三角形法则和平行四边形法则，可得选项.
【详解】由加法的三角形法则可得，，，
由三角形的中位线性质得，四边形ADEF是平行四边形，，，
故选：ACD．
【点睛】本题考查向量的加法的三角形法则和平行四边形法则的运用，关键在于由三角形的中位线的性质得出向量的共线关系，属于基础题.
三、填空题
9．设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，，则 ．
【答案】4
【详解】
，，故答案为.
10．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
【答案】 × √ ×
【解析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；
【详解】对（1），因为，故（1）错误；
对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；
对（3），，故（3）错误.
故答案为：(1) ×；(2) √；(3) ×
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
11．若向量，不共线，且，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设向量，的夹角为，利用展开计算，再将代入，写出的范围.
【详解】设向量，的夹角为，因为，，所以，又向量，不共线，所以，所以，即.
故答案为：.
12．若，则
【答案】
【解析】根据向量的线性运算法则计算可得.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
四、解答题
13．如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
【答案】答案见解析
【分析】根据向量的加法法则结合几何图形，即可求出结果.
【详解】，
，，
.
因为四边形为平行四边形，
所以,
.
综上，，，，及.
14．如图，在中，，.
(1)，求的值；
(2)若，，试用，表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在中运用向量的加法与相反向量及数乘关系可求解；
(2)，，两式相减化简整理可得答案.
【详解】（1），
所以，，
故.
（2）因为，
，
所以，
故.
15．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
【答案】答案见详解.
【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.
【详解】由向量加法的三角形法则，
++如图，
16．如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023·新疆·高三学业考试）在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据向量的运算可得答案.
【详解】.
故选：A.
2．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】平面向量，，均为单位向量，则，当且仅当同向共线时取等号，
则当时，与共线，反之，与共线并且方向相反时，，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
3．（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.
【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
4．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
二、多选题
5．（2023下·河南新乡·高一校考阶段练习）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中， .
【答案】
【分析】将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】将平移到，平移到，
故.
故答案为:.
7．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简 .
【答案】
【分析】根据向量加法运算律计算即可.
【详解】.
故答案为：
8．（2023·全国·高一随堂练习）填空：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）（2）利用平面向量的加法法则可化简所求向量.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：（1）；（2）.
四．解答题
9．（2022下·高一课前预习）已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）利用向量加法法则即可求解.
【详解】（1）
（2）
七、计算题
10．（2022下·高一课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】（1）根据平行四边形法则直接求解即可；
（2）根据，进行求解即可；
（3）根据，结合加法法则求解即可；
（4）根据，结合加法法则求解得，进而得模.
【详解】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；
（2）解：根据题意，，所以；
（3）解：因为，所以；
（4）解：因为，所以，
所以

展开更多......

收起↑