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专题2.7 瓜豆模型（曲线轨迹类） （最值模型）
模块1：模型简介
瓜豆原理（模型）：
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，（常见于动态翻折中）
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
模块2：核心模型点与典例
例1．（2023.江苏九年级期中）如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：
连接BP,∵,∴BD=DC,
∵是的中点，∴DE//BP, ,所以当BP的长最大时，长的最大，
由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，
∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,
∵的半径为2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故选：B.
例2.（2023.湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
【答案】A
【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵，∴，即
在和中，，∴，∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵是边长为4的等边三角形，∴点M到BC的距离是，
∴点D到BC的最大距离是，∴的面积最大值是．故选：A．
例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为
例4．（2022·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先求出AC=，AB=，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的长，由点A'在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A'在FC上时，A'F有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，
，，，，
，，，
平分，，
，，，
，，
将沿翻折，得到，，
点在以点为圆心，为半径的圆上，则当点在上时，有最小值，
最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．
例5．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵点是的中点，，∴，∴，
∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在中，∵，，∴，
∴，∴的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例6．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，∴DF=CE，故A项答案正确，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可．
【详解】解：由正六边形可知，，，，
∵，，∴在以为直径的圆上运动，
如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，
过作于，则，，

∴，，∴，
由勾股定理得，，∴的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，正弦，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹．
2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，C在以为直径半圆上，，，点D是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】在点D移动过程中，点E在以为直径的圆上运动，如图所示，该圆的圆心为，可知当，E，B三点共线时，有最小值，连接，根据已知条件求出，，即可求出答案．
【详解】解：

∵，∴，
在点D移动过程中，点E在以为直径的一段圆弧上运动，如图所示，该圆的圆心为，
可知当，E，B三点共线时，有最小值，如图，连接，
∵为直径，∴，∵，，
∴，∴，∴在中，
∴，∴，
∴的长的最小值是；故选：D．
【点睛】本题考查了圆上的线段最小值问题，能够想到做出点E的运动轨迹是关键．
3．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点作于，当点运动时，点在以为直径的半圆上，即点在圆心为的半圆上运动，当点运动到连线上时，的值最小，根据题意可证，由此可证是直角三角形，可得点在以为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在中，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，连接，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，∴四边形是矩形，则，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，即是直角三角形，
∴当点P运动时，点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，当点M运动到连线上时，的值最小，∵，∴，则半圆的半径，
在中，，
当点运动到连线上时，的值最小，∴的最小值为，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，∴，，
∵，∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），
∴当点O在线段上时，最大，∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，在中，由勾股定理得，
∴的最大值，故选D．
【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键．
5．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（　　）
A．随点运动而变化，最大值为 B．等于
C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值
【答案】B
【分析】延长，，分别与圆交于点，，连接，作，垂足为，与圆交于点，根据垂径定理得：为的中点，为的中点，为的中点，继而得到为的中位线，则有，由于点在运动的过程中，、的大小保持不变，根据弦所对的圆周角不变，可以得出的长度保持不变，即的长度为定值，不随点运动而变化，求出长度，即可确定的长．
【详解】解：延长，，分别与圆交于点，，连接，作，垂足为，与圆交于点，

∵，，∴由垂径定理得：为的中点，为的中点，
∴为的中位线，∴，∵，∴，
又∵，，∴，∴，
∵点在运动的过程中，的大小保持不变，
∴的长度保持不变，即的长度为定值，不随点运动而变化，
∵，，∴，
又∵，∴，由垂径定理得，
∴，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线的性质、圆周角定理和勾股定理，根据弦所对的圆周角不变，得出弦长不变是解答本题的关键．
6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，，，则边的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【分析】作的外接圆O，当经过点O时，边的最大，连接，，利用圆周角定理求出，结合条件求出的值即可．
【详解】解：作的外接圆O，当经过点O时，边的最大，连接，，
，
∵，∴，
又，，∴，∴边的最大值为．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助圆是解题的关键．
7．（2022·广东·潮州市一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，因为AE≥AF-EF，可以得出AE的最小值．
【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4∴AC＝BC＝
∵F是BC的中点∴CF＝∴AF＝
∵CD是直径∴∠CED＝∠CEB ＝90°∴△CEB是直角三角形∵F是BC的中点
∴∵AE≥AF-EF=故选D．
【点睛】此题考查了圆与三角形结合的综合性问题，考查了线段的最值问题，找到取BC的中点F，得出AE≥AF-EF是本题的关键．
8．（2022春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在中，，，面积的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作的外接圆，连接，当的边上的高经过点O时，面积的最大，此时是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：作的外接圆，连接，当的边上的高经过点O时，面积的最大，如图，过点O作，并延长交于点，连接，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出面积的最大时点A的位置时关键.
9．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值．
【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，∵是边长为4的等边三角形，∴点M到的距离为，
∴点D到的最大距离为，∴的面积最大值是，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
10．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．
【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，所以BD＝DC
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．
【答案】##
【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵，∴，
如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，
当M与重合时，AM取得最小值．过点O作于点H，
∵∴，∴，，
过点O作于点G，∴，，AG=6-2=4，
∴，则．故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题关键是找到点M的轨迹．
12．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 　　．
解：，，，，
连接，，是直径，，即，
取，的中点和，连接，，，
在中，，为、的中点，，，
在中，点、为、的中点，，，
，即，点在以为直径的半圆上，
，点的运动路径长为，故答案为：．
13．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
14．（2022·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为____________．
【答案】
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
15．（2022·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
【答案】##
【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．
【详解】解：连接AC，以BE为直径作，
∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴点G在上，
连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，
∵AD＝BC，∴，∵点D为的中点，∴，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，
∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，
∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，
∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，
即AG的最小值为，故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．
16．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据两点之间线段最短及垂线段最短作出辅助线，确定点P，E，F的位置，再根据勾股定理及相似三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BP，BE，则BP=1，
则要求的最小值，就是要求，
当点B、P、E共线时，BP+PE=BE，当点B、P、E不共线时，BP+PE＞BE，
∴如图，当点B、P、E共线时，BP+PE才会取得最小值，最小值为BE的长，
则，如图，作点B关于AC的对称点，连接，，
则，∴，
当点、E、F共线时，，当点、E、F共线时，，
∴当点、E、F共线时，才会取得最小值，最小值为的长，如图所示
又∵点F为BC上的一动点，∴如图，当⊥BC时，取得最小值，
连接，交AC于点H，∵，，∠ABC=90°，∴，
∵，∴，∴，
∵∠BHC=∠BF=90°，∴，∴，
又∵，∴，∴，
即，解得，∴的最小值为，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，圆的定义以及相似三角形的判定及性质，根据两点之间线段最短及垂线段最短作出辅助线，确定点P，E，F的位置是解答此题的关键．
17．（2022·山东泰安·统考一模）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，于点F，已知，过C、D、F的与边AD交于点G，则 ．
【答案】
【分析】连接FG、FC，由可得正方形边长，再由即可求得DG的值．
【详解】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，，，AD=CD
∵，，∴，∴，即
∵，∴EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5，∴，
在中，则勾股定理得，，
∵，，∴，
∵四边形GFCD是的内接四边形，∴ ，
∵∴，∴，
∴，即∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的性质及应用，以及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键是证明．
18．（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
19．（2022·安徽·芜湖市二模）如图，在中，，，．点F为射线CB上一动点，过点C作于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
【答案】1
【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由即可获得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，
∵D是AB的中点，T是AC的中点，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点F为射线CB上一动点， ，即，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，∴DM的最小值为1．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
20．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴当t最大即EP最大时，PQ最大，
由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=；
设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，
∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，∴，
∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
(1)请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为____；②面积的最大值为____；
(2)【类比探究】小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请你证明；
(3)【问题拓展】结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两个，求m的取值范围．
【答案】(1)①；②(2)见解析(3)
【分析】（1）①由圆周角定理可得,可证是等边三角形，即可求解；②由题意可得当点到距离最大时，的面积最大，即可求解；
（2）由同弧所对圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论；
（3）以边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，可得当点在上方的圆上时，，分别求出点在圆和线段与圆相切时，的值，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，设为圆心，连接，，
∵，∴，又∵，∴是等边三角形，
∴，即半径为，故答案为：
②∵以为底边，，
∴当点到的距离最大时，的面积最大，
如图1，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，
∴，，∴
∴，∴的最大面积为故答案为：
（2）解：如图，延长，交圆于点，连接，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即；
（3）解：如图2，以为边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，
（，），∴，，
∴当点在上方的圆上时，，
当点或点在圆上时，，即，
当与圆相切时，，∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，圆的有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹．
22．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则．
(1)解：①点Q如下图所示．
∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，∴，在与中，
，∴，∴，
∵ ，，，∴，，，
∴，∴，∴；
(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，∴，，
∵，∴，∴，
在中，，结合题意，，，
∴，即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
23．（2023·山西·太原一模）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
(3)如图3，若，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，；
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可得，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）以为直径作，连接，，由题意可得点在以为直径的上，则当点在上时，有最小值，由勾股定理可求的长，可得，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，即可求解．
(1)证明：，，，
∵四边形ABCD是正方形，，，
，，
在和中，，；
(2)证明：延长CD，BF交于点H，如图所示：
∵点E是AB的中点，，
∵四边形ABCD是正方形，，，，
，，，，
又，，，，
，，，，
在和中，，
，，，
又，，；
(3)；．
理由如下：以BC为直径作，连接AO，OG，如图所示：
，，∴点G在以BC为直径的上，
∵在中，，∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时，如图所示：
，点O是BC中点，，
，，
，，，，
，，
由（2）可得，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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专题2.7 瓜豆模型（曲线轨迹类） （最值模型）
模块1：模型简介
瓜豆原理（模型）：
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，（常见于动态翻折中）
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
模块2：核心模型点与典例
例1．（2023.江苏九年级期中）如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3 B． C．4 D．
例2.（2023.湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
例4．（2022·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
例5．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ．
例6．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．
2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，C在以为直径半圆上，，，点D是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
3．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（　　）
A．随点运动而变化，最大值为 B．等于
C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值
6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，，，则边的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．
7．（2022·广东·潮州市一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在中，，，面积的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
10．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．
12．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 　　．
13．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
14．（2022·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为____________．
15．（2022·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
16．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ．
17．（2022·山东泰安·统考一模）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，于点F，已知，过C、D、F的与边AD交于点G，则 ．
18．（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
19．（2022·安徽·芜湖市二模）如图，在中，，，．点F为射线CB上一动点，过点C作于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
20．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
(1)请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为____；②面积的最大值为____；
(2)【类比探究】小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请你证明；
(3)【问题拓展】结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两个，求m的取值范围．
22．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
23．（2023·山西·太原一模）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
(3)如图3，若，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
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