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(共20张PPT)
5.2.1三角函数的概念
复习导入
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初中我们学过的锐角三角函数的定义:
在直角三角形中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
在上节课的学习中，我们实现了角度制与弧度制间的转化.并且利用弧度制，已经将角的范围扩展到了全体实数.其它角度是否也有三角函数呢？
新知探究
正弦
余弦
正切
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题.
如图，你能求出角的三角函数值吗
新知探究
思考：我们能否利用角的终边与圆的交点坐标来表示角的三角函数值呢？
问题：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
一般地，，其终边与单位圆交点的横坐标,纵坐标唯一确定
所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义.
新知探究
特殊的，在单位圆中，:
(1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，
记作sinα，即y=sinα；
(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，
记作cosα，即y=cosα；
(3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即
问题：你能根据三角函数的定义，求出它的定义域吗？
新知探究
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数
余弦函数
正切函数
为角的弧度；
为角的三角函数值.
锐角三角函数
任意角三角函数
练习巩固
例1：求 的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有：
练习1：求 的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.
则，
练习巩固
变式1-1：利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；
解：（1）在角的终边上取一点，则，不存在；
（2）在角的终边上取一点，则；
（3）在角的终边上取一点，则
；
（4）在角的终边上取一点，；
练习巩固
变式1-2：已知角的终边落在直线上，求，，
解：直线，即，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点，则，
所以，，；
在第二象限取直线上的点，则，
所以，，；
y
x
练习巩固
变式1-3：已知角终边过点，求
y
x
a>0
a<0
解：因为，
当时，，则
，
所以；
当时，，则
，
所以；
新知探究
思考：我们发现三角函数值有正有负，那么三角函数值的正负与什么有关系？又何时为正，何时为负呢？
余弦函数
正弦函数
正切函数
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
新知探究
由三角函数的定义，可知：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
其中k∈Z
【周而复始】：角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现
把求任意角的三角函数值，转化为转化为求(或0°360°)角的三角函数值.
练习巩固
例4：确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1)(2)； (3)； (4)
解：(1)因为是第三象限角，所以；
(2)因为是第四象限角，所以
(3)因为
而是第一象限角，所以>0.
(4)因为而的终边在轴上，
所以
练习巩固
例5：求下列三角函数值：
(1)(精确到0.001)； (2)； (3)
解：(1)；
(2)
(3).
练习2：已知点在第四象限，则角终边在( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
【答案】：
练习巩固
变式2-1：判断下列各式的符号：
； ；
【答案】： - ；
变式2-2：已知角的终边过点且，，则实数的取值范围是___________
变式2-3：设角是第三象限角，且，则角 是第______象限.
【答案】：
【答案】：四
练习巩固
练习3：求值：
(1)(2).
解：(1)原式
(2)原式
.
练习巩固
变式3-1：求值：
(1) (2).
解：(1)原式
(2)原式
练习巩固
变式3-2：化简下列各式：
(1)
(2).
解：(1)原式
；
(2)原式
小结
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
正弦
余弦
正切
( + )
( + )
( + )
( + )
( - )
( - )
( - )
( - )
( + )
+
( - )
( - )

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