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第20讲、3.2.2.1奇偶性的概念
知识点一、函数奇偶性的概念
问题1、观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
问题2、结合上图，请完成表格，思考如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
f(x)＝x2 … …
g(x)＝2－|x| … …
问题3、观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果．
(
知识梳理
偶函数的定义
：一般地，设函数
f
(
x
)
的定义域为
D
，
如果

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
且
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
那么函数
f
(
x
)
就叫做
偶函数
．
奇函数的定义
：一般地，设函数
f
(
x
)
的定义域为
D
，
如果

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
且
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
那么函数
f
(
x
)
就叫做
奇函数
．
)
(
注意点
：
(1)
函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)
先判断定义域是否关于原点对称，对于

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
即便
定义域关于原点对称
，还需判断
f
(
－
x
)
与
f
(
x
)
的关系
，
若
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
则函数是偶函数，若
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
则函数是奇函数，若
f
(
－
x
)
≠
±
f
(
x
)
，
则函数为非奇非偶函数．
(3)
偶函数图象关于
y
轴对称
，
奇函数图象关于原点对称
．
(4)
若奇函数在原点处有意义，则必有
f
(0)
＝
0
.
(5)
若
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
且
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
则
f
(
x
)
既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即
f
(
x
)
＝
0
，
x
∈
D
，
D
是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数
．
)
二、函数奇偶性的判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝x－.
(
反思感悟　
判断函数奇偶性的方法
(1)
定义法：
(2)
图象法：
)【跟踪训练】
1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝x4；
(4)f(x)＝x3；
(5)f(x)＝x+；
(6)f(x)＝0．
2、判断下列函数的奇偶性．
；
；
； （4）．
3、函数的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
三、奇、偶函数的图象及应用
例2、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
【跟踪训练】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
四、利用函数的奇偶性求值
例3、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
(3)已知函数是偶函数，则实数的值 　　
(
反思感悟　
利用奇偶性求值的常见类型
(1)
求参数值：
若解析式含参数，则根据
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为
0
求参数．
(2)
求函数值：
利用
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
)【跟踪训练】
1、已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2、设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
3、已知函数是定义在区间上的奇函数，则f(m)＝________．
4、函数为偶函数,则a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5、若函数是偶函数，则是（ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x|
4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
3．若函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是(　　)
A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．不能确定
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．1
6．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数的图象一定通过原点
C．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0
D．若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
7.设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________________．
8.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________．
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
11．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
12．函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
13．(多选)对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是(　　)
A．若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B．若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)是R上的增函数
D．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)不是R上的减函数
14．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为__________．
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．

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