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4．2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
一、学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系．
二、课前引入
旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．而且旗杆所在的直线和水平地面垂直，旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量及水平地面的法向量有什么关系？
问题1　设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？
提示　l∥m l∥m，
l∥α l⊥n1，
α∥β n1∥n2.
问题2　能否用向量法证明平行关系？应注意什么？
提示　可以．l∥m且l与m不重合 l∥m；l⊥n1，且l α l∥α；n1∥n2且α与β不重合 α∥β.
教学过程
1知识点新课讲解
知识点①
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合 l∥m； l∥α或l α l⊥n1； α∥β或α与β重合 n1∥n2.
(1)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
若证面面平行，则证两平面的法向量平行．
知识点②
三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
2课堂例题讲解一直线与平面的平行
例1　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，B(a，a,0)．
方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，＝，
则
即
即
令z＝1，则x＝1，y＝－1，
所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a,0，－a)，
所以＝2，即PA∥EG.
又EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0，－a)＝λ＋μ，
则
解得
所以＝－＋，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
教师点评 ‘
利用向量法证明平行问题的两种途径
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
3.课堂例题讲解二------------垂直关系
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，
又＝－n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
教师点评
利用向量法证明线、面垂直的策略
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．
4课堂例题讲解三-----------------平行与垂直的综合应用
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E，P(0,0，a)，F.
＝，＝(0，a,0)，
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解　设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，
得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
教师点评
立体几何中的探索性问题的常用方法
(1)猜想法：即先通过对空间图形的理解猜想点、线面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明．
(2)向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在．
5分组练习
1组．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
答案　B
解析　a·b＝－2＋2＋0＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
2组．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案　D
解析　由题意得，＝＝，
∴x＝6，y＝.
3组．(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案　AD
解析　若l∥α，则a·n＝0.A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0，故选AD.
6课堂小结
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系.
2.用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系．
7课后作业：
1．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．1 B. C. D．3
2．设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
4．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　)
A．两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2
B．直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
作业答案
1 2 3 4
B B D AC

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