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南充高中高2022级第三学期第二次月考数学试题参考答案
满分 150 分 时间 120 分钟
一、 单项选择题：（1---8 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.
二、多项选择题（9---12 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A B B A D C AD ABD ABD ABC
填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. -1 14. 15. 16.
四、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤．
17.（1）∵，
∴ 直线的直线方程为，即： ..................................2分
∴点到直线的距离为 ....................................................5分
（2）∵直线的斜率为
∴边上的高所在直线的斜率为 .................................................................7分
∴边上的高所在直线的方程为 .............10分
18.（1）∵圆心在直线上
∴设
∴
∵圆过点，
∴，即
解的： .....................................................................4分
所以圆的方程为 ..........................................................6分
（2）∵,∴
∴ .............................8分
又∵
∴
所以的取值范围为 ..............................................................................12分
19.（1）（法一）：连接交于点,连接
∵点分别为棱BC和棱CD的中点
∴
在正方体中显然
∴ ∴ .
∴四边形为平行四边形 ...............................3分
∴
又∵
所以平面 .......................................................................6分
（法二）：以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，， ...............2分
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，
所以，，
设平面的一个法向量为
则，令，则 ..............4分
因为，所以
因为平面，所以平面 .............................................6分
(由面面平行得线面平行同样给分)
（2）由（1）知平面
∴ ...........................8分
∴ .....12分
20.（1）易知圆圆心圆与内切且在圆内部，与圆外切 ...................................................................2分
设圆的半径为，则
∴
∴动点的轨迹为是以 .....4分
∴ ∴
所以轨迹的方程为 ...........................................................................6分
(2)设的方式为
联立得
∴ .............................................................................8分
由
所以
（） ........10分
所以当 ...........................................12分
21.（1）由已知得，
又由得
∴∥
因此 ，从而⊥ ................2分
由得
由∥得
所以,
于是, ∴ ..........................4分
又∵,,且
所以平面 ........................................................................................6分
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，， ......................7分
∴，，
设是平面的法向量,则
即，可取 ...............................................................8分
设是平面的法向量，则
即，可取 .............................................................9分
于是 ......................................................11分
.............................................12分
22.（1） 依题意，，所以，
所以椭圆的方程为 .................................................................2分
“伴随圆”方程为 .............................................................................3分
（2）设直线的方程为，由消去并化简得
由得 ..........................4分
圆心到直线的距离为 .................5分
所以 ....................................6分
（3）①当、都有斜率时，设点，其中
设经过点与椭圆相切，且斜率存在的直线的方程，
联立，消去得到
即 ....................................................8分
整理可得
设、的斜率分别为、，因为、与椭圆都只有一个公共点
所以、是关于的方程的两个实数根，因而，即⊥ ...............................................................11分
②当点，点的坐标满足，此时、分别与两坐标轴垂直，
则 ,综上所述，
所以，所以是“伴随圆”的直径，过原点 ..................................12分南充高中高2022级第三学期第二次月考
数 学 试 题
（时间：120分钟 总分：150分 ）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线的斜率，则它的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆，过点（－2，0）作圆的切线，则切线长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设两条直线，两个平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A．3 B．15 C．5或12 D．3或15
5．如图所示，已知在正方体中，点、分别是正方形
和的中心，则直线和直线所成的角是（ ）
B． C． D．
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的
平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为的矩
形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切. 设椭圆在平面直角坐标
系中的方程为，则下列满足题意的椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
7．在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最
大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设，分别为椭圆与双曲线
的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，
则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若向量，，满足，则
C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中
，且），则四点共面
10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）
A. 直线一定过定点 B. 若，则
C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为
11. 设椭圆的方程为其中椭圆的左、右焦点分别为，与轴相交的左、右顶
点分别为两点，为椭圆上（除点外）的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．
C．的最大值为 D．
12. 已知正方体的棱长为，为空间中一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．直线和平面所成角的余弦值为
C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
D．若在正方形内部，且，则点轨迹为椭圆的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线是圆的一条对称轴，则 .
14．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 .
15．已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且
为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
16．已知分别为椭圆的左 右焦点，过椭圆在轴上的点与
的直线与椭圆交于点，且不在线段上，，，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求点到直线的距离；
（2）求边上的高所在直线的方程．
18.（12分）已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与有公共点，求的取值范围.
19．（12分）如图，在棱长为的正方体中，
E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积大小.
20.（12分） 已知圆：和圆：，以动点为圆心
的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若斜率为的直线交轨迹于A,B两点，求的长度的最大值.
21.（12分）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在
上，交于点，将沿折到位置，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
22.（12分）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭
圆的“伴随圆”. 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
（3）在椭圆“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.

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