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一元二次方程
制作：没烦恼
1.1一元二次方程的概念
1.2一元二次方程的解法
1.3一元二次方程的根与系数的关系
1.4用一元二次方程的实际应用
CONTENTS
目录
ax +bx+c=0（a≠0） 2x -3x-4=0 名称
ax 2x 二次项
bx -3x 一次项
c -4 常数项
a 2 二次项系数
b -3 一次项系数
　　
1.1一元二次方程
一般式： ax +bx+c=0（a≠0）
方程两边都是等式
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
一元二次方程的概念
练习
1.下列哪些是一元二次方程？
（m为不等于0的常数）
2.指出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
1.2一元二次方程的解法
一元二次方程的解： 使得二元一次方程成立的未知数的值
练习：
1.若关于 的一元二次方程的一个根是0，则 的值是_____
2.若关于 的方程的一个根是0，则 的值是_____
3.若 是方程的根，求的值
1.2一元二次方程的解法
1.直接开平方法：
两种类型：
形如 （常数a≥0）的方程，根据平方根的意义，可解得
形如，可直接开平方，
依据：平方根的意义
练习
例1： 解方程：(x-3)2=49
例2：若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1
C．m为任意实数 D．m＞0
例3：解方程（3x+2）2=4（x﹣1）2
1.2一元二次方程的解法
2.配方法：
将一元二次方程配成（x+n）2=p（p≥0） 的形式，再利用直接开平方法求解
步骤：
原方程化为一般式；
移项，二次项系数化为1；
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
直接开平方
一除 二移 三配 四开方
依据：完全平方式
练习
例1：用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
例2：用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0
例3：用配方法证明 -10x2+7x-4的值小于0．
1.2一元二次方程的解法
3.公式法：
将一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）用配方法变为 的形式，利用直接开平方法求解
求根公式：
一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，
依据：配方法
1.2一元二次方程的解法
3.公式法：
步骤：
　　　 ①化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出 的值；
　　　 ④若 ≥0，则利用公式 求出原方程的解；　若 ＜0，则原方程无实根.
1.2一元二次方程的解法
根的判别式：
由的符号，可以确定一元二次方程根的情况：
　　　 ①当 时 两个不等的实数根 ；
　　　 ②当 时 有两个相等的实数根 ；
　　　 ③当 时 无实数根.
　
步骤：
化成一般形式
确定a,b,c
计算b2-4ac
b2-4ac＞0
有两个不相等的实数根
b2-4ac<0
无解
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
练习
例1：用公式法解方程：
x2﹣5x﹣1＝0．
3x2﹣4x+2＝0
练习
例1：若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
例2：下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．(x﹣k)(x+k)＝2x+1 D．x2+1＝0
例3：关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 .
1.2一元二次方程的解法
4.因式分解法：
步骤：
将方程右边化为0；
将方程左边分解为两个一次式的积；
令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
　
1.2一元二次方程的解法
4.因式分解法：
对于右边是0,且左边易于分解因式的方程，应选用分解因式法
常用的因式分解法：
提取公因式法；
公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2）
十字相乘法等.
　
练习
例1：提公因式法解一元二次方程
x（5x+4）﹣（4+5x）＝0
（x+1）2＝2x+2
2y2+4y＝y+2
例2：公式法解一元二次方程（平方差、完全平方公式）
4x2﹣（x﹣1）2＝0
（2x﹣1）2＝x2+6x+9
（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0
例3：十字相乘法解一元二次方程
x2﹣10x+16＝0
2x2+1＝3x
1.3 根与系数的关系
求根公式：
一般地，对于一元二次方程
它的根是
思考：
？ ？
1.3 根与系数的关系
根与系数的关系 ：
一元二次方程： ax +bx+c=0（a≠0）的两根是则，
例1：求下列方程两根的和与两根的积
例2：方程 的两根分别为，求：
.
例3：已知 是方程 的两根，则 的值为 .
例4：已知方程的两根分别是 、 ，求b、c的值。
练习
1.4 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决问题
1.面积问题
2.平均变化率问题
3.销售问题
4.传播问题
5.循环问题
6.数字问题
常考题型
1.4一元二次方程的实际应用
列一元二次方程的一般步骤：
①审：审题，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
②设：设未知数；
③列：根据等量关系，列出方程；
④解：解方程求出；
⑤验：检验方程的解是否符合实际意义；
⑥答：写出答案，包括单位名称.
1.4 一元二次方程的实际应用
题型一：面积问题
例1：如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2，求道路的宽度．
1.4 一元二次方程的实际应用
题型一：面积问题
例2：为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
1.4 一元二次方程的实际应用
题型二：平均变化率问题
增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，
则一次增长后的值为 ，二次增长后的值为
降低率问题：若基数为a，平均降低率为x，
则一次降低后的值为 ，二次降低后的值为
例1：根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是多少？　 　
1.4 一元二次方程的实际应用
题型三：平均变化率问题
例2：某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
1.4 一元二次方程的实际应用
题型三：销售问题
常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
利润率=
售价=标价×
进价×（1+利润率）=标价×
1.4一元二次方程的实际应用
题型三：销售问题
例1：某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．
（1）当每个纪念品定价为3.6元时，商店每天能卖出　 　件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
1.4一元二次方程的实际应用
题型三：销售问题
例2：某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为x元（x＞7），
（1）请用含x的代数式表示：每千克水果的利润　 　元及每天的销售量　 　千克．
（2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客．单价应定为多少元？
1.4 一元二次方程的实际应用
题型四：传播问题
例1：某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为 .
例2： 某种病毒具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人被感染（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
1.4一元二次方程的实际应用
题型五：循环问题
例1：某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
例2：参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有(　　)
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
1.4 一元二次方程的实际应用
题型六：数字问题
例1：一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大 40，已知十位上的数字比个位上的数字大 2．则这个两位数是 ？
例2：如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是　 　．
日 一 二 三 四 五 六
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