资源简介

2024届高考数学复习专题 ★★高三数学二轮复习难点突破（学生版）
目 录 TOC \o "1-3" \h \z \u
第一章 函数与导数 6
理解数学抽象，多得分 6
2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例 7
以“双曲函数、反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题命题研究 12
从2015届到2024届:深圳外国语学校高三第一次月考压轴题的源与流 23
2道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制 29
2024届江苏镇江高三期初考试导数压轴题及其姊妹题的命制 32
对两地2024届高三10月联考导数压轴题参考解答的商榷 34
Hadamard不等式及其特例——对数均值不等式 38
一道“对数均值不等式”及其变形、延申的原创小题 44
2023函数模考题精选精练 47
2023导数模考题精选精练 48
第二章 三角函数与解三角形 52
理解逻辑推理，快得分 52
以“笛卡尔叶形线”为背景的高考原创题 54
一道三角函数填空题的命制——听吴莉娜专题报告受启发而命制 56
用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围 58
2024届常州高三期中数学压轴题的出题思路及不同解法对比 61
构造出来的高考题 65
2023三角函数与解三角形模考题精选精练 70
第三章 数列 72
高考原创小题的命制与解析——音程计算、药物留存模型 72
无锡市2024届高三期中数列压轴题的命制与推广 73
有趣的迭代——2023上海高考数学函数切线压轴题的源与流 76
2023数列模考题精选精练 81
第四章 立体几何 84
理解数学建模，好得分 84
2023立体几何模考题精选精练 86
第五章 解析几何 91
理解数学运算，少失分 91
从高二月考到2024届高三期初——齐次化表达，二次曲线不同 92
短文精粹：曲线方程中的“且”与“或” 95
曲线系与等轴双曲线 96
以“贝塞尔曲线”为背景的高考原创题 98
省常中2024届高二周练4椭圆压轴题的推广及“副产品” 101
2024届如皋高三8月诊断测试解析几何压轴题的源与流 104
2023解析几何模考题精选精练 107
第六章 计数原理、统计与概率 113
一道考察类比思想的原创小题 113
2023计数原理、统计概率模考题精选精练 114
函数与导数
理解数学抽象，多得分
抽象方法包括：性质抽象、关系抽象、等置抽象、无限抽象，以及强抽象和弱抽象。
数学考试中，涉及最多的是“关系抽象”、“强抽象和弱抽象”。
数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法。
关系抽象在处理问题过程中是经常用到的，有时解题的关键就在于一个关系的抽取或建构。如求值（2sin 80°—sin 20°）／cos 20°，若仅从直观上抽取80°＝4*20°这个倍数关系，问题将难以解决，而若从特殊角出发，建构80°角与20°角的如下关系：80°＝60°＋20°，问题便可迎刃而解。
弱抽象和强抽象也是数学中常用的抽象方法。
先来看下面两组例子，一组是：
数→式.
正比例函数→一次函数→代数函数→函数.
全等三角形→相似三角形.
另一组是：
三角形→等腰三角形→等边三角形.
四边形→平行四边形→矩形→正方形.
两组例子给出的是两种不同的抽象方式：弱抽象和强抽象。
强抽象，可以看成“从一般到特殊的过程”；强抽象，可以看成“从特殊到一般的过程”。
譬如：试比较1001^2001与2001！的大小。这道题可以直接证明，但是通过考虑它的一般情况来证明更为简便。首先，通过观察1001^2001与2001!的结构和联系，可以发现，1001＝(2001+1)/2，所以问题转化为比较[(2001＋1)/2]^2001与2001!的大小。将2001抽象成n，将其一般化，即比较[(n+1)/2]^n与n!的大小，联想不等式[(1+2+3+···+n)/n]^n>n!以及1+2+3+..+n=n(n+1)/2，即得所需结果。
在解决问题中，观察条件、结论的结构和联系是非常重要的。
类似的，2022全国高考1卷第7题。
（2022全国高考1卷第7题）设，则（ ）
A. B. C. D.
分析：设,,
将0.1抽象成，,,
,,则；问题迎刃而解。
2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例
第1类 出题背景1
变形得：
注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。
第2类 出题背景2
若
【运用案例1】
（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A. B. C. D.
令，得：，可得：
令，得：，即：可得：
设,
将0.1抽象成，,，则问题迎刃而 解。
【运用案例2】
（南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知，，，则的大小关系为（ ）
B. C. D.
令，得：，所以，
由“若
”得：
所以，
故：.
【运用案例3】
（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
B. C. D.
由“若
”得：
，则，则
同理，
，则
故，
【变式】（2019年全国高中数学联赛甘肃预赛第3题）已知，，，则的大小关系是__________________
参考答案：（提示：，因为，所以）
第3类 出题背景3
【运用案例】
（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
B. C. D.
分析：因为,因为当，所以,即,所以；
结合“”,令即可判断：
故，
【类题训练】
1.已知, 则
A. B. C. D.
2.若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可判断，即可得解；
【详解】解：令，则，则在定义域上单调递减，所以，即，所以，即，令，，则，因为，所以，令，，则，即在上单调递减，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得；
故选：A
3.
4.设，，，，则
A． B． C． D．
答案：B
以“双曲函数、反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题命题研究
【什么是“双曲函数”？】
双曲函数是一种非初等函数，它可以用一些基本的数学函数来表示，如：利用指数函数的组合。
一种常见的双曲函数是双曲正弦函数，记作sinh(x)，定义为：
另一种常见的双曲函数是双曲余弦函数，记作cosh(x)，定义为：
双曲正切函数tanh(x)定义为：
双曲函数的导数公式与三角函数的导数公式类似，例如：
可以验证，上述公式与使用导数定义计算的结果是一致的。
【“双曲函数”的图像特征】
双曲函数的图像特征如下：
1.对称性：双曲正弦函数、双曲正切函数均是以原点为中心的对称曲线。双曲余弦函数是关于y轴对称的对称曲线。
2.双曲正切函数的渐近线：双曲正切函数有两条渐近线，分别为和。
3.单调性：双曲正弦函数、双曲正切函数均是严格单调递增曲线；其中，双曲正切函数的图像被限制在两水平渐近线和之间。
【以“双曲函数”为背景的函数综合题】
【案例1】
教育部在2022年全国2卷第22题中，命制了以双曲函数为背景的试题：
已知函数
当时，，求的取值范围。
答案：
【命制思路简析】
引理：当时，
证明方法1：构造函数，求导并研究单调性，即可完成证明。
证明方法2：，故单调递增
当时，，故在下凸。
函数在处的切线方程为：
故，当时，
对于“引理”中的不等式——“当时，”，
令，则（）(*)
对(*)式两边，同时乘以，得：（）
即：（）
引入参数，将替换成，可得：
是使得恒成立的一个取值。
据此命制第（2）问，让考生探究“当时，，的取值范围”。
【案例2】
（常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题）
设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【与“双曲函数”的关联】
，在上单调递增且为奇函数。
【答案】D
【分析】先判断出利用奇偶性，再利用导数求得的单调性，从而利用奇偶性、单调性解不等式即可得解.
【详解】因为，其定义域为，
所以，故为奇函数，
又，
当且仅当，即时等号成立，所以在上单调递增，
故由得，即，
所以，解得.
故选：D.
【案例3】
（江苏省连云港市2023-2024学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题）
已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【与“双曲函数”的关联】
由双曲余弦函数与余弦函数组合而成。
【案例4】
（广东省深圳外国语学校2024届高三上学期第一次月考（入学考试）数学试题）
（多选题）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（ ）
A.
B. 在定义域上单调递增
C. 的导函数
D.
【与“双曲函数”的关联】
图像，分别与双曲正弦、双曲余弦函数图像类似。
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解,
【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，
对于C，当且仅当时取等号，
而，所以C错误，
对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：BD
【案例5】
（靖江中学、华罗庚中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题）
若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【与“双曲函数”的关联】
题目中蕴含的图像，与双曲余弦函数图像类似。
【答案】D
【分析】根据题意得有解，即有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可.
【详解】根据“局部奇函数”定义知：有解，
即方程有解，
则即有解；
设，则（当且仅当时取等号），
方程等价于在时有解，
在时有解；
在上单调递增，
，
即实数的取值范围为.
故选D.
【什么是“反双曲函数”？】
反双曲函数是双曲函数的反函数，记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。
例如，反双曲正弦函数记作y=arsinhx，定义为 ；
反双曲余弦函数记作y=arcoshx，定义为 ；
反双曲正切函数记作y=artanhx，定义为 。
与反三角函数不同之处是它的前缀是ar，意即area（面积），而不是arc（弧）。
【“反双曲函数”的图像特征】
反双曲函数的图像特征如下：
1.反双曲正弦的图像关于原点对称，且在原点处切线的斜率为1。
2.反双曲余弦的图像，有顶点，且在该点处切线为x=1。
3.反双曲正切和反双曲余切的图像关于原点对称，有渐近线。
【“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数】
下面展示“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数：
上图为（）、（）图像，它们关于对称。
上图为（）、（）图像，它们关于对称。
上图为（）、（）图像，它们关于对称。
上图为（）、（）图像，它们关于对称。
【以“双曲函数”、“反双曲函数”类型的函数为背景的函数综合题】
【案例6】
（常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题）
已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．
（1）求m，n的值；
（2）若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【与“双曲函数”的关联】
由于在上单调递增且为奇函数，
所以，在上单调递减且为奇函数。
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据指数函数的概念及奇偶性的定义计算即可；
（2）由（1）求得函数解析式，判定其单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可设，由，解得，
所以，
则．
又因为在R上是奇函数，
所以，，
所以，即，
验证成立，
综上所述：；
【小问2详解】
由（1）知，
易知在R上为减函数，
又是奇函数，从而不等式
等价于，
∴对任意的恒成立，
由二次函数的性质可知，
所以.
【案例7】
（扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题）
已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）若存在实数，使得成立，求的取值范围.
【与“双曲函数”的关联】
在上单调递减且为奇函数。
【答案】（1）1 （2）
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可.
（2）首先利用根据题意得到，利用单调性定义得到是上的减函数，再利用单调性求解即可.
【小问1详解】
因定义域为，
又因为为奇函数，所以，即，得
当时，， 所以，所以
【小问2详解】
可化为，
因为是奇函数，所以
又由（1）知，
设，且，则，
因为，所以，，，
所以，即故是上的减函数，
所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，
所以，解得.所以的取值范围为
【案例8】
(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
已知函数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)＞4的解集为
B． C． D．(，＋)
【与“反双曲函数”的关联】
函数在单调递减且为奇函数。
【答案】A
【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数，设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为减函数，而在上为增函数，故在区间上为减函数，
解可得：，即不等式的解集为．故选：A
【作者寄语兼本文总结】
题目一旦被解决，就会被人发现其套路。这个“套路”就是规律。所以，我们做完一道题，不要忙着去做下一题。题海无边，如果不去总结规律，当你做到类似题时，它认识你，你不认识它，这是多么尴尬的事呀！如果我们能够做到及时总结规律。你会发现，海量的题目突然归结成一类一类的题型。你把握这些题型的解题规律，你就具备了解题高手的能力！
在人工智能的新时代，学会“发现”规律比你“知道”规律更重要！同学们，你也去试着思考题目之间的联系，去发现、总结题目背后的规律吧！
——刘蒋巍
从2015届到2024届:深圳外国语学校高三第一次月考压轴题的源与流
【试题呈现】
（江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题导数压轴题）
已知函数，其中为常数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：有且仅有两个零点；
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
注：该题被常州市第一中学高三数学组选做2024届高三周练试题。
【简要答案】（1）x－y＝0；（2）略；（3）4
【往年试题今又现】
（深圳外国语学校2024届高三第一次月考试题导数压轴题）
设函数.
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求正整数的最大值.
【答案】（1）；（2）2.
【试题的源】
《刘蒋巍：基于常见函数图像构造出的导数题——以广东、湘豫、深圳等地2024届高三联考题为例》一文中提到：以常见函数图像与直线组合出题。
如：以与直线组合出题。
【命制过程3步骤】
【第1步：研究函数图像性质】
令
当，时，函数单调递增
，故，下凸。
因此，在递增且下凸。
同理，可证：在递减且下凸。
【第2步：构造过定点的直线，并调整参数，研究直线与函数图像的位置关系】
构造过定点的直线
令
令，则
因此，在单调递减，在单调递增
故，
当时，
当时，
当时，
当时，
故，函数图像在直线上方时，整数的最大值为3
即如下命题：
（命题）当时，使得不等式恒成立的整数的最大值为3
该命题还可弱化为：
（条件弱化后的命题）当时，使得不等式恒成立的整数的最大值为3
【第3步：变换参数，恒等变形，生成新问题】
变换参数，令为不同的形式，通过恒等变形，可以生成无数道“本质相同，形式不同”的新问题。
【案例1：南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题导数压轴题】
如，令（为整数），则，
恒等变形为：
即：，两边同时除以，得：
由“整数的最大值为3”，可知“整数的最大值为3”，即：整数的最大值为4.
据此生成，新问题：
已知函数，其中为常数.
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
【简要答案】的最大值为4
【案例2：深圳外国语学校2024届高三第一次月考试题导数压轴题】
再如，令（为整数），则
即：，即：
由“整数的最大值为3”，可知“整数的最大值为3”，即：整数的最大值为2.
据此生成，新问题：
设函数.
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求正整数的最大值.
【答案】正整数的最大值为2.
【分析】当时，，
不等式变形为：，
这就是上面研究过的问题。
【试题的流】
一定是以与直线组合，才能出题么？
当然不一定！你可以取你喜欢的函数以及直线组合，这就形成了“试题的流”。
试一试吧！
附：
2019年9月，中数参杂志社举办的刊网微研，主题为《新课程教学中如何培养学生提出问题的能力》，由马小为（《中学数学教学参考》杂志主编）策划，郑花青（南京师范大学附属扬子中学副校长）主讲，杨妮（《中学数学教学参考》杂志编辑）主持。当时，胡云飞（江苏省溧阳市高中数学研训员，溧阳市教师发展中心副主任）、陈小波（深圳市罗湖区教育科学研究院中学教研中心主任）、赵银仓（广东省特级教师，东莞市名师工作室主持人）以及刘蒋巍（《高中生提出问题能力培养策略之“GESPGT”模式》版权作品著作权人）作为嘉宾，参与了对话研讨。刘蒋巍认为，学生学会提问、学会思考，并习得幸福的能力，尤为重要；并在这次对话之后，刘蒋巍撰写了《素养导向下高中生提出问题能力培养策略》。以下是：摘录的核心要点。
素养导向下高中生提出问题能力培养策略
文/刘蒋巍
一．素养导向下高中生提出问题能力培养策略之“GESPGT”模式
①关注数学学习目标（Focus on math learning goals）。如果数学学习目标不清晰，问题就会层出不穷，甚至离学习目标万里。譬如：“这个现实问题中蕴含的数学最值问题是什么？”与“这个现实问题中蕴含哪些数学问题？”前者更专注数学学习目标，在教学实践中更可行。
②核实已有经验（Verify existing experience）。譬如:曾经遇到过类似问题吗？还有哪些概念和现在的这个概念相关的？相关概念的数据或之间的关系都已知了吗？如果未知，可以求解或证明吗？
③方案选择（Scheme selection）。我们能就此问题做些什么？我们还能想到哪些可行性方案？假设这个解题的障碍已经解决了，问题就简化成什么问题？我们会克服这个障碍吗？之前哪道问题的解决方法可以借鉴到这道问题？学习小组中谁的方法可以借鉴？
④路径选择与优化（Path selection and optimization）。如果把我们选择的方案转化为具体的解题路径，这个路径是怎样的？如何优化呢？
⑤一般化思考（Generalized thinking）。是否存在更一般化的问题？一般化问题的解决与特殊情境下问题的解决具有相似的解题路径吗？又有哪些区别呢？
⑥数学命题转换（Mathematical proposition transformation）。如果把已经解决的问题的条件和结论，写成一个数学命题。它的逆命题、否命题依然成立吗？为什么？可以证明吗？
二．高中生数学发散思维训练之“数学问题生成七字诀”
数学发散思维的训练也有利于数学提问能力的培养。高中生数学发散思维训练之“数学问题生成七字诀”：
①“参”字诀：引入参数，可以将问题由具体变为抽象、由“固定的”变为“变化的”，形成新问题。
②“组”字诀：将多个问题进行重新组合，形成新问题。
③“换”字诀：通过代换数、字母或算式，提出新的问题。
④“形”字诀：图形、图像、图表、实际场景，均为“形”。将题目中“数”的问题转化为“形”的问题。
⑤“算”字诀：高中有函数运算、向量运算、矩阵运算。将题目中已有的运算进行变化，形成新的问题。
⑥“动”字诀：即“由静化动，动态生成”，通过平移变换、伸缩变换、旋转变换等手段，将静态问题转化为动态问题。
⑦“逆”字诀：从一个最终要求解的问题或一个最终要证明的结论开始，逆向思考，生长生成问题的条件。从而，形成新的问题。
总之，高中生提出问题能力培养策略之“GESPGT”模式、数学发散思维训练之“数学问题生成七字诀”是经过一线教学实践总结提炼而成的实战策略，能够激发学生的好奇和困惑，长期坚持运用能够提升高中生提出问题能力。
2道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制
2023年4月14日，镇江市教育科学研究院高中部部长、高中数学教研员、镇江市学科带头人、镇江市政协常委、市农工党教育支部主任黄厚忠先生，在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。
在专家报告环节，黄厚忠先生指出：“基本初等函数（一次函数、二次函数、三次函数、分式函数、绝对值函数为主）、指数函数、对数函数、三角函数，这四种函数相互间组合运算、叠加、复合，衍生出多种新函数，探讨这些新函数的性质。”同时，黄厚忠先生也提到：“有些高考题，命题者出题意图是让学生用导数处理。实际上，也可以用不等式处理。”
笔者在学习教育专家黄厚忠先生专题报告后，研读教材，命制了2道函数不等式题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。
问题1【命制过程】
【命题背景】
函数在为增函数，且当时，
基于此背景，命制如下问题1
【问题1】已知数列的通项公式为：，
（1）当时，求证：
（2）判断数列的单调性，并证明
（3）求证：
问题1【参考解答】
证明略。
故，数列为单调递增数列。
注：也可构造函数，运用不等式（）证明.
由（2）知：，即：
当时，,,故（）
即：当时，；用替换得：（），
即：（），亦即：（）
故，
综上，
问题2【命制过程】
【教材题源】
（苏教版必修1教材第134页“思考运用”第7题）已知函数，对于任意的，试比较与的大小.
【命题背景1】
，，
当时，，则；则在是上凸函数
当或时，，则，
则在是下凸函数。
取“”段函数图像，则
据此，命制第（1）问。
【命题背景2】（上凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微上凸函数，则经过点的切线一定在曲线的上方，即成立不等式
又若为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.
简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是区间上的可微上凸函数，
则在上为减函数；则，
又，则
即：
若为严格上凸函数，则在上严格单调减少。
因此，当且仅当时，等号成立。
由上述定理，可知：经过点的切线一定在曲线的上方。即：
据此，命制第（2）问。
【问题2】给出定义：若函数在区间I上可导，即存在，且导函数在区间I上也可导，则称在区间I上存在二阶导函数.记，若在区间I上恒成立，则称在区间I上为上凸函数；若在区间I上恒成立，则称在区间I上为下凸函数.
对于任意，其中，，若在区间I上为上凸函数，则有;若在区间I上为下凸函数,
则有.
已知，且，
则______(填“>”、“<”或“=”);
若在上恒成立，则的最小值为________
问题2【参考答案】
；（2）的最小值为：
【总结】
教师要研究命题的背景——试题的“源”，据此，我们可取种种具体的函数，乃至抽象函数，源源不断地产生相应的函数不等式题。
2022全国新高考Ⅰ卷作文提示语：对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手。本手是基础，妙手是创造。一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。
对于教师而言，你未必需要自己下出“妙手”；你需要的是“把握基本，参透变化”。知晓“试题的变化”，会训练学生，让学生练好“本手”，创造出“妙手”！
课堂的基本在于“预设”，课堂的创造在于“生成”！
2024届江苏镇江高三期初考试导数压轴题及其姊妹题的命制
【试题呈现】
（江苏省镇江市2023~2024学年度第一学期高三期初试卷第22题）
（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【参考答案】
（1）单调增区间为：；单调减区间为：和
（2）
【出题背景1——凸函数不等式】
若是区间I上的可微下凸函数，则经过点()的切线一定在曲线的下方，即：成立不等式：，
如：，,则在R上为可微下凸函数；于是有：；即：，
将替换为，得：
引入参数，进一步放缩得：，其中
同时注意到“在上，等号可以取得”。（理由：，且，因此存在，使得）
【出题背景2——同构】
为了让问题更加隐蔽，将不等式恒等变形，并将中间放缩步骤隐藏，得：
这样，就需要考生能够变形以及放缩，得到：
再对比题设条件：“关于x的不等式恒成立”，发现相同的结构：，进而得出最终结果。
【题目变式——姊妹题】
（江苏省镇江市2023~2024学年度第一学期高三期初试卷第22题的“姊妹题”）
（12分）已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【参考答案】
（1）单调增区间为：；单调减区间为：
（2）
注：该题由刘蒋巍命制，可作为2024届镇江期初考试第22题的“姊妹题”。
【姊妹题的命制思路】
2024届镇江期初考试第22题的“姊妹题”命制过程如下：
，则，当时，单调递减
注意到：，则在为上凸函数，则（）
即：（），用替换，得：（）
即：（）
注意到：时，，
则：当时，
引入不小于1的参数，则
为了让考生找到相同的结构（引入“同构”考点），将改成形式，变形，得：
进一步变形，得：
于是，得到如下新问题：
已知函数（）．
若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
对两地2024届高三10月联考导数压轴题参考解答的商榷
【试题呈现】
（常州市联盟学校2023—2024学年度高三第一学期10月学情调研）
已知函数.
（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．
（安徽省徽师联盟2023-2024学年高三上学期10月质量检测数学试题）
已知函数.
（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由.
（类题1——2023苏大考前指导卷第2问）已知函数
（2）当时，求证：在上有唯一零点。
【出题背景】2023苏大考前指导卷21题（2）出题背景（函数的凸性），构造函数，判断其在（0，+∞）单增，且为下凸函数，在x=0处的切线为y=x，故g(x)函数图像与y=ax图像在（0，+∞）有唯一交点，因此，在（0，+∞）有唯一零点。
【出题背景】
（下凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微凸函数，则经过点的切线一定在曲线的下方，即成立不等式
又若为严格凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.
简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是区间上的可微凸函数，
则在上为增函数；则，
又，则
即：
若为严格凸函数，则在上严格单调增加。
因此，当且仅当时，等号成立。
【试题参考解答及商榷之处】
【参考解答】
常州市联盟学校、安徽省徽师联盟对于第22题导数压轴题分别给出了如下解答：
（常州市联盟学校2023—2024学年度高三第一学期10月学情调研）已知函数.
（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．
【参考答案】令，即可得；
构造函数，，易知在上恒成立，
即在上单调递增，如图中实曲线所示：
又函数恒过，且，
易知，所以函数在处的切线方程为；
又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；
所以由图易知与在范围内仅有一个交点，
即函数在内仅有一个零点. …………12分
（安徽省徽师联盟2023-2024学年高三上学期10月质量检测数学试题）
已知函数.
（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由.
【参考答案】令，即可得；构造函数，，易知在上恒成立，即在上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数恒过，且，易知，
所以函数在处的切线方程为；又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；所以由图易知与在范围内仅有一个交点，即函数在内仅有一个零点。
【值得商榷之处】
在商榷之前，我们先看一个引理及相关的命题：
引理：（上凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微上凸函数，则经过点的切线一定在曲线的上方，即成立不等式
又若为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.
简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是区间上的可微上凸函数，
则在上为减函数；则，
又，则
即：
若为严格上凸函数，则在上严格单调减少。
因此，当且仅当时，等号成立。
相关命题：给出定义：若函数在区间I上可导，即存在，且导函数在区间I上也可导，则称在区间I上存在二阶导函数.记，若在区间I上恒成立，则称在区间I上为上凸函数；若在区间I上恒成立，则称在区间I上为下凸函数.
对于任意，其中，，若在区间I上为上凸函数，则有;若在区间I上为下凸函数,
则有.
已知，且，
则______(填“>”、“<”或“=”);
若在上恒成立，则的最小值为________
参考答案：（1）；（2）的最小值为：
【命题背景】
，，
当时，，则；则在是上凸函数
当或时，，则，
则在是下凸函数。
取“”段函数图像，则
据此，命制第（1）问。
由上述引理，可知：经过点的切线一定在曲线的上方。即：
据此，命制第（2）问。
由上面的引理及相关命题，值得商榷之处不言而喻了——在局部区域，函数图像在切线的上方还是下方，函数的局部凹凸性（局部区域，上凸还是下凸）的判定是关键点。譬如：在是上凸函数，经过点的切线在曲线的上方。
而函数，在（0，+∞）单增，且为下凸函数，x=0处的切线y=x在曲线的下方。
这两地区上述的参考解答都没有说清楚这一点。希望参考解答能够更加完善，并没有针对谁的意思。抛砖引玉，仅供参考。
Hadamard不等式及其特例——对数均值不等式
（指数均值不等式）：（）
其对数形式：（），
又等价于：（）
引申：当时，，
则，
即：，不难发现调和级数是发散的。
★关于（）类型函数的导数题是怎么出的呢？ 设，（）是函数（）图像上任意两点，记直线AB的斜率为，则
；而函数在处的导数，
又由引理：
所以恒成立.（*）——一般性的结论。
注：引理证明：构造函数（），显然，
所以，即：，（）
不妨设，令，则，即：
★案例：设函数，若的两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
分析：，，令，，因为的两个极值点和，所以方程在上有两个相异实根，则且，得：
易得：，
若，则，又因为，所以，矛盾！所以不存在符合条件的实数.
“副产品”：
★试题改编
将问题改编，生成如下问题：
（2021年湖北省八市高三（3月）联考第21题）已知函数f(x)=x-2alnx-,(a∈R).
（1)讨论函数f(x)的单调性；
（2)若x1、x2为函数f(x)的两个极值点，证明：
注：2021年湖北省八市高三（3月）联考
★常州高级中学高二单元考试题
分析：我们看第（3）问，属于“（）类型函数”
设，，记直线AB的斜率为，
因为，为零点，所以，此题中，
而函数在处的导数，
又由引理：
所以，，即：
又，所以，，，即
单元考只是个特例，你读懂了吗？
应用：已知函数
若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：
应用（*）式结论：
将，，代入到中，得：
这一结论，你会玩了吗？试一试吧！
试一试
已知函数
如果函数的图像交轴于，（）两点，的中点为，证明：
要求：请写出完整解题过程哦！
问题5：已知函数
（1）设，证明：当时，
（2）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：
分析：（1）将，，代入到中，得：，即：，
所以
（2）将，，代入到中，得：
问题6：设函数，证明：当时，
分析： ，从而
引申：当时，
拓展：当然，本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。
，其中
问题7：设函数，若的两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
分析：，，令，，因为的两个极值点和，所以方程在上有两个相异实根，则且，得：
易得：，
若，则，又因为，所以，矛盾！所以不存在符合条件的实数.
问题8：已知函数（），若，且，证明：
分析：，因为，所以
又因为，所以
☆常见的对数不等式：，（）；
，（）；
，（）；
，（）.
构造函数（），显然，
所以，即：，（）
不妨设，令，则，即：
问题9：已知函数（）
若函数有两个不同的零点，，求证：
分析：因为函数有两个不同的零点，，
所以 ，则，，
所以，，即
问题10：已知函数（）
记函数的图像为曲线C，设点，是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N。试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由。
答案：不平行。请读者自作。
一道“对数均值不等式”及其变形、延申的原创小题
【试题呈现】
【多选题】“（）”被称为“对数均值不等式”。
变形为：“（）（变形1）”。
当时，令，并适当放缩，可得不等式：，
令不等式中的分别取并累加，可得：
可以通过类似上述“变形”、“放缩”、“代换”的方法得到的新的不等式有（ ）
A.
B.
C.
D.
出题背景
【试出题背景】“对数均值不等式”及其变形、延申
参考解答
【试题参考解答】BCD
“（）（变形1）”可变形为：
（）（变形2），令，得：
（）（变形3），故A错误。
将变形3中换成可得：
（）（变形4）
对“变形4”用基本不等式，放缩得：
，故B正确。
令，得：，故C正确。
令上述不等式中分别取并累加可得：
即：，故D正确。
D选项，还可以用于估算真数为正整数的对数的范围。
题外话
有老师说：“刘老师，你命制的这三道题，考到原题的可能性不大。”
是的，有多少老师能命中高考原题呢？
我在2017年，"用对数均值不等式(Hadamard积分不等式特例)推导调和级数是发散的"这一过程中(写入《江苏高考数学复习指南》2018年出版)，其中一个部分就是2022年全国高考2卷数学压轴题最后一问。(可以算是:命中高中压轴题最后一问原题吧！提示:把不等式，k取1~n，累加一下看看呢)。可我当初也想不到5年后会在高考中考到。
教育部在2022年全国2卷第22题中，命制了以双曲函数为背景的试题：
已知函数
当时，，求的取值范围。
设，证明
教学的意义，就是为了高考么？
这题所涉及的数学思想，对高考，甚至对大学数学的学习都是有意义的。
2023函数模考题精选精练
1.（2022-2023·徐州新沂市第三中学·一模）函数的部分图象大致是( ).
A．B．
C．D．
2.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022-2023·南师大附中江宁分校、南京中华中学·一模）15．设函数 ，则使得 成立的的取值范围是_____.
5.（2022-2023·南通·一模）函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）14．定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
7.（2022-2023·南京第十二中学·一模）15．已知函数，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是____．
2023导数模考题精选精练
1.（2022-2023·南京江浦高中·一模）8．设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022-2023·南京第十二中学·一模）8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）（2022-2023·南通·一模）12．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为
4.（多选题）（2022-2023·南师大附中江宁分校、南京中华中学·一模）10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切
5.（多选题）（2022-2023·徐州新沂市第三中学·一模）12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6.（多选题）（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7.（2022-2023·南京、盐城市·一模）22．已知，函数，.
(1)若，求证：仅有1个零点；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
8.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）22．已知函数且.
(1)设，讨论的单调性；
(2)若且存在三个零点.
1）求实数的取值范围；
2）设，求证：.
9.（2022-2023·扬州中学·一模）22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
10.（2022-2023·南京师大附中·一模）22．已知函数，其中．
（1）设函数，证明：
①有且仅有一个极小值点；
②记是的唯一极小值点，则；
（2）若，直线与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线的方程．
11.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）22．已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
第二章 三角函数与解三角形
理解逻辑推理，快得分
数学推理是学生学习数学、进行思考的基本能力。一般地，可从以下两个方面入手培养学生的数学推理能力。
1.加强数学活动的过程教学，提高合情推理能力
通过适当的学习活动，尽可能使学生亲自体验概念的形成过程；精心设计和组织教学，引导学生参与公式、定理、法则、性质的发现、探索、推导过程；尽量暴露解题的思考过程，尤其是解题中思路受阻及产生错误后是如何调整思维方式的，帮助学生掌握探索的方法与解题的规律，培养和发展自我调控的能力.
2.有目的、有计划、有步骤地进行演绎推理的训练，提高演绎推理的能力
（1）结合具体数学内容，介绍或讲授一些必要的逻辑知识．
一般来说，学生经过几年的学习，可以获得一定的逻辑训练.但是因为在教材和教学中，只对数学内容本身进行解释，而对其中的逻辑成分很少解释，学生在没理解逻辑成分的情况下去学习推理往往只是不自觉地使用逻辑法则，有时还会发生逻辑错误，这当然是不利于其逻辑思维和推理能力的发展，为了帮助学生更自觉地使用逻辑规则，避免逻辑错误，提高思维和推理能力，有必要学习关于逻辑的初步知识。
（2）向学生明确“运算也是推理”的思想，有意识地在运算中培养学生“说理”的习惯和能力.
明确“运算也是推理”的思想是十分重要的。因为在中学代数，尤其是初中代数中，含有较多的具有算法性质的内容，学生在学习这部分内容时，往往只是记忆运算的步骤，而忽视对运算依据的理解和掌握，这就不利于运算的准确性，也不利于推理能力的培养。当然，这也不是说要掌握所有数、式运算的依据，这在中学数学中也是做不到的，但是，要强调把计算步骤与依据结合起来，尽可能做到“数学地记忆”，培养学生“说理”的习惯和能力，从中提高推理能力。
（3）向学生明确“化归也是推理”的思想
在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。
【例题】在Δ ABC中，A＝2C，求证：b/3＜a—c＜b/2．
分析 条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为sin B/3 （1）在Δ ABC中，A＝2C，求证 sin 3C＜3sin 2C—3sin C．
（2）在Δ ABC中，A＝2C，求证2sin 2C—2sin C＜sin 3C．
对于问题（1），继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：
sin 3C<3sin 2C—3sin C，
等价于3sin C—4（sinC）^3<6sinCcos C—3sinC
等价于—4(sinC)^2—6cos C+6<0
等价于2（cosC）^2—3cos C+1<0
等价于(2cos C—1)(cos C—1)<0
等价于2cos C—1>0
等价于cosC>1/2.
问题（1）随之就化归为：在ΔABC中，A＝2C，求证cosC＞1/2．这是一个很简单的问题．同样可证问题（2）．
分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。
其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一，等等。
类似的，2022全国1卷第18题。
（2022·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
求的最小值．
分析 条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为以，进一步将角统一起来。由化成，即：，得，即有，进一步转化为关于单变元B的代数式，从而，问题就化归为如下表现形式上较统一的问题：
【问题3】在Δ ABC中，求的最小值.
对于问题3，继续将其统一为关于同角B的同名三角函数式：
等价于“求的最小值“
问题3随之就化归为：在Δ ABC中，求的最小值．这是一个很简单的问题．
以“笛卡尔叶形线”为背景的高考原创题
【试题呈现】“三角换元思想”是三角函数中的基本思想。运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题。譬如：已知，求的最大值。我们令，，则，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题。已知是曲线上的点，则的最大值为（ ）
A. 2 B.8 C. 18 D. 36
原创题 该题由刘蒋巍命制
出题背景：笛卡尔叶形线
1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：
从笛卡尔坐标系的创立开始，笛卡尔叶形线方程隐藏的美就逐渐绽开了含苞待放的花蕾雏形。
（笛卡尔叶形线的对称美）笛卡尔叶形线的斜渐近线与切线的平行对偶美，具有奇特的育人优势，以美育激起以美育德的魅力，以美育德和以美育人。
于是，笔者对该素材，产生了兴趣！
令，，代入方程，得：
上式中的、具有轮换性。
实际上，笛卡尔叶形线的结点坐标和顶点坐标 的横纵坐标都具有轮换对称美。
二元函数，则有
，，
过顶点A的切线斜率为，
故，过点A的切线方程为：，法线方程为
渐近线平行于切线。
令，得到，曲线：。这就是本题的出题背景。
解题方法：
其中，
令，则
在上单调递增
故，，
一道三角函数填空题的命制——听吴莉娜专题报告受启发而命制
2023年4月14日，江苏省常州高级中学吴莉娜老师在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。
在专家报告环节，吴莉娜老师指出：“教材是高考数学试题的源头。教材是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据。因此在教学中应充分发挥教材作为试题的根本来源的功能，每年均有一定数量的试题是以教材习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考题。”
笔者在学习吴莉娜报告后，研读教材，命制了一道三角函数填空题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。
【命制过程】
（苏教版必修2第79页探究拓展第19题部分）
由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有
可见可以表示为的三次多项式.
笔者思考：恒成立，即：恒成立，亦即对于恒成立，将“4”令为参数“”，求参数的值.
于是有如下问题：
问题1：已知对于总有成立，则
显然，这就是2008年江苏高考卷第18题的命制思路。如此命制，已落入俗套。
参考上述问题1的命制方法——“演绎法+代换法”，命制新问题。
【新问题的命制过程】
公式的演绎过程：
用“代换法”过程：
由此可见，是方程的根.
将方程左侧多项式展开，整理得：
令，则，，
此时，
于是，得到以下新问题：
【新问题】 已知，若、、是方程的根，则______________
【参考答案】
用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围
【一般性的命题（一）】
锐角三角形ABC中，，，角A、B、C所对边分别为、、，其中为定值。
求证：（1）；
【命题（一）问题（1）命题分析】
边、角，均为已知定值。要保证三角形ABC为锐角三角形。可以先画出角A，在边AB上，取点、，使得、（取直角三角形ABC为临界状态，来进一步研究）。
若B点在段（不包含A与）或的延长线上，此时，三角形ABC为钝角三角形。（不符合题意）
要保证三角形ABC为锐角三角形，则B点在段。将视为三角形ABC的高，AB视为三角形ABC的底。
当点B在段运动时，从到，三角形ABC的面积逐渐变大。
因此，，只需用边、角表示出即可。
于是，有：，亦即：
【命题（一）问题（2）命题分析】
边、角，均为已知定值。且由（1）的命题分析，可知：要保证三角形ABC为锐角三角形，则B点在段。
什么时候最小，什么时候最大呢？可以运用椭圆的定义去转化。
【用椭圆定义转化求解】以A、C为焦点，绘制一个经过点B的椭圆，作线段AC的垂直平分线，交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义以及三角形中“大角对大边”的性质，可知：
【直观角度，迅速求解】从直观角度看，点D从运动到，AD是逐渐变大的。因此，当点B在段运动时，从到，三角形ABC的周长也逐渐变大。
【注】当然，也可以不用“椭圆的第一定义”转化，直接用三角形中“大角对大边”的性质去比较判断。结论也是一样的。
于是，有：
【一般性的命题（二）】
锐角三角形ABC中，，，角A、B、C所对边分别为、、，其中为定值。
求证：（1）；
（2）
【命题（二）问题（1）命题分析】
注意到：定边所对角为定值，属于“定弦定角”，故构造三角形ABC的外接圆。还是找临界状态，一个“临界状态”是或时；另一个“临界状态”是点A到边BC距离最远时，此时点A在线段BC的垂直平分线上。
若A点在优弧段（不包含B、C、、），此时三角形ABC为钝角三角形。（不符合题意）
若A点在或处，此时或。（不符合题意）
要保证三角形ABC为锐角三角形，则A点在劣弧段。当点A从运动到时，点A到边BC距离越来越大；当点A从运动到时，点A到边BC距离越来越小。底边BC不变，则三角形ABC的面积随着点A到边BC距离的增大而增大，减小而减小。
故，
于是，有：
【命题（二）问题（2）命题分析】
【用椭圆定义转化求解】以B、C为焦点，绘制一个经过点A的椭圆，作线段BC的垂直平分线，交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义以及三角形中“大角对大边”的性质，可知：
【直观角度，迅速求解】从直观角度看，点D从运动到，CD是逐渐变大的。因此，当点A从运动到时，三角形ABC的周长越来越大；当点A从运动到时，三角形ABC的周长越来越小。当点A在线段BC的垂直平分线上（即时），三角形ABC的周长最大。
故，
于是，有：
2024届常州高三期中数学压轴题的出题思路及不同解法对比
【试题呈现】
（常州市教育学会2023-2024学年高三上学期期中数学试题第22题）
已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（1）求函数的解析式，并直接写出函数的解析式；
（2）若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值．
【参考答案】(1) ，
．
（2）
其中第2问至少有2种解法。
下文先讲一下【出题思路】，再做【解法对比】。
【出题思路——改编手法】
【试题的源】
（2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理数试题第20题）
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在,请确定x0的个数；若不存在,说明理由；
(3)求实数a与正整数n,使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点．
【参考答案】(1) f(x)＝cos 2x, g(x)＝sin x; (2)存在;
或
【改编手法】
2024届常州高三期中数学压轴题是基于2013年福建高考理科数学第20题改编的。改编的手法是改编数据、平移的方向等，进而构造出类似的函数。
2013年福建高考理科数学第20题第3问：；
令...
2024届常州高三期中数学压轴题的函数：
令，即：...
不难发现：这两个考试中最后一问研究的函数是极其类似的。
【符合“年代感”的表述】
（2013年福建高考最后一问）求实数a与正整数n,使得F(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点．
（2024届常州高三期中最后一问）若F(x)在(0,nπ)内恰有2023个零点，求实数与正整数的值．
【分析异同】从上面改编手法中，可以看出这两题极其相似。如果F(x)在(0,nπ)内恰有的零点个数不变。这两题的答案就是一模一样！如此改编，难免有“抄袭之嫌”，怎么办呢？把“2013个零点”改为“2023个零点”，这样答案有所不同。
于是，命制了“2024届常州高三期中数学压轴题”。
【第2问解法对比】
【两种解法】
第2问有两种方法：
方法1：解方程，换元，得到（其中，），进而研究二次函数的零点分布。
方法2，用分离系数法得出（其中，），而后研究函数与的交点情况；
这两种方法均可将原问题转化为研究一个周期内函数的零点个数问题。（从简单开始考虑）
【解答呈现】
令，即：
记，则只需研究,也即在给定区间上的零点情况。下面的过程与2013年福建高考最后一问类似。
（解法1：通过代换，转化为二次函数在特定区间上的问题）
现研究函数在.
设则函数的图象是开口向下的抛物线，
又，，
当b＞1（即：）时，函数有一个零点(另一个零点＞1，舍去)，在上有两个零点，且；
当（即：）时，函数有一个零点(另一个零点＜-1，舍去)，在上有两个零点，且；
当(即：-1＜＜1）时，函数有一个零点，另一个零点，在和分别有两个零点.
由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意.
当b=1()时，函数有一个零点，另一个零点=1；
当()时，函数有一个零点=-1，另一个零点，
从而当a=1或a=-1时，函数在有3个零点.
由周期性，，
所以依题意得时，即：时，.
（由于正整数n,所以当时，即：时，能够取到2022个或2024个或2025个交点，而取不到2023个交点。）
综上，
（解法2：分离参数，借助函数图像，找零点）
依题意，，令，
当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程
现研究时，方程的解的情况。
则问题转化为：研究直线的交点情况。
的变化情况如下表：
由图可知：当时，直线与曲线在内无交点，在内有2个交点。（也即：当时，直线与曲线在内无交点，在内有2个交点。）
当时，直线与曲线在内有2个交点，在内无交点。（也即：当时，直线与曲线在内有2个交点，在内无交点。）
当时，直线与曲线在内有2个交点，在内有2个交点。（也即：当时，直线与曲线在内有2个交点，在内有2个交点。）
从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在（0，n）内恰有2023个交点；
当内有3个交点
由周期性，，
所以依题意得时，即：时，.
（由于正整数n,所以当时，即：时，能够取到2022个或2024个或2025个交点，而取不到2023个交点。）
综上，
【解法对比】
“通过代换，转化为二次函数在特定区间上的问题”还是“分离参数，借助函数图像，找零点”？
哪个方法最简便？哪个方法最自然？因人而异。
【感言】
平时，遇到三角函数与导数综合的压轴题，有不少学生都会畏惧，从简单的开始考虑，以形助数。
按照江苏省常州高级中学老师的话，这叫做——【简中求道】吧！
构造出来的高考题
新高考数学命题的思维包括：
①构造:构造某种结构。譬如:辅助函数、几何图形等。
②放缩:运用超越不等式(指数不等式、对数不等式、三角不等式等)、基本不等式等进行放缩，构造出相应的命题。
③高观点:微积分、高等几何观点。以“微积分、高等几何观点”为背景，构造出背景深刻的高考题。
一．构造某种结构，譬如:辅助函数、几何图形等。
（构造函数）已知，，且，，若，则（ ）
B． C． D．3
提示：构造函数
类似题：（2020复旦大学强基计划）设，，若则 _______．
（构造几何图形）已知，则的最小值为________
提示：令，，构造成“最短路径”问题
（构造函数）设都是实数，且，求参数的一切取值，使方程组有唯一解。
分析：利用是关于的偶函数，也是关于的偶函数。因此，方程组若有解，则必有解；
又该方程组有唯一解，于是，得：，推知：；
，则解为：
构造三角形
（余弦定理的逆命题）对于正实数，，，及，若有，则对应的线段可以构成一个三角形，且边的对角大小为．
证明：因为，所以.
又由等式，得：，
即：，，
故，以三正数为边长可构造出一个三角形.
由余弦定理，，代入已知等式，得：
因为，且在上单调递减，
所以，，即：边的对角大小为
2.学以致用
设正实数a，b，c满足a＋b＝，b＋c＝，c＋a＝．求a＋b＋c．
分析：将代数式“a＋b＝”两边平方，得：，即：，亦即：；同理得：；
于是，可构造三角形通过余弦定理、三角形面积公式求解。
解答：由条件得：；
；
；
由余弦定理，可构造如下几何模型：
平面上共端点P的线段、、两两夹角为，且，，，
于是，，，.
从而，三角形为直角三角形，其面积为6，
则，即：
所以，
；因此，
二．运用超越不等式(指数不等式、对数不等式、三角不等式等)、基本不等式等进行放缩，构造出相应的命题。
（指数均值不等式）：（）
其对数形式：（），
又等价于：（）
引申：当时，，
则，
即：，不难发现调和级数是发散的。
（构造对数平均值不等式）设函数，证明：当时，
分析： ，从而
引申：当时，
拓展：当然，本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。
，其中
（以“基本不等式”、“收敛数列——单调有界数列”为命题背景）已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，且是等比数列，求和的值．
命制思路简析：
①正项数列为大于1的有界数列，且为等比数列，求证：为常数列.
②，求证：
三．以“微积分、高等几何观点”为背景，构造出背景深刻的高考题。
十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式…＋＋…，（其中，，n！＝1×2×3×…×n0！＝1），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
sin30° B． sin33° C． sin36° D． sin39°
提示：
（以“泰勒公式”等微积分知识为命题背景）若时，恒成立，求的最大值.
命题背景：的泰勒展开式为
当时，
则，，即：，
（以“极点极线”等高等几何知识为命题背景）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,．
设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
命制思路简析：
前两问比较简单，这里从略。对于第（3）问，由高等几何知识知：点T（）关于椭圆的极线方程为：，此直线恒过轴上一定点，从而直线MN必过定点。（令椭圆方程为：，，则直线MN必过定点）
2023三角函数与解三角形模考题精选精练
1.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）6．记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）（2022-2023·苏锡常镇·一模）11．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B．若，则当时，的取值范围为
C．若在区间上恰有3个极大值点，则
D．若在区间上单调递减，则
3.（2022-2023·南通·一模）20．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
4.（2022-2023·苏锡常镇·一模）18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的面积.
5.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）17．△ABC中，D是线段BC上的点，，的面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若，，求DC和AB的长．
6.（2022-2023·南京师大附中·一模）17．已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
第三章 数列
高考原创小题的命制与解析——音程计算、药物留存模型
在《中学课程辅导(教师通讯)》2017年第3期封面文章《如何评价升学考试数学试卷的命制》一文中提到：高水平的试题拼凑在一起，未必是高水平的试卷。试卷设计需体现升学考试性质的要求。升学考试不是数学竞赛，升学考试要求考生“人人有得，各展其能”。每一位考生都有分可得且能得到他应得的分数。[1]
基于此，笔者命制了2道基础小题。
【试题1呈现】（2023高考数学考前原创热身卷）【填空题】在乐器制作中需要精准地计算、测试、调整乐器的音准。这就涉及对音程的精确度量。精确度量音程的单位是音分（cents），它是英国数学家亚历山大 艾利斯提出的。音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位。一个八度音程为1 200音分，它们的频率值构成一个等比数列。八度音程冠音与根音的频率比为2,因此1 200个音构成一个公比为的等比数列。若已知音M的频率为m，音分值为k,音N的频率为n，音分值为，且，则音程
【试题2呈现】（2023高考数学考前原创热身卷）【多选题】某学生在排球比赛中扭伤了膝盖，医生要求他每8小时服用剂量为440 mg的药片，连续服用10天。如果该学生的肾脏在8小时后能够过滤掉体内含药量的60%.我们通过构建函数模型来预测未来几天后体内药物的存留量。用表示第1次服药后体内的药量（为初始值440 ，单位mg），表示第2次服药后体内的药量，表示第n次服药后体内的药量。则下列说法正确的有（ ）
A.这是一个在正整数上取值的指数函数类的模型
B.体内含药量从第三天（经历48小时）起始终保持在730mg以上
C.
D.体内含药量在前两天增速缓慢，在第三天后增速变大
出题背景
【试题1出题背景】数学与音乐——音分的意义与计算音程的音分
【试题2出题背景】数学与人体健康——体内药物的存留量
参考解答
【试题1参考解答】
由题意知：，又，则，则
【试题2参考解答】ABC
由题意知：，
...
通过计算，可得：
由通项公式可见，这是一个在正整数上取值的指数函数类的模型，且为递增数列。
，，当n越来越大时，数列中对应的项越来越接近固定值，故。体内含药量在经历前两天迅速增长后，从第三天（经历48小时）起始终保持在730mg以上。故选ABC。
无锡市2024届高三期中数列压轴题的命制与推广
【试题呈现】
（无锡市2023-2024学年高三上学期期中数学解答题第21题）
各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
【答案】（1）
【命制研究】
思考1：递推式是如何构造的？如何命制这样的试题？
构造一个首项为，公比为的等比数列，且其前n项和；
则；；
；；
则，即：
于是有了如下一般性命题：数列的前项和记为，已知，且且，对一切都成立．则
无锡市2023-2024学年高三上学期期中数学解答题第21题是上述一般性命题的特例，取，并将“公比为且”这一限制条件强化为“各项均为正数的数列”，生成如下问题：
各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
（1）求数列的通项公式；
解法有很多，解法1是某位老师给出的一种解法：由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；
解法1：由，
得，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
解法2：由各项均为正数的数列的前项和记为，且，可得；所以，；依据此思路可以继续做下去，得到正确答案。
思考2：如何构造出一个考察“错位相减法求数列前n项和”的问题？
错位相减法适用于通项是“等差 等比”的类型。在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．则数列就是“等差 等比”的类型。其中，
数列的前项和
只需求
无论是求还是，都是很常见的问题，也是大部分学生平时都已经解决的典型问题。
第（2）问解答：由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以，
设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
于是有了以下的推广命题：
【推广命题】
数列的前项和记为，已知，且且，对一切都成立．
则（1）数列的通项公式为：；
（2）在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．则数列的前项和为
第（2）问分析：
由错位相减法，得：
有趣的迭代——2023上海高考数学函数切线压轴题的源与流
【试题的源——牛顿迭代】
方程的根可解释为：曲线与轴的交点的横坐标。设是根的某个近似值，曲线在点处的切线（如图1）与轴的交点是，将作为新的近似值。
注意到切线方程为：
求得的值，
给定在区间上单调递增的下凸函数，且，
设，曲线在点处的切线与轴的交点是，由图1可知：；
2023上海高考数学第21题，另辟蹊径，将令为上凸函数，并换了一种迭代方式。2023上海高考数学第21题第（3）问实则是方程解的个数问题（本质同下文中“试题的流”变式问题2）。
【试题呈现】
（2023上海高考数学第21题）已知函数，过函数上的点作切线交轴于，，过函数上的点作切线交轴于，以此类推，直至时停止操作，得到数列，，
（1）若正整数，证明
（2）若正整数，试比较与大小
（3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值，若不存在，试说明理由。
【思路简析】
易得在处的切线方程为：
令得：，即：
引理：当时，（当且仅当时，取等号），证明略。由引理可知，（当且仅当时，取等号）
（3）思路：“从简单开始试”，难的问题就变得容易了。
由（1）知：，，
若成等差数列，则，即：，亦即：
令，则
故在单调递增。
又，
故存在唯一解，此时成等差数列。
同时，，停止操作，运算结束。
故，
另一方面，若，由（1）知：；；;......;
若存在使得依次成等差数列，则
公差，
故，因此为等比数列。又因为为等差数列，
所以为常数列。与（2）中结论“”矛盾！
综上所述，
【试题的流】
（变式问题1）方程（，其中为常数）最多有几个解？
令，则原方程可化为：
令，得：，
当时，；当时，；故为的极小值。而，；
故方程最多2个解。
（图为：图像）
（变式问题2）若方程（其中为常数）有个解，求的所有取值。
解题思路：由变式问题1可知，令，只需，则方程最多2个解。的取值为3.
下面附几个有趣的迭代问题，供大家思考：
有趣的迭代1：【一道无穷分数、牛顿迭代问题】
难度级别：高考难度
（2023年4月8日刘蒋巍老师命制的高考数学考前原创题）由黄金分割的定义可以导出分式方程
变形得：
将等号右边的用代替，得：
以此类推，有：
这是个无穷分数。
已知，且，，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法比较大小
说明：该题由刘蒋巍命制。命制时间：2023.4.8
出题背景：无穷分数+牛顿切线法
类比“无穷分数”迭代过程，可得
在利用切线法逐步逼近的过程中，近似值越来越接近正确值，体现一种单调趋势，同时这些值总是大于正确值；即数列是递减数列，并且总是大于。
解题方法：；利用部分分式法得
=
有趣的迭代2：【2道牛顿迭代背景问题】
难度级别：问题1属于“非数考研难度”，问题2属于“数学类难度”
（问题1）已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，从点作轴的垂线交曲线于点，再过点作切线的平行线与轴的交点是，证明：
证明 由题意得点处的切线方程为
令，得
因为，所以单调递增。
又因为，所以.
又因为，所以
又因为，而在区间上应用拉格朗日中值定理有：
，
所以，
.
因为，所以单调递增，所以。则，即，所以
由题意得点处的切线方程为：
令，得
又因为，而在区间上应用拉格朗日中值定理有：
，
所以，
同理得：。则，即，所以
（问题2）已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，从作轴的垂线交曲线于点，再过点作切线的平行线与轴的交点是，依次重复上述过程得到点，证明：（）.
提示：可由数学归纳法证得，证明过程从略。
拓展阅读：
[1]刘蒋巍.一道考研数学题的命题研究[J].高等数学研究,2018,21(05):41-42.
2023数列模考题精选精练
1.（2022-2023·苏锡常镇·一模）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）（2022-2023·南通海安高级中学·一模）10．已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立有（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）10．已知数列{an}的前n项和为， ，若，则k可能为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
4.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）15．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________．
5.（2022-2023·南京、盐城市·一模）17．在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.
(1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
(2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项.
6.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）18．已知数列满足，且
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和（用具体数值作答）.
7.（2022-2023·南通·一模）18．在数列中，.
(1)求的通项公式.
(2)设的前n项和为，证明：.
8.（2022-2023·苏锡常镇·一模）17．已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
9.（2022-2023·扬州中学·一模）17．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设，求.
10.（2022-2023·南师大附中江宁分校、南京中华中学·一模）18．设为数列的前项和，，对任意的自然数，恒有.
(1)求数列的通项公式；
(2)若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值．
11.（2022-2023·南京师大附中·一模）18．已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列.
（1）求，的通项公式；
（2）求的前n项和.
12.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）18．已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
立体几何
理解数学建模，好得分
所谓模型是一种结构，这种结构是通过对原型的形式化或模拟与抽象得到的。所谓数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。
数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法。
譬如：锥体体积的模型：，其中P为参数。
一道椎体、柱体最值问题的命制
教材习题 求函数的最大值。
试题修改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为”.
（1）按处理方向处理，形成1稿.
1稿 已知一正四棱锥的高为,侧棱长为，记，求其体积的最大值及此时的长。
提示：，
2稿 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥，其侧棱长为，其底面正方形的中心为,下部分形状为正四棱柱，其底面正方形的中心为,要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.
2稿分析：记，则；注意到，当且仅当，即时，等号成立；
，. 2016年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为的情况，,）
按处理方向处理，形成问题变式.
变式 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为,底面圆圆心为的圆锥，其母线长为，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为，要求圆柱的高是圆锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.
注：该例[2]为笔者文章“例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。
类似的，有全国1卷第8题、全国乙卷第9题。
（2022·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
（2022·全国乙（理）T9） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2023立体几何模考题精选精练
1.（2022-2023·南通·一模）在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022-2023·苏锡常镇·一模）已知正四面体的棱长为1，点O为底面的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）（2022-2023·南通海安高级中学·一模）如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（ ）
CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为
C． D．该六面体外接球的表面积为3π
4.（多选题）（2022-2023·苏锡常镇·一模）12．正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A．与垂直
B．与一定是异面直线
C．存在点E，F，使得三棱锥的体积为
D．当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
5.（多选题）（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）11．如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC 2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（ ）
A．
B．平面BDC
C．多面体的外接球的表面积为
D．点A，P旋转运动的轨迹长相等
6.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）如图，四棱锥，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）设二面角为60°，，，求直线与平面所成角的正弦值.
7.（2022-2023·南通·一模）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
8.（2022-2023·宿迁沭阳高中·模拟）如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？
9.（2022-2023·苏锡常镇·一模）19．在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点P在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
10.（2022-2023·南通海安高级中学·一模）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：平面AEC；
(2)设二面角为60°，，，求三棱锥的体积．
11.（2022-2023·南京师大附中·一模）20．如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接
(1)证明：；
(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．
12.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）19．如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
第五章 解析几何
理解数学运算，少失分
在初等数学中，运算对象主要有数、式、向量、几何图形等。相应的运算主要有：
初等代数运算——加法、减法、乘法、除法、乘方、开方.
初等超越运算——指数运算、对数运算、三角和反三角运算等.
几何运算——平移、旋转、反射、位似、相似等.
平面直角坐标系下，平移变换
把平面上任一点P（x，y），变为P＇（x＋α，y＋β）.
（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积．
分析 易得：双曲线，即:
不妨通过平移变换简化运算。以为新的原点，作坐标平移变换
则在UV平面中，A为原点，而双曲线方程为：
展开得：
设直线l方程为：，则齐次方程
为过原点A的直线AP、AQ
因为直线的斜率之和为0，
所以l的斜率
第2问，可以由夹角公式求解，这里从略。
从高二月考到2024届高三期初——齐次化表达，二次曲线不同
（2022年9月江苏省华罗庚中学高二数学试卷）
已知圆的圆心与点关于直线 对称，且圆与轴相切于原点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的两条直线与圆分别交于两点，直线的斜率之积为 ，为垂足，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；P（2，0）
【齐次化表达】
第（2）问，齐次化方法解答：
由（1）得：圆的方程为
因为过原点的两条直线与圆分别交于两点，则直线AB不经过原点O
设直线AB方程为：
由得：，
两边同时除以，得：
又直线的斜率之积为 ，所以
则，解得：
则直线AB方程为：，它过定点
又为垂足，则D点在以为圆心，为半径的圆上
此时，为定值2
故存在点P（2，0），使得|DP|为定值2．
【变式问题】
（江苏省泰州中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题）
已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.
（1）记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.
【答案】（1）
（2）
【平移齐次化表达，二次曲线不同】
第（2）问，平移齐次化方法解答：
由（1）得：，即：
以为新原点，建立新的直角坐标系，
，则可以写成:，即：
化简得：
设直线方程为：
由得：
两边同时除以，得：
由，得：（坐标平移前后，直线的倾斜程度不变，即斜率不变）
则：
解得：
则直线方程为：，它过定点
故，直线方程过定点，
即：直线PQ过定点，且该定点坐标为
【举一反三】
过点M（1，0）的直线与：交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB 若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
平移齐次化方法解答：
设点N的坐标为：
以为新原点，建立新的直角坐标系，
则可以写成:
化简得：（*）
设直线方程为：，代入（*）式，得：
两边同时除以，得：
因为x轴平分∠ANB，所以，
根据“坐标平移前后，直线的倾斜程度不变，即斜率不变”，得：
则：，
若，则直线方程为：，由椭圆的对称性，得：此时，x轴平分∠ANB
若，则（**）
又直线AB过点M（1，0），即：直线过点，
则,代入（**），得：，
即：
化简得：，解得：
当N（，0）时，能使x轴平分∠ANB
短文精粹：曲线方程中的“且”与“或”
在高一逻辑用语章节，我们学过逻辑关系“且”与“或”。举个例子，“刘老师是男人，且是女人”，错误；“刘老师是男人或女人”，正确！在曲线方程中，也有这样的例子。我们一起来看！
引例：直线方程组，这两条直线没有交点（或者说交点在无穷远处）。将等式两边分别相乘，得：，方程无解。
由此可见，像上面那样，将“等式两边分别相乘”的操作，是“且”的关系。
若我们将等式两边移项，让等式一边等于0，然后将两式分别相乘。即：
，方程的解为：或，这是一个“或”的关系。
交轨法，体现一种“且”的关系。如，，，，
两边分别相乘，得：，即：（）
曲线系中，将两直线方程相乘，得，体现一种或的关系。如，，，，
两边分别相乘，得：，
即：
亦即：
这表示两条直线。
另一方面，方程表示经过M、A、B三点的二次曲线。
当时，
即：，该曲线表示经过M、A、B三点的圆。
曲线系与等轴双曲线
【命题】
A、B、C是等轴双曲线上不同的三点，则的垂心H在双曲线上。
下面是特殊情形
【应用举例】
（2022-2023·南京、盐城市·一模）21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；
（2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
所以双曲线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去得，
即，
因为与双曲线C仅有一个公共点，
所以，
解得,
故双曲线的方程为.
（2）设，，则满足
消去得，
所以，，
如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为.
代入得，即（舍去）或.
所以点H为.
所以
，
所以，
故为的垂心，得证.
以“贝塞尔曲线”为背景的高考原创题
【试题呈现】贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线。法国数学家卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的尝试，提出了de Casteljau算法。下面我们用de Casteljau算法的递推思想来绘制一条二次贝塞尔曲线:
第1步，如图，在平面内任选3个不共线的点，记为A, B, C,其中A, C分别为起始点和终止点，B为控制点，连接 AB,BC；
第2步，在线段AB上任选一点D,计算线段AD与AB长度的比值，记为;
第3步，在线段BC上找到对应的点E,使得BE与BC的比值也等于;
第4步，连接DE,在线段DE上找到对应的点F,使得DF与DE的比值也等于;
第5步，令点D在线段AB上从起点A移动到终点B，对应的点F的轨迹即由点A , B, C定义的二次贝塞尔曲线。
若,,,请用含的式子表示点的坐标，并证明F点轨迹的一般方程为。
“逆向思考”是一种数学思维方式。由问题（1）可知：二次贝塞尔曲线是抛物线。即：在平面内任选3个不共线的点,,，D在线段AB上，E在线段BC上，F在线段DE上，且满足，则点的轨迹为抛物线。对此进行逆向思考，得到如下命题：
过抛物线上不同的三点,,的三条切线分别两两交于D，B，E，则有相应成比例的结论。请证明该结论。
原创题 该题由刘蒋巍命制
【出题背景】贝塞尔曲线与抛物线的三切线定理
二次贝塞尔曲线的递推画法，见【试题呈现】部分。
由此可见，二次贝塞尔曲线是抛物线。反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论。这个结论就是“抛物线三切线定理”。
根据二次贝塞尔曲线的递推画法，笔者思考并画出了如下三次贝塞尔曲线。
笔者根据“二次贝塞尔曲线是抛物线”与“抛物线三切线定理”，命制了【试题呈现】部分的解析几何题。但笔者始终感觉不太满意，尤其第二问，似乎落入俗套——抛物线三切线定理。于是,笔者想命制三次函数(三次贝塞尔曲线中的一种，如下图)，但试着求解轨迹方程之后，又变成纯计算了。感慨：命题实在不容易！于是只能“作罢”！突然想到一位大师曾经说的话——命题，是一门遗憾的艺术。
于是，笔者将《贝塞尔曲线几何画板图像追踪F点(二次贝塞尔曲线)、S点（三次贝塞尔曲线）——2023.04.10刘蒋巍命题素材》（几何画板文件）共享在江苏各大高中数学群里以及命题人交流群里，方便大家研究。也希望能够抛砖引玉，激发大家思考，从而命制出更优质的试题。
【解题思路】
第1问解法较多。笔者设计“用含的式子表示点的坐标”，既是体现人文关怀，也是对“证明F点轨迹的一般方程为”，一种证法的暗示。
第2问，培养学生“逆向思考”的能力。同时又是“抛物线三切线定理”。这个定理的证明很常见。这里不再赘述。
请读者自做。
省常中2024届高二周练4椭圆压轴题的推广及“副产品”
【试题呈现】
（江苏省常州高级中学2023~2024学年高二上学期数学周练4）直线与椭圆C:交于A、B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点，且椭圆C离心率为，长轴长为4.
求椭圆C的标准方程；
若OA，OB的斜率分别为，，，求证：为定值；
已知点，当的面积S最大时，求的最大值.
【命题推广及“副产品”】
（推广）直线与椭圆C:交于A、B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.
一般性结论（1）：若OA，OB的斜率分别为、，，求证：为定值；
一般性结论（2）：的面积S最大值为，此时，若点，则的最大值为.
“副产品”：一般性结论（3）：若OA，OB的斜率分别为、，的面积S最大值为，此时，为定值.
【推广及“副产品”的证明】
（证明）
令，则椭圆C:变换为：
一般性结论（1）的证明
若OA，OB的斜率分别为、，，则，即：
则直线关于直线对称。
由于圆也是轴对称图形，也关于直线对称；两条坐标轴也关于对称。
由上述图形的对称性以及平面几何知识可知：
即：，，即：为定值.即为一般性结论1.
图为：结论1证明示意图
一般性结论（2）~（3）的证明
图为：结论2~3证明示意图
又
所以
则的面积S最大值为
此时，若点，则
又
所以，.即为一般性结论2.
此时，，，即：，，
即：为定值.即为一般性结论3.
【作者寄语兼本文总结】
在这个AI时代，我们的学生一定要学会思考、学会提问。做完一道试题之后，一定要问一问自己:存在一般性的问题么？怎么解决？一般性的结论是什么？惟其如此，才能真正成为AI新时代下需要的人才，在AI时代立于不败之地！
——刘蒋巍
2024届如皋高三8月诊断测试解析几何压轴题的源与流
【试题呈现】
在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
（1）求证：点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明：．
【试题的源】
【第1问出题背景——极点极线】当点E在抛物线上方时，点E关于抛物线的极线与抛物线相离，该极线为经过点E的弦在两端点处切线交点P的轨迹；且该极线与以E为中心的弦所在直线平行。
在本题中，易得：抛物线的方程为x2=y
点E（0，2）关于抛物线的极线方程为：,即：
因此，点P的纵坐标为定值。
【第2问出题背景——抛物线的等角性质】已知F为抛物线的焦点，过抛物线外部一点P (把含抛物线焦点的区域称为该抛物线的内部)作抛物线的两条切线 PA、PB,切点为A、B.则：
① 过P作直线PK平行于抛物线的对称轴且交AB于点K, 则∠APF=∠MPK;
②∠PFA=∠PFB.
简证思路：由抛物线的光学性质可知 AF' 、BF" 均平行于抛物线的对称轴，
则直线F'F" 为抛物线的准线。
由对称性可知PF'=PF=PF",......（接下来，可用平面几何知识证明，请读者自己完成证明）
根据该试题的“源”，我们可取种种具体的抛物线，甚至圆锥曲线，源源不断地产生相应的试题。
【试题参考解答】
（1）由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，
代入抛物线方程可得2p=1，所以抛物线的方程为x2=y，
设A，B，
所以，
所以直线AB的方程为，即，
因为直线AB过点C(0，2)，
所以，所以①.
因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
直线PA的方程为，
即，
同理直线PB的方程为，
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2），，
注意到两角都在内，
可知要证， 即证，
，，
所以，
又，所以，
同理式得证.
【试题的流】
【试题的延申1】当点E在圆锥曲线(椭圆，双曲线，抛物线)内部时，点E关于圆锥曲线的极线与该圆锥曲线相离，该极线为经过点E的弦在两端点处切线交点P的轨迹；且该极线与以E为中心

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