资源简介

专题5.1 任意角的概念以及弧度制
（一）任意角的三角函数
要点 定义 说明
任意角的概念 角是由平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形； 分类：①正角：射线按逆时针方向旋转而成的角； ②负角：射线按顺时针方向旋转而成的角； ③零角：当射线没有旋转时，也看成一个角，叫零角； /
终边相同的角 与角α终边相同的角构成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示为α+2kπ，k∈Z
弧度制 弧长等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 弧度用rad表示
弧度与角度的换算：π弧度= 180°；
弧长公式：l = |α|·r ； 角α为弧度制
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定义一一判定即可.
【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；
选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；
选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.
故选：A
例2．是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】利用终边相同的角计算即可.
【详解】因为是第三象限角，所以是第三象限角．
故选：C
例3．在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
例4．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据角终边上的点所在象限判断即可.
【详解】因为点在第四象限，
所以角为第四象限角.
故选：D.
例5．在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】直接利用弧长公式计算得到答案.
【详解】该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为.
故选：A
例6．半径为1，圆心角为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式即可得解.
【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为，
所以扇形的面积为.
故选：D.
例7．时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据任意角的概念求得正确答案.
【详解】，则，
因为时针都是顺时针旋转，
所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是.
故选：A
例8.将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解
【详解】
例9.已知角.
(1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间上找出与终边相同的角．
【答案】(1)，第三象限的角．
(2)，，
【分析】（1）利用角度制和弧度制之间的互化可得；
（2）根据终边相同的角的表达式，结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1），
又，所以
所以与的终边相同，又，
因此是第三象限的角．
（2）与终边相同的角可以写成，又，
所以当时，；
当时，；
当时，；
所以在区间上与终边相同的角为，，
例10.一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为.
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数；
（2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为，故该扇形圆心角的弧度数为.
（2）解：由题意可知，该扇形的面积为.
例11.已知弓形的弦长为，对应的圆心角为，求此弓形的面积.
【答案】
【解析】根据余弦定理，求出扇形半径，进而求出扇形面积和面积，即可求解.
【详解】设扇形的半径为，在中，由余弦定理得，
，
，
，
弓形的面积为.
例12.直径是的轮子每秒旋转45弧度，轮周上一点经过3秒钟所旋转的弧长是多少？
【答案】
【分析】由弧长公式可求得每秒旋转的弧长，即可求出.
【详解】每秒旋转的弧长为，所以经过3秒钟所旋转的弧长为.
故答案为：.
1．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
2．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断
【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，
对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，
对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，
对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，
所以真命题的个数是1，
故选：A
3．已知为第三象限角，则为第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
【答案】A
【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解.
【详解】因为为第三象限角，
所以
所以
当为偶数时，记,
所以
所以为第二象限角，
当为奇数时，记,
所以
所以为第四象限角，
所以为第二或第四象限角，
故选:A.
4．手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
【答案】B
【分析】根据任意角的知识确定正确答案.
【详解】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，
因此时针转过的角度为负数.
所以手表走过2小时，时针转过的角度为.
故选：B
5.（1）600°角的弧度数是 .
（2）角的弧度数是 .
（3）角的角度数是 .
（4）角的角度数是 .
【答案】
【分析】根据弧度与角度换算求解即可；
【详解】根据弧度与角度的换算式以及，可以得到：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：；；；
6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
【答案】4
【分析】根据题意结合扇形的面积公式先求出半径，再利用弧长公式可求得结果.
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为，解得，
则扇形的圆心角的弧度数为．
故答案为：4
7．已知
(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角
(2)求与终边相同的角，满足．
【答案】(1)，它是第三象限的角：
(2)，
【分析】（1）利用，将角度制化为弧度制，并得到所在象限；
（2）由求出当，满足要求.
【详解】（1）因为，故，
∵，，
∴将写成（，）的形式为，
它是第三象限的角．
（2）∵与的终边相同，
∴令，，
当，满足题意，故，．
8．已知弧长为cm，扇形的面积是，求：
(1)扇形的半径r.
(2)扇形圆心角的弧度数.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据扇形面积与弧长的关系可求出半径；
（2）利用弧长公式求解
【详解】（1）因为弧长为cm，扇形的面积是，
所以，解得，
（2）由题意得扇形圆心角
9．已知扇形的圆心角为,.
（1）求扇形的弧长;
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】根据图象,作于,则.再由扇形的圆心角为,
得出,则,有弧长公式可得.
（2）由（1）可得,扇形的半径为,弧长为,利用扇形面积公式求出扇形面积,再求出的面积,相减即得阴影部分的面积.
【详解】解:（1）如图,作于,则.
因为扇形的圆心角为,
所以,则,
故扇形的弧长.
（2）由（1）可得,扇形的半径为,
弧长为,则扇形的面积为
的面积为,
故图中阴影部分的面积为.
10．如图所示，有一段圆弧形公路，弯道半径为，圆弧的圆心角为60°.
（1）求的长；（精确到）
（2）求图中扇形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据扇形的弧长公式，可得到答案；.
（2）根据扇形的面积公式，可得到答案.
【详解】（1）根据扇形的弧长公式，可得.
（2）根据扇形的面积公式，可得.专题5.1 任意角的概念以及弧度制
（一）任意角的三角函数
要点 定义 说明
任意角的概念 角是由平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形； 分类：①正角：射线按逆时针方向旋转而成的角； ②负角：射线按顺时针方向旋转而成的角； ③零角：当射线没有旋转时，也看成一个角，叫零角； /
终边相同的角 与角α终边相同的角构成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示为α+2kπ，k∈Z
弧度制 弧长等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 弧度用rad表示
弧度与角度的换算：π弧度= 180°；
弧长公式：l = |α|·r ； 角α为弧度制
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
例2．是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例3．在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
例4．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例5．在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
例6．半径为1，圆心角为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
例7．时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
例8.将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
例9.已知角.
(1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间上找出与终边相同的角．
例10.一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为.
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积.
例11.已知弓形的弦长为，对应的圆心角为，求此弓形的面积.
例12.直径是的轮子每秒旋转45弧度，轮周上一点经过3秒钟所旋转的弧长是多少？
1．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知为第三象限角，则为第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
4．手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
5.（1）600°角的弧度数是 .
（2）角的弧度数是 .
（3）角的角度数是 .
（4）角的角度数是 .
6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
7．已知
(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角
(2)求与终边相同的角，满足．
8．已知弧长为cm，扇形的面积是，求：
(1)扇形的半径r.
(2)扇形圆心角的弧度数.
9．已知扇形的圆心角为,.
（1）求扇形的弧长;
（2）求图中阴影部分的面积.
10．如图所示，有一段圆弧形公路，弯道半径为，圆弧的圆心角为60°.
（1）求的长；（精确到）
（2）求图中扇形的面积.

展开更多......

收起↑