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专题5.3 三角函数的图象与性质
①正弦函数的图像与性质
函数 y=sinx
图像
五个关键点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)
性质 定义域 R
值域 [-1,1] 当x=+2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 奇函数
单调性 在[- +2kπ, +2kπ]上为增函数；在[ +2kπ, +2kπ]上为减函数.
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图像与性质
图像 “五点法”画正弦型函数图像的步骤：①列表；②建系、描点；③平滑曲线成图； ④标识函数解析式.
性质 定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
②余弦函数的图像与性质
函数 y=sinx
图像
五个关键点：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
性质 定义域 R
值域 [-1,1] 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-π+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 偶函数
单调性 在[-π+2kπ,2kπ]上为增函数；在[2kπ,π+2kπ]上为减函数.
例1．直线与函数的图象的交点个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
【答案】A
【分析】利用余弦函数的有界性可得结论.
【详解】因为，故直线与函数的图象没有公共点，
故选：A.
例2．函数，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的图像，即可得出时的最小值．
【详解】由的图像可知，时，，
所以，
故选：D．
例3．函数的图象与直线的交点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】画出以及的图象，由此确定正确答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数和直线的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个.
故选：D
例4．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案.
【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，
故选：B.
例5．函数最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件直接利用正余弦型函数周期公式计算即得.
【详解】因函数，则，，
所以函数最小正周期为
故选：D
例6．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.
【详解】因为 ,
所以将余弦曲线向右移个单位可得．
故选：A．
例7．函数在区间的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，先取特殊值，再通过求函数的单调区间判断
【详解】解：因为，所以排除AC，
由得，
所以可知函数在上递减，上递增，所以排除B，
故选：D
例8．函数，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】根据正弦函数图象可知在区间上，函数先增后减，
当时，，当时，.
故选：C．
【点睛】本题考查正弦函数在指定区间上的范围问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题.
例9．在上，满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
【详解】根据的图象可知：当时，或，
数形结合可知：
当，得．
故选：.
例10．函数的最大值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的值域求解.
【详解】当等于时，有最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的最值，属于简单题.
例11．已知，则 ．
【答案】/
【分析】根据分段函数直接求值.
【详解】因为，所以，
故答案为: .
例12．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合.
【答案】(1)
(2)最大值为，取得最大值时的集合是，最小值为，取得最小值时的集合是.
【分析】（1）利用周期公式直接求解即可；
（2）利用余弦型函数的最值的性质即可直接求解.
【详解】（1）
，
的最小正周期.
（2）当，即时，
有最大值，且；
当，即时，
有最小值，且.
综上，最大值为，取得最大值时的集合是，
最小值为，取得最小值时的集合是.
例13．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【分析】先看定义域是否关于原点对称，再利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】（1）定义域为R，
又，且，
故既不是奇函数，又不是偶函数；
（2）的定义域为R，
又，故为奇函数；
（3）定义域为R，
且，故为偶函数；
（4）定义域为R，
且，故为偶函数.
例14．求下列函数的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦型函数、余弦型函数的周期公式即可求解.
【详解】（1）函数的周期为.
（2）函数的周期为.
（3）函数的周期为.
（4）函数的周期为.
例15．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题可知，，又，所以，
所以，
所以.
（2）令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
1．在上，满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.
故选C.
2．函数，的大致图像是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用五点作图法，判断出正确的图像.
【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选B.
3．函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性可得.
【详解】由正弦函数性质可知，，
所以，所以，
所以，函数的最大值是，最小值是.
故选：C
4．下列函数中是偶函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数，
对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数，
对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，
对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数，
故选：B
5．函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.
【详解】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；
故选：C
6．函数，，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】由的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减，
又，，，
故.
故选：B
7．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过函数得出，即可求出函数的最小正周期.
【详解】由题意，
在中，，
∴，
故选：D.
8．已知函数的最小正周期为
(1)求的值；
(2)求该函数的递调增区间
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用周期公式列方程求解即可；
（2）由可求出函数的单调增区间.
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以，得，
（2）由（1）得，
由，
得
所以函数的单调增区间为
9．已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.
【答案】.
【分析】根据正弦函数的性质求解.
【详解】由题意得，解得.
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)．
【答案】(1)偶函数(2)奇函数
【分析】（1）结合函数的奇偶性确定正确答案.
（2）结合函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】（1）的定义域为，，
所以为偶函数.
（2）的定义域为，，
所以是奇函数.
11．用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.
【详解】（1）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（2）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（3）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
专题5.3 三角函数的图象与性质
①正弦函数的图像与性质
函数 y=sinx
图像
五个关键点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)
性质 定义域 R
值域 [-1,1] 当x=+2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 奇函数
单调性 在[- +2kπ, +2kπ]上为增函数；在[ +2kπ, +2kπ]上为减函数.
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图像与性质
图像 “五点法”画正弦型函数图像的步骤：①列表；②建系、描点；③平滑曲线成图； ④标识函数解析式.
性质 定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
②余弦函数的图像与性质
函数 y=sinx
图像
五个关键点：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
性质 定义域 R
值域 [-1,1] 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=-π+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 偶函数
单调性 在[-π+2kπ,2kπ]上为增函数；在[2kπ,π+2kπ]上为减函数.
例1．直线与函数的图象的交点个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
例2．函数，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3．函数的图象与直线的交点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
例5．函数最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
例6．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
例7．函数在区间的简图是（ ）
A． B．
C． D．
例8．函数，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．在上，满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例10．函数的最大值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
例11．已知，则 ．
例12．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合.
例13．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例14．求下列函数的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例15．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
1．在上，满足的的取值范围是
A． B． C． D．
2．函数，的大致图像是
A． B．
C． D．
3．函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
4．下列函数中是偶函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
6．函数，，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的最小正周期为
(1)求的值；
(2)求该函数的递调增区间
9．已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)．
11．用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)，；
(2)，；
(3)，．

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