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不等式与不等式组
3.1 不等式与不等式组
初中要求 理解一元一次不等式（组）的概念，能解一元一次不等式（组），不等式含参、不等式相关的应用题.
高中要求 在学习解不等式时解决涉及到的不等式（组）问题.
一. 一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
二、一元一次不等式组的概念
1.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组
2.组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，这个不等式组无解.
三、 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种基本情况
不等式组 不等式组的解在数轴上表示 不等式组的解 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小无解了
注意：
对界点取得到时的情况(“≥”“≤”)仍成立.
【题型1】一元一次不等式的解集及数轴表示
例1、解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解．
【详解】解：
，
解集在数轴上表示为
故选：D．
例2、已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ．
【答案】2
【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于的等式进而得出答案．
【详解】解：，
解得，
由图可知：解集为：，
∴，
．
故答案为：．
【变式探究】1. 不等式的解集为 ．
【答案】
【提示】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．
【解析】解：解不等式：，移项得： 合并同类项得：
系数化为1得：，数轴上表示如图所示，故选：A．
【题型2】一元一次不等式组的解集及数轴表示
例1、不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选：A．
例2、解不等式组：，并把解表示在数轴上．

【答案】，见解析
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法可进行求解，然后再把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
由①式解得，，
由②式解得，，

不等式组的解集为：．
例3、计算下列不等式：
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
【变式探究】1. 一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．
【详解】解：不等式，
移项得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
2. 解不等式组：
【答案】
【提示】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
故所给不等式组的解集为：．
3. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，不等式组的正整数解为：1，2，3
【提示】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
【详解】解：解不等式得．
解不等式得，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【题型3】一元一次不等式组的应用
例1、某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨,
由题意可得：，解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：,解得：，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【变式探究】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
里程范围 8公里以内 （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以内 （含64公里） 64公里以上
收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元
(1)若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为______元．
(2)已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？
(3)已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围．
【答案】(1)2；
(2)金华站到金华南费用为4元，金华站到义亭站费用为10元；
(3)．
【详解】（1）解：由表格可得乘坐轻轨的车费为2元，
故答案为：2；
（2）解： 元，
根据不足1元按1元计算，可得金华站到金华南站的费用为4元；
，
根据不足1元按1元计算，可得金华站到金华南站的费用为10元
（3）解：由费用可得公里数为第三档，
根据不足1元按1元计算，算出的价格在大于11元，小于等于12元，
故可得不等式，
解得．
1．一元一次不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找确定不等
【详解】式组的解集即可．
解：解不等式，得，
故一元一次不等式组的解集为．
故选：C
2．关于的不等式组，恰好只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据有个整数解，求出的取值范围．
【详解】解：解得：，
解得：，
故不等式组的解集为：，
关于的不等式组恰好只有两个整数解，
两个整数为：，，
，
解得：．
故选：A．
3. 下列变形中正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【提示】求出一元一次不等式的解集，逐项提示判断即可求解．
【详解】解：A. 由，得，故该选项错误；
B. 由 ，得，故该选项错误；
C. 由 ，得，故该选项错误；
D. 由，得，故该选项正确．
故选：D．
4．不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x
解得：
在数轴上表示其解集如下：
故选B
5. 解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，在数轴上表示解集见解析
【提示】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
在数轴上表示解集如图：
6. 不等式组的解集为（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C． D．无解
【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：由4x+1＞2得：x，
由1﹣2x＜7得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为x，
故选：C．
7. 求不等式组：的最大整数解．
【答案】0．
【解答】解：解第一个不等式得：x＜；
解第二个不等式得：x≥﹣1
∴不等式组的正整数解是：﹣1≤x＜．
则最大整数解是0．
8. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可选择．
【详解】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
所以不等式组的解集为：．
在数轴上表示不等式组的解集为：
故选：D．
9. 八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入即可．
【详解】解：位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到2棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为．
故选：D．
10．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为1，2
【提示】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是，
∴整数解为1，2．
11. 解不等式组的解集为 　﹣3＜x＜　．
【思路点拨】根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
【解析】解：，
由①得：x＜，
由②得：x＞﹣3，
∴一元一次不等式的解集为：﹣3＜x＜，
故答案为：﹣3＜x＜．
12. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
【解析】解：解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，
解不等式﹣＜0，得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
；
13. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值是 　　．
【答案】5
【解答】解：，
解①得x＞1，
解②得，x＜a，
依题意得不等式组的解集为1＜x＜a，
又∵此不等式组有且只有三个整数解，整数解只能是x＝2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值为5，
故答案为：5．
14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2
【思路点拨】解含参的不等式组，然后结合题意，根据一元一次不等式组的解集的定义求得a的取值范围即可．
【解析】解：
由第一个不等式可得：x＞a，
由第二个不等式可得：x≤2，
∵原不等式组无解，
∴a≥2，
故选：C．
15. 小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．
【答案】100°
【提示】n边形的内角和是（n-2） 180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n-2） 180°与800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2） 180°≥800°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2） 180°≥800°，
解得：n≥，
则多边形的边数n=7；
多边形的内角和是（7-2） 180=900度；
则未计算的内角的大小为900°-800°=100°．
故答案为：100°．不等式与不等式组
3.1 不等式与不等式组
初中要求 理解一元一次不等式（组）的概念，能解一元一次不等式（组），不等式含参、不等式相关的应用题.
高中要求 在学习解不等式时解决涉及到的不等式（组）问题.
一. 一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
二、一元一次不等式组的概念
1.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组
2.组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，这个不等式组无解.
三、 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种基本情况
不等式组 不等式组的解在数轴上表示 不等式组的解 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小无解了
注意：
对界点取得到时的情况(“≥”“≤”)仍成立.
【题型1】一元一次不等式的解集及数轴表示
例1、解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
例2、已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ．
【变式探究】1. 不等式的解集为 ．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】一元一次不等式组的解集及数轴表示
例1、不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
例2、解不等式组：，并把解表示在数轴上．

例3、计算下列不等式：
(1) ．
(2)
【变式探究】1. 一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2. 解不等式组：
3. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【题型3】一元一次不等式组的应用
例1、某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【变式探究】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
里程范围 8公里以内 （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以内 （含64公里） 64公里以上
收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元
(1)若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为______元．
(2)已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？
(3)已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围．
1．一元一次不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．无解
2．关于的不等式组，恰好只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列变形中正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5. 解不等式，并在数轴上表示解集．
6. 不等式组的解集为（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C． D．无解
7. 求不等式组：的最大整数解．
8. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9. 八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
11. 解不等式组的解集为 　 　．
12. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
13. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值是 　　．
14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2
15. 小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．

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