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第四章 函数
4.1正反比例函数、一次函数
初中要求 理解正反比例函数、一次函数的概念，掌握这三种函数的图像和性质，会利用函数解决简单的应用问题.
高中要求 在正反比例函数、一次函数的基础上进一步学习高中函数概念，类比正反比例函数、一次函数的图像和性质学习高中函数的图像和性质.
一、一次函数的图象与性质
一次函数（≠0）的图象是一条直线，确定2个点就可以作出一次函数的图象；一次函数与轴的交点坐标是，称为直线的横截距；与轴的交点坐标
是，称为直线的纵截距；
（1）时，为正比例函数y=kx，它的图象是经过原点（0，0）的一条直线；
（2）时，可分成四种情况来讨论.
函数解析式 k的符号 b的符号 经过的象限 图象性质[ 示意图
y=kx+b k＞0 b＞0 第一、二、三象限 y随x增大而增大
k＞0 b＜0 第一、三、四象限 y随x增大而增大
k＜0 b＞0 第一、二、四象限 y随x增大而减小
k＜0 b＜0 第二、三、四象限 y随x增大而减小
二、反比例函数的图象及性质
函数(k≠0)是双曲线，当0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而减小；当0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点
三、 待定系数法求函数解析式
待定系数法求函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正反比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
【题型1】一次函数
例1、若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是 　k≠﹣3　．
【分析】根据一次函数的定义得到：k+3≠0，由此求得k的取值范围．
【解答】解：∵y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，
∴k+3≠0，则k≠﹣3，
故答案为：k≠﹣3．
例2、若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．
【分析】根据正比例函数的定义，可得出m的值．
【解答】解：∵y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，
∴m2﹣9＝0，m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
例3、已知函数的图象不经过第二象限，那么、一定满足（ ）
A．＞0，＜0 B．＜0，＜0
C．＜0，＞0 D．＞0，≤0
【答案】D；
【解析】不经过第二象限，包括经过原点和经过第一、三、四象限两种情况.
【变式探究】1、 下列各点中，不在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把各点代入函数的解析式进行验证即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：A、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意；
B、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意；
C、当时，，所以点不在函数的图象上，符合题意；
D、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意；
故选：C．
2、在平面直角坐标系中，一次函数图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】∵一次函数，，，
∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【题型2】反比例函数
例1、若反比例函数的图象在第一、三象限，求的取值范围.
解：由反比例函数的图象在第一、三象限可得
即的取值范围为
例2、下列各点在反比例函数的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查判断给出各点是否在反比例函数的图象上，只需将各选项坐标代入验证即可.
【详解】解：，不符合题意；
，符合题意；
，不符合题意；
，不符合题意；
故选：B
【变式探究】1、反比例函数，当时，随的增大而增大，那么的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
2、 反比例函数的图象经过，下列各点在图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．本题利用，再逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∵，故A不符合题意；
∵，故B不符合题意；
∵，故C不符合题意；
∵，故D符合题意；
故选D
【题型3】待定系数法
例1、如图，一次函数的图象经过点和点．

(1)求出这个一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
【详解】（1）∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）由（1）得，一次函数的解析式为：，
∴，
解得：．
例2、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）在的图象上，， 又在的图象上，，即 ，解得：，， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，
（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。
例3、已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．
【分析】利用待定系数法求y与x的函数解析式．
【解答】解：设y＝kx（k≠0），
∵x＝2时，y＝﹣6，
∴﹣6＝2k，解得k＝﹣3，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣3x．
【变式探究】1、一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值．
【解答】解：将（﹣2，0），（0，2）代入y＝kx+b得：，
∴．
2、已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像相交于点，
(1)求点的坐标；
(2)求一次函数解析式．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上，
∴，
∴点的坐标为；
（2）∵一次函数的图像经过点和，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为．
1．下列函数关系中，y是x的一次函数的是（　　）
A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x
【分析】根据一次函数的定义判断即可．
【解答】解：A选项，这是二次函数，故该选项不符合题意；
B选项，这不是整式，故该选项不符合题意；
C选项，没有强调k≠0，故该选项不符合题意；
D选项，这是一次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．下列函数中，属于正比例函数的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是正比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 若函数y＝kx+b（k≠0）是正比例函数，则b的值为 　0　．
【分析】直接根据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，进行解答即可．
【解答】解：根据正比例函数的定义，得b＝0．
故答案为：0．
4．函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）
【答案】B
【解析】对于答案（A）验证：中,m<0, ,m>0,矛盾
对于答案（C）验证：中,m>0, ,m<0,矛盾
对于答案（D）验证：中,m=0, ,m<0,矛盾
对于答案（B）验证：中,m>0, ,m>0,一致符合要求。故选B.
5. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：
x … ﹣2 1 3 …
y … 7 ﹣2 ﹣8 …
则y与x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式．
【解答】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（﹣2，7），（1，﹣2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣3x+1．
故选：D．
6. 已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（　　）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的系数，对图象的影响．要理解时，图象过一、三象限，时，图象过二、四象限；是图象与轴交点的纵坐标，这样就可以很容易找出正确答案．
【详解】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则，．
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】A
【分析】此题考查正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限；据此解答即可，熟记正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
8. 在下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随增大而减小，判断即可．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴符合条件的是；
故选B．
9. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
根据题意可得，随的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：∵一次函数（是常数），，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：．
10．已知点在一次函数的图像上，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用待定系数法将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：将点代入一次函数得，，
∴，
故选：．
11. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据理解反比例函数的定义：“如果两个变量x、y之间的关系可以表示为y=（k为常数，且k≠0），那么y是x的反比例函数”进行判断即可．
【详解】解：A、，y是x的一次函数，因此选项不符合题意；
B、，y是x的反比例函数，故此选项符合题意；
C、，y是x+1的反比例函数，因此选项不符合题意；
D、，y是x的一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
故选：B．
12. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．－3
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入中求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，则，
故选：A．
13. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，将点代入反比例函数进行计算即可求解，掌握根据反比例函数自变量的值求函数值的计算方法是解题的关键．
【详解】解：、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
、反比例函数，当时，，则在反比例函数图象上，符合题意；
、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意；
故选：．
14. 反比例函数图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A．函数图象始终经过点 B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴，
A. 由于，
∴函数图象始终经过点，说法正确；
B. ，函数图象分布在第一、三象限，故说法正确；
C. 当时，y随x的增大而减小，说法正确；
D. 当时，y随x的增大而增大，说法错误．
故选D．
15. 已知，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是 ．（用“＜”连接）
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数值的大小比较，选择合适的方法比较大小是解本题的关键，本题先分别计算，，的大小，再比较即可．
【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，
故答案为：第四章 函数
4.1正反比例函数、一次函数
初中要求 理解正反比例函数、一次函数的概念，掌握这三种函数的图像和性质，会利用函数解决简单的应用问题.
高中要求 在正反比例函数、一次函数的基础上进一步学习高中函数概念，类比正反比例函数、一次函数的图像和性质学习高中函数的图像和性质.
一、一次函数的图象与性质
一次函数（≠0）的图象是一条直线，确定2个点就可以作出一次函数的图象；一次函数与轴的交点坐标是，称为直线的横截距；与轴的交点坐标
是，称为直线的纵截距；
（1）时，为正比例函数y=kx，它的图象是经过原点（0，0）的一条直线；
（2）时，可分成四种情况来讨论.
函数解析式 k的符号 b的符号 经过的象限 图象性质[ 示意图
y=kx+b k＞0 b＞0 第一、二、三象限 y随x增大而增大
k＞0 b＜0 第一、三、四象限 y随x增大而增大
k＜0 b＞0 第一、二、四象限 y随x增大而减小
k＜0 b＜0 第二、三、四象限 y随x增大而减小
二、反比例函数的图象及性质
函数(k≠0)是双曲线，当0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而减小；当0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点
三、 待定系数法求函数解析式
待定系数法求函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正反比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
【题型1】一次函数
例1、若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是 　 　．
例2、若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．
例3、已知函数的图象不经过第二象限，那么、一定满足（ ）
A．＞0，＜0 B．＜0，＜0
C．＜0，＞0 D．＞0，≤0
【变式探究】1、 下列各点中，不在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2、在平面直角坐标系中，一次函数图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型2】反比例函数
例1、若反比例函数的图象在第一、三象限，求的取值范围.
例2、下列各点在反比例函数的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1、反比例函数，当时，随的增大而增大，那么的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
2、 反比例函数的图象经过，下列各点在图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】待定系数法
例1、如图，一次函数的图象经过点和点．

(1)求出这个一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
例2、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
例3、已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．
【变式探究】1、一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．
2、已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像相交于点，
(1)求点的坐标；
(2)求一次函数解析式．
1．下列函数关系中，y是x的一次函数的是（　　）
A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x
2．下列函数中，属于正比例函数的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝
3. 若函数y＝kx+b（k≠0）是正比例函数，则b的值为 　 　．
4．函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）
5. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：
x … ﹣2 1 3 …
y … 7 ﹣2 ﹣8 …
则y与x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1
6. 已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（　　）

A．， B．， C．， D．，
7. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
8. 在下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
9. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点在一次函数的图像上，则等于（ ）．
A． B． C． D．
11. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
12. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．－3
13. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
14. 反比例函数图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A．函数图象始终经过点 B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
15. 已知，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是 ．（用“＜”连接）

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