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专题6.1 平面向量
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示．
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．
推广：＋＋…＋＝.
图1 图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作 ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a.
(2)向量的减法
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．两个向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
5．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
6．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积．
7．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0 a＝0且b＝0；
8．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|
特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝
9．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝.
② a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
1．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量的相关性质逐项判断即可.
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
2．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目标式平方，利用转化法求解可得
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
3．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用平面向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】由题意知，，解得：.
故选：A.
4．已知，则的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果.
【详解】设的中点坐标是，
由三点共线可知，即，解得；
所以中点坐标为.
故选：B
5．已知点，则 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】B
【分析】计算平面向量的模，一般先算向量的坐标，再计算模长.
【详解】由可得,则.
故选：B.
6.已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)12
【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可.
(2)利用向量数量积的运算律，求解即可.
【详解】（1）由已知得
（2）．
7.设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)共线
(2)共线
(3)不共线
【分析】根据向量共线定理即可判断.
【详解】（1），则有，即共线；
（2），则有，即共线；
（3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共线，
这与已知条件不共线矛盾，不共线.
8.已知.
(1)若∥，求；
(2)若，求；
(3)若，夹角为60°，求.
【答案】(1)10或(2)0(3)5
【分析】（1）若∥，说明夹角180°或者0°，然后利用向量数量积的公式即可；
（2），说明夹角90°，然后利用向量数量积的公式即可；
（3）利用向量数量积的公式即可.
【详解】（1）当∥时，若，同向，则它们的夹角为0°，
所以；
若，反向，则它们的夹角为180°.
所以.
（2）当时，夹角为90°，
所以.
（3）当，夹角为60°时，
.
9.已知，两点的坐标，求，的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】由终点坐标减去起点坐标，即得所求向量的坐标.
【详解】（1）因为，，
所以，.
（2）因为，，
所以，.
（3）因为，，
所以，.
（4）因为，，
所以，.
10.化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】根据平面向量加减的运算法则，化简各线性表达式即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
11.已知向量，满足，．
(1)若，的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可
（1）根据得到，计算出，再根据 即可
【详解】（1），所以，
所以
（2）因为，所以，
所以，所以 ，
令
所以，
因为，所以
故与的夹角为．
1．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断.
【详解】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误；
对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；
对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误；
对于④，若，则，④正确.
故选：A.
2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案.
【详解】，
，
，
故选：A.
3．已知向量，且，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以.
故选：D
4．已知向量，，若，则（ ）
A．10 B．40 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量平行性质求出，根据向量坐标模的计算公式即可.
【详解】因为，所以，则．
故选；.
5．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【答案】(1)(2)
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
6．已知，在下列条件下求
(1)向量与平行时；
(2)向量与的夹角为﹔
(3)向量与垂直时．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用向量平行、垂直得出夹角，利用数量积公式可求答案；
【详解】（1）当向量与平行时，向量与的夹角为或，
由向量数量积的定义得或.
所以.
（2）当向量与的夹角为，由向量数量积的定义得，
所以.
（3）当向量与垂直时，向量与的夹角为，由向量数量积的定义得.
所以.
7．已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算；
（2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由已知；
（2）由已知．
8．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】利用向量的加减法则，结合相反向量的概念，化简向量线性表达式.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
9．已知，，求证，，三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】利用共线向量定理即可推理作答.
【详解】因为，，则有，
因此，而与有公共点，
所以，，三点共线.
10．已知向量的夹角为，且.
(1)求；
(2)当时，求实数m.
【答案】(1)；(2)12.
【分析】（1）利用向量数量积的运算律及已知求；
（2）由向量垂直可得，结合数量积的运算律列方程求参数值即可.
【详解】（1）由，则.
（2）由题设，则.专题6.1 平面向量
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示．
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．
推广：＋＋…＋＝.
图1 图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作 ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a.
(2)向量的减法
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．两个向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
5．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
6．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积．
7．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0 a＝0且b＝0；
8．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|
特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝
9．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝.
② a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例1．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
例2．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
例3．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例4．已知，则的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
例5．已知点，则 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
例6.已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)．
例7.设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
例8.已知.
(1)若∥，求；
(2)若，求；
(3)若，夹角为60°，求.
例9.已知，两点的坐标，求，的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
例10.化简：
(1)；
(2)；
(3)．
例11.已知向量，满足，．
(1)若，的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角．
1．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
3．已知向量，且，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．10 B．40 C． D．
5．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
6．已知，在下列条件下求
(1)向量与平行时；
(2)向量与的夹角为﹔
(3)向量与垂直时．
7．已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
8．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
9．已知，，求证，，三点共线.
10．已知向量的夹角为，且.
(1)求；
(2)当时，求实数m.

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