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专题7.1 等差数列
1.数列与数列的项　“顺序”是数列最根本的性质
（1）数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
（2）数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的一般形式　与集合的表示方法不同！
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
3.数列的表示方法
（1）表示方法：解析式法、表格法、图象法.
（2）数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4.等差数列的概念　等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
5.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
6.等差数列的通项公式　一般形式：an＝am＋(n－m)d
(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
（2）.等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n).
7.等差数列的前n项和公式
求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
例1．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用，求出即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
例2．已知数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．2023
【答案】A
【分析】由递推公式可得，数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，从而求出答案.
【详解】由题意得，，，，……，
故数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，
故.
故选：A
例3．已知数列，则该数列的第项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可.
【详解】由题意知：该数列的通项公式为，.
故选：A.
例4．已知等差数列中，，，求（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
【答案】A
【分析】根据等差中项的应用列式即可解出答案.
【详解】由已知得，，
则，解得.
故选：A.
例5．已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出该等差数列的公差，即可得出该数列的通项公式.
【详解】由题意，，
在等差数列中，首项，
设公差为 ,前 30 项中奇数项的和为 , 偶数项的和为 , 且 ,
∴，解得：，
∴，
即，
故选：B.
例6．已知等差数列的通项公式，则等差数列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，分别求得，即可得到公差.
【详解】因为等差数列的通项公式，则，
则公差.
故选：A
例7．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析
【分析】（1）求出公差，进而得到第20项；
（2）求出公差，得到通项公式，得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）可以得到公差，故第20项为
（2）可以得到公差，故通项公式为，
令，解得，
故是等差数列，，，…的第100项.
例8．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
例9．一个“V”形铅笔架(如图)的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支铅笔，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
【答案】7260支
【分析】由等差数列求和公式进行求解.
【详解】由题意知这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an}，其中a1＝1，，公差为1.
根据等差数列的前n项和公式，得S120＝.
故V形架上共放着7260支铅笔．
例10．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，求数列的前21项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.
【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，，
所以.
（2）由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
1．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的下标和性质即可求得答案.
【详解】由于数列是等差数列，故，
故选：B
2．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.
【详解】因为等差数列的首项，公差，
所以通项公式为.
故选：B
3．已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
【答案】A
【分析】等差数列前n项和公式的应用
【详解】由，有，偶数项的和为100．
故选：A
4．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，推导出数列是首项为，公差为2的等差数列，由此求出，再由配方法能够求出当前项和取到最小值时，的值．
【详解】，，
，
数列是首项为，公差为2的等差数列，
，
前项和取到最小值时，，
故选：B
5．已知数列为等差数列，是其前项的和，且，公差为2.
(1)求，及；
(2)求通项公式.
【答案】(1)，，；(2)
【分析】（1）根据等差数列定义求出，，两者与相加求出；
（2）利用等差数列通项公式求出答案.
【详解】（1），，
（2）由题意得：.
6.某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置1个罐头，这样的摆法需要多少个罐头？
【答案】.
【分析】利用等差数列的定义，结合等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】由这样的摆法可以判断从底层开始，每层的罐头数成等差数列，
所以这样的摆法需要罐头数为：，
这样的摆法需要个罐头.
7.已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解；
（2）先求前项和，再建立方程求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2）.
因为，所以，解得或.
因为，所以.
8.已知数列中，且.
(1)求；
(2)求数列{}的前n项和的最大值.
【答案】(1)＝﹣4n+17；(2)28.
【分析】(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式；
(2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值.
【详解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，
∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，
∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；
（2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，
∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.专题7.1 等差数列
1.数列与数列的项　“顺序”是数列最根本的性质
（1）数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
（2）数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的一般形式　与集合的表示方法不同！
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
3.数列的表示方法
（1）表示方法：解析式法、表格法、图象法.
（2）数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4.等差数列的概念　等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
5.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
6.等差数列的通项公式　一般形式：an＝am＋(n－m)d
(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
（2）.等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n).
7.等差数列的前n项和公式
求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
例1．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例2．已知数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．2023
例3．已知数列，则该数列的第项为（ ）
A． B． C． D．
例4．已知等差数列中，，，求（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
例5．已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（ ）
A． B． C． D．
例6．已知等差数列的通项公式，则等差数列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
例7．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
例8．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
例9．一个“V”形铅笔架(如图)的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支铅笔，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
例10．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，求数列的前21项和
1．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
4．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，是其前项的和，且，公差为2.
(1)求，及；
(2)求通项公式.
6.某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置1个罐头，这样的摆法需要多少个罐头？
7.已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
8.已知数列中，且.
(1)求；
(2)求数列{}的前n项和的最大值.

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