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专题7.2 等比数列
1.等比数列的定义及通项公式
(1)等比数列的定义和通项公式
(2)通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.
3.常用等比数列的性质
（1）如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al.
（2）如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝
（3）若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
4.等比数列的前n项和公式
应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
例1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
例2．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：D
例3．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得.
【详解】由于成等比数列，所以，
解得或.
故选：C
例4．如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
【答案】B
【分析】根据题意表示出3天后患者人数，即可得答案.
【详解】解：由题意可得，1天后患者人数为，2天后患者人数为，3天后患者人数为，
所以3天后的患者人数将会是原来的15倍.
故选：B.
例5．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
【答案】A
【分析】由等比数列前n项和公式可得答案.
【详解】
故选：A
例6．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质得到，求出公比.
【详解】由题意得：，因为，所以，
所以，解得或．
故选：D
例7．在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）设公比为，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
例8．在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
.
例9．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
例10．设是等比数列，其前项的和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；
（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.
【详解】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，
又，所以，所以.
（2）因为，所以，
由，得，即，解得，
所以n的最小值为6.
1．已知等比数列中，，则（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
2．已知实数是2、8的等比中项，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】由等比中项的定义列方程求解即可.
【详解】因为实数是2、8的等比中项，
所以，得，
故选：A
3．如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
【答案】B
【分析】根据题意表示出3天后患者人数，即可得答案.
【详解】解：由题意可得，1天后患者人数为，2天后患者人数为，3天后患者人数为，
所以3天后的患者人数将会是原来的15倍.
故选：B.
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得.
【详解】因为，，所以，解得，则．
故选：B
5．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．－24 B．－28 C．－30 D．－32
【答案】C
【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．
【详解】由题意，则，又，所以，，
，
所以．
故选：C．
6．在等比数列中，，则16是中的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式结合条件即可得出．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，因为，
∴，解得．
则该数列的通项，由，可得，
即16是中的第7项.
故选：B．
7．已知等比数列，若，，则（ ）
A．0 B．2
C．-2 D．-2或2
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式的基本量的运算，即可求解.
【详解】由题意知，等比数列中，因为，，可得，所以.
故选：D.
8．某工厂去年产值为，计划今后五年内每年比上一年产值增长，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式求解即可
【详解】该工厂5年内每年的产值构成等比数列，首项为，公比是1.1，
所以从今年起五年内这个工厂的总产值为．
故选：D．
故选：C.
9．在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4项和S4；
(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1， a5.
【答案】(1)－85
(2)
(3)
【分析】按照等比数列的定义，求出首项和公比即可.
(1)S8＝；
(2)由a4＝a1q3，即96＝·q3，得q＝－4，所以S4＝；
(3)由S5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝；
故答案为：-85，，.
10．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；
（2）分组求和即可.
【详解】（1）设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.专题7.2 等比数列
1.等比数列的定义及通项公式
(1)等比数列的定义和通项公式
(2)通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.
3.常用等比数列的性质
（1）如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al.
（2）如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝
（3）若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
4.等比数列的前n项和公式
应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝ Sn＝
例1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
例2．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
例3．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
例4．如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
例5．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
例6．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
例7．在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
例8．在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
例9．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例10．设是等比数列，其前项的和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的最小值.
1．已知等比数列中，，则（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．已知实数是2、8的等比中项，则（ ）
A． B． C．4 D．5
3．如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
5．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．－24 B．－28 C．－30 D．－32
6．在等比数列中，，则16是中的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
7．已知等比数列，若，，则（ ）
A．0 B．2
C．-2 D．-2或2
8．某工厂去年产值为，计划今后五年内每年比上一年产值增长，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是（ ）
A． B． C． D．
9．在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4项和S4；
(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1， a5.
10．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；

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