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第2节磁场对运动电荷的作用
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。(×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。(×)
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。(×)
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。(×)
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(√)
(6)利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。(√)
(7)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。(×)
(1)荷兰物理学家洛伦兹提出运动电荷产生了磁场和磁场对运动电荷有作用力(洛伦兹力)的观点。
(2)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。
(3)阿斯顿设计的质谱仪可用来测量带电粒子的质量和分析同位素。
(4)1932年，美国物理学家劳伦兹发明了回旋加速器，能在实验室中产生大量的高能粒子。(最大动能仅取决于磁场和D形盒直径，带电粒子圆周运动周期与高频电源的周期相同)
要点一　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功
[典例]　(多选)如图8 2 1所示，空 ( http: / / www.21cnjy.com )间的某一区域存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个带电粒子以某一初速度由A点进入这个区域沿直线运动，从C点离开区域；如果将磁场撤去，其他条件不变，则粒子从B点离开场区；如果将电场撤去，其他条件不变，则这个粒子从D点离开场区。已知BC＝CD，设粒子在上述三种情况下，从A到B、从A到C和从A到D所用的时间分别是t1、t2和t3，离开三点时的动能分别是Ek1、Ek2、Ek3，粒子重力忽略不计，以下关系正确的是(　　)
图8 2 1
A．t1＝t2＜t3　　　　　　 B．t1＜t2＝t3
C．Ek1＞Ek2＝Ek3 D．Ek1＝Ek2＜Ek3
[审题指导]
(1)当电场、磁场同时存在时，粒子做________运动
提示：匀速直线运动。
(2)只有电场时，粒子做________运动，用公式________求时间。
提示：类平抛运动　t1＝
(3)只有磁场时，粒子做________运动，用________与速度的比值求时间。
提示：匀速圆周运动　弧长
[解析]　当电场、磁场同时存在时，粒子做匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速直线运动，此时qE＝qvB；当只有电场时，粒子从B点射出，做类平抛运动，由运动的合成与分解可知，水平方向为匀速直线运动，所以t1＝t2；当只有磁场时，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，速度大小不变，但路程变长，则t2＜t3，因此A选项正确。粒子从B点射出时，电场力做正功，动能变大，故C选项正确。
[答案]　AC
[方法规律]
洛伦兹力对运动电荷(或带电体)不做功，不改 ( http: / / www.21cnjy.com )变速度的大小，但它可以改变运动电荷的速度方向，影响带电体所受其他力的大小，影响带电体的运动时间等。
[针对训练]
1．如图8 2 2所示，在 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度v0抛出，落在地面上的A点，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，则小球的落点(　　)
图8 2 2
A．仍在A点
B．在A点左侧
C．在A点右侧
D．无法确定
解析：选C　洛伦兹力虽不做功，但可以改 ( http: / / www.21cnjy.com )变小球的运动状态(改变速度的方向)，小球做曲线运动，在运动中任一位置受力如图所示，小球受到了斜向上的洛伦兹力的作用，小球在竖直方向的加速度ay＝2．(多选)如图8 2 3所示，A ( http: / / www.21cnjy.com )BC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电。现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则(　　)
图8 2 3
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
解析：选CD　设磁感应强度为B，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点时的速度分别为v甲、v乙和v丙，则mg＋Bvq甲＝，mg－Bvq乙＝，mg＝，显然，v甲>v丙>v乙，选项A、B错误；三个小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在最高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确。
要点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
图8 2 4
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向 ( http: / / www.21cnjy.com )时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8 2 4甲所示)。
(2)已知入射方向和入射点 ( http: / / www.21cnjy.com )、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8 2 4乙所示)。
(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动：
①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8 2 5所示)。
图8 2 5
②平行边界(存在临界条件，如图8 2 6所示)。
图8 2 6
③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8 2 7所示)。
图8 2 7
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
图8 2 8
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图8 2 8)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝T(或t＝T)，t＝(l为弧长)。
[典例] 如图8 2 9 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求：
图8 2 9
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
一束电子沿圆形区域的直径方向射入 沿半径方向入射，一定会沿半径方向射出
运动方向与原入射方向成θ角 θ为偏向角等于轨道圆弧所对圆心角
第二步：找突破口
(1)要求轨迹半径→应根据洛伦兹力提供向心力求解。
(2)要求运动时间→可根据t＝ T，先求周期T。
(3)要求圆形磁场区域的半径→可根据几何关系求解。
[解析]　(1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
evB＝解得R＝。
(2)设电子做匀速圆周运动的周期为T，
则T＝＝
由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ，
所以t＝T＝。
(3)由如图所示几何关系可知，
tan＝，
所以r＝tan。
[答案]　(1)　(2)　(3)tan
[方法规律]
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
[针对训练]
1．(2014·安徽高考)“人造小太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )”托卡马克装置使用强磁场约束高温等离子体，使其中的带电粒子被尽可能限制在装置内部，而不与装置器壁碰撞。已知等离子体中带电粒子的平均动能与等离子体的温度T成正比，为约束更高温度的等离子体，则需要更强的磁场，以使带电粒子在磁场中的运动半径不变。由此可判断所需的磁感应强度B正比于 (　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B．T
C. D．T2
解析：选A　由题意可知，等离子体的动能 ( http: / / www.21cnjy.com )Ek＝cT(c是比例系数)，在磁场中做半径一定的圆周运动，由qvB＝m可知，B＝＝＝，因此A项正确，B、C、D项错误。
2．(2014·全国卷Ⅰ)如图8 ( http: / / www.21cnjy.com )2 10，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
图8 2 10
A．2 B.
C．1 D.
解析：选D　根据题图中的几何关系及带电粒 ( http: / / www.21cnjy.com )子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨道半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径r2的2倍。设粒子在P点的速度为v1，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝，则B1＝＝；同理，B2＝＝，则＝，D正确，A、B、C错误。
3．(多选)(2014·全国卷Ⅱ)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图8 2 11为某磁谱仪部分构件的示意图。图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹。宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子。当这些粒子从上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是(　　)
图8 2 11
A．电子与正电子的偏转方向一定不同
B．电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同
C．仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子
D．粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小
解析：选AC　根据洛伦兹力提供向心力， ( http: / / www.21cnjy.com )利用左手定则解题。根据左手定则，电子、正电子进入磁场后所受洛伦兹力的方向相反，故两者的偏转方向不同，选项A正确；根据qvB＝，得r＝，若电子与正电子在磁场中的运动速度不相等，则轨迹半径不相同，选项B错误；对于质子、正电子，它们在磁场中运动时不能确定mv的大小，故选项C正确；粒子的mv越大，轨道半径越大，而mv＝，粒子的动能大，其mv不一定大，选项D错误。
要点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成原因一般包含下述几个方面：
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。
[典例1]如图8 2 12所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
图8 2 12
[解析]　题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：
R＝
又d＝R－R/
解得v＝(2＋)Bqd/m。
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：R′＝
d＝R′＋，
解得v′＝(2－)Bqd/m。
[答案]　(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷)
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
[典例2]　(多选)在M、N两条长直导 ( http: / / www.21cnjy.com )线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹示意图如图8 2 13所示。已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是(　　)
图8 2 13
A．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
C．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
[解析]　考虑到磁场可能是垂直纸面向外，也可能是垂直纸面向里，并结合安培定则、左手定则，易知A、B正确。
[答案]　AB
图8 2 14
3．临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图8 2 14所示。于是形成了多解。
[典例3]　(多选)长为l的 ( http: / / www.21cnjy.com )水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图8 2 15所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
图8 2 15
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
[解析]　带电粒子刚好打在极板右边缘， ( http: / / www.21cnjy.com )有r＝2＋l2，又因r1＝，解得v1＝；粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝＝，解得v2＝，故A、B正确。
[答案]　AB
4．运动的往复性形成多解
空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解。
[典例4]　(2014·江苏高考)某装 ( http: / / www.21cnjy.com )置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图8 2 16所示。装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。
图8 2 16
[审题指导]
(1)试在图中画出粒子打到P点、N点、M点的运动轨迹(为方便画图，可设P、N、M不确定的点)
提示：
(2)在图中确定圆周运动的圆心位置，并通过几何关系把L与d和半径r的关系写出来。
提示：L＝3rsin 30°＋3dcos 30°
(3)打到M点的粒子，每经过一次磁场沿OO′方向前进多少距离？
提示：前进距离L′＝2dcos 30°＋2rsin 30°
[解析]　(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r
根据题意L＝3rsin 30°＋3dcos 30°
且h＝r(1－cos 30°)
解得h＝
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′
m＝qvB
m＝qv′B
由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°
解得Δv＝v－v′＝
(3)设粒子经过上方磁场共n次
由题意知L＝(2n＋2)dcos 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
且m＝qvnB，解得vn＝
(1≤n＜－1，n取整数)
[答案]　见解析
[方法规律]　求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
要点四　带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
[多维探究]
(一)半无界磁场
[典例1]　(多选)(2012·江苏高考 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图8 2 17所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远可落在边界上的A点。下列说法中正确的有(　　)
图8 2 17
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－qBd/2m
D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋qBd/2m
[解析]　因粒子由O点以速度v0入射时，最远 ( http: / / www.21cnjy.com )落在A点，又粒子在O点垂直射入磁场时，在边界上的落点最远，即＝，所以粒子若落在A的右侧，速度应大于v0，B正确；当粒子落在A的左侧时，由于不一定是垂直入射，所以速度可能等于、大于或小于v0，A错误；当粒子射到A点左侧相距d的点时，最小速度为xmin，则＝，又因＝，所以vmin＝v0－，所以粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于vmin＝v0－，C正确；当粒子射到A点右侧相距d的点时，最小速度为v1，则＝，又因＝，即v1＝v0＋，D错误。
[答案]　BC
(二)四分之一平面磁场
[典例2]　如图8 2 18所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
图8 2 18
[解析]　轨迹示意图如图所示，由射入、射出点的半径可找到圆心O′，并得出半径为r＝＝，得B＝；射出点坐标为(0，a)。
[答案]　B＝；射出点坐标为(0，a)。
(三)矩形磁场
[典例3]　(多选)如图8 2 19所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t。若加上磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的(　　)
图8 2 19
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度
D．带电粒子在磁场中运动的半径
[解析]　由带电粒子在磁场中运动的偏转角 ( http: / / www.21cnjy.com )，可知带电粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l＝rsin 60°＝sin 60°，又未加磁场时有l＝v0t，所以可求得比荷＝，A项对，周期T＝也可求出，B项对；因初速度未知，所以C、D项错。
[答案]　AB
(四)正方形磁场
[典例4]　(多选)(2011·海 ( http: / / www.21cnjy.com )南高考)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图8 2 20中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法中正确的是(　　)
图8 2 20
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
[解析]　在磁场中带电粒子运动半径r ( http: / / www.21cnjy.com )＝，运动时间：t＝(θ为转过圆心角)，故B、D正确。当粒子从O点所在的边上射出时，轨迹可以不同，但圆心角相同为180°，因而A、C错。
[答案]　BD
(五)半圆形磁场
[典例5]　如图8 2 21所示，长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　)
图8 2 21
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边
[解析]　由r＝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r＝0.3 m，从Od边射入的粒子，出射点分布在ab和be边；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边；选项D正确。
[答案]　D
(六)圆形磁场
[典例6]　(2012·安 ( http: / / www.21cnjy.com )徽高考)如图8 2 22所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为(　　)
图8 2 22
A.Δt　　　　　　　　　 B．2Δt
C.Δt D．3Δt
[解析]　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，由洛伦兹力提供向心力，据牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子第一次通过磁场区时的半径为r＝，圆弧AC所对应的圆心角∠AO1C＝60°，经历的时间为Δt＝T(T为粒子在匀强磁场中的运动周期，大小为T＝，与粒子速度大小无关)；当粒子速度减小为后，根据r＝知其在磁场中的轨道半径变为，粒子将从D点射出，根据图中几何关系得圆弧AD所对应的圆心角∠AO2D＝120°，经历的时间为Δt′＝T＝2Δt。由此可知本题正确选项只有B。
[答案]　B
(七)三角形磁场
[典例7]　如图8 2 23所示，△ABC为 ( http: / / www.21cnjy.com )与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　)
图8 2 23
A．B＞　　　　　　 B．B＜
C．B＞ D．B＜
[解析]　由题意，如图所示，电子正好经过C点 ( http: / / www.21cnjy.com )，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝有＜，即B＜，选D。
[答案]　D
对点训练：洛伦兹力
1．图1为云室中某粒子穿过铅 ( http: / / www.21cnjy.com )板P前后的轨迹(粒子穿过铅板后电荷量、质量不变)，室中匀强磁场的方向与轨道所在平面垂直(图中垂直于纸面向内)，由此可知此粒子(　　)
图1
A．一定带正电
B．一定带负电
C．不带电
D．可能带正电，也可能带负电
解析：选A　粒子穿过铅板的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，动能减小，轨道半径减小，根据题图中粒子的运动轨迹可以确定粒子从下向上穿过铅板，再由左手定则可判断出粒子一定带正电，选项A正确。
2．如图2所示，M、N和P是以MN为直径的 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆弧上的三点，O为半圆弧的圆心，在O点存在的垂直纸面向里运动的匀速电子束。∠MOP＝60°，在M、N处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，这时O点的电子受到的洛伦兹力大小为F1。若将M处长直导线移至P处，则O点的电子受到的洛伦兹力大小为F2。那么F2与F1之比为(　　)
图2
A.∶1　　　　　　　　　 B.∶2
C．1∶1 D．1∶2
解析：选B　长直导线在M、N、P处时在 ( http: / / www.21cnjy.com )O点产生的磁感应强度B大小相等，M、N处的导线在O点产生的磁感应强度方向都向下，合磁感应强度大小为B1＝2B，P、N处的导线在O点产生的磁感应强度夹角为60°，合磁感应强度大小为B2＝B，可得，B2∶B1＝∶2，又因为F洛＝qvB，所以F2∶F1＝∶2，选项B正确。
对点训练：带电粒子在匀强磁场中的运动
3．下列装置中，没有利用带电粒子在磁场中发生偏转的物理原理的是
图3
解析：选D　洗衣机将电能转化为机械能，不是利用带电粒子在磁场中的偏转制成的，所以选项D符合题意。
4.带电质点在匀强磁场中运动，某时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻速度方向如图4所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将(　　)
图4
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．一定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
解析：选C　带电质点在运动过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不可能做直线运动，也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动，C正确。
5．(2015·深圳二调)一个重力不计 ( http: / / www.21cnjy.com )的带电粒子垂直进入匀强磁场，在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。则下列能表示运动周期T与半径R之间的关系图像的是
图5
解析：选D　带电粒子在匀强磁场中做 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速圆周运动时，qvB＝m R＝，由圆周运动规律，T＝＝，可见粒子运动周期与半径无关，故D项正确。
6．(多选)(2015·浙江名校联盟 ( http: / / www.21cnjy.com )联考)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图6中虚线所示，下列表述正确的是(　　)
图6
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N不做功
D．M的运行时间大于N的运行时间
解析：选AC　由左手定则可知，M带负电 ( http: / / www.21cnjy.com )，N带正电，选项A正确；由r＝可知，M的速率大于N的速率，选项B错误；洛伦兹力对M、N不做功，选项C正确；由T＝可知M的运行时间等于N的运行时间，选项D错误。
对点训练：带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
7.(多选)如图7所示， ( http: / / www.21cnjy.com )宽d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里。现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r＝10 cm，则(　　)
图7
A．右边界：－8 cm＜y＜8 cm有粒子射出
B．右边界：0＜y＜8 cm有粒子射出
C．左边界：y＞8 cm有粒子射出
D．左边界：0＜y＜16 cm有粒子射出
解析：选AD　根据左手定则，正粒子 ( http: / / www.21cnjy.com )在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r＝10 cm画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则OO1＝O1A＝OO2＝O2C＝O2E＝10 cm，由几何知识求得AB＝BC＝8 cm，OE＝16 cm，因此答案为A、D。
对点训练：带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
8．(多选)如图8，两个 ( http: / / www.21cnjy.com )初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有(　　)
图8
A．a、b均带正电
B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
解析：选AD　a、b粒子做圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )的半径都为R＝，画出轨迹如图所示，O1、O2分别为b、a轨迹的圆心，a在磁场中转过的圆心角大，由t＝T＝和轨迹图可知A、D选项正确。
9．带电粒子以初速度v0从a点垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直y轴进入匀强磁场，如图9所示。运动中经过b点，Oa＝Ob，若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场，仍以v0从a点垂直y轴进入电场，粒子仍能通过b点，那么电场强度E与磁感应强度B之比为(　　)
图9
A．v0 B．1
C．2v0 D.
解析：选C　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O为圆心，故Oa＝Ob＝r＝①
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，
故Ob＝v0t＝Oa＝t2＝②
由①②得＝2v0，故选项C对。
10．(2015·马鞍山二检)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )10所示，abcd为一正方形边界的匀强磁场区域，磁场边界边长为L，三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入，粒子1从b点射出，粒子2从c点射出，粒子3从cd边垂直于磁场边界射出，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。根据以上信息，可以确定(　　)
图10
A．粒子1带负电，粒子2不带电，粒子3带正电
B．粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C．粒子1和粒子3在磁场中运动时间之比为4∶1
D．粒子3的射出位置与d点相距
解析：选B　根据左手定则可 ( http: / / www.21cnjy.com )知粒子1带正电，粒子2不带电，粒子3带负电，选项A错误；粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周，半径r1＝L，时间t1＝T＝×＝，粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周，半径r3＝L，时间t3＝T＝×＝，则t1＝t3，选项C错误；由r＝可知粒子1和粒子3的比荷之比为r3∶r1＝2∶1，选项B正确；粒子3的射出位置与d点相距(－1)L，选项D错误。
考点综合训练
11．(2013·大纲卷)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )11所示，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。粒子在磁场中运动的轨道半径为R。粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且＝R。不计重力。求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
图11
解析：本题考查带电粒子在磁场中的运动，意在考 ( http: / / www.21cnjy.com )查考生综合解决问题的能力。根据题意，带电粒子进入磁场后做圆周运动，运动轨迹交虚线OL于A点，圆心为y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于P点，与x轴的夹角为β，如图所示。有
qvB＝m　①
周期为
T＝
由此得
T＝　②
过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D。由图中几何关系得
＝Rsin α
＝cot 60°
＝cot β
＝＋
α＝β　③
由以上五式和题给条件得
sin α＋cos α＝1　④
解得
α＝30°　⑤
或α＝90°　⑥
设M点到O点的距离为h
h＝R－
根据几何关系
＝－＝Rcos α－
利用以上两式和＝Rsin α得
h＝R－Rcos(α＋30°)　⑦
解得
h＝(1－)R　(α＝30°)　⑧
h＝(1＋)R　(α＝90°)　⑨
当α＝30°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝　⑩
当α＝90°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝　
答案：见解析
12.(2015·珠海期末)如图12 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8 kg、电量为q＝1.0×10－6 C的带电粒子。从静止开始经U0＝10 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝30 cm，(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
图12
(1)带电粒子到达P点时速度v的大小；
(2)若磁感应强度B＝2.0 T，粒子从x轴上的Q点离开磁场，求OQ的距离；
(3)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。
解析：(1)对带电粒子的加速过程，由
动能定理qU＝mv2
代入数据得：v＝20 m/s
(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：
qvB＝得R＝
代入数据得：R＝0.50 m
而OP/cos 53°＝0.50 m
故圆心一定在x轴上，轨迹如图甲所示。
由几何关系可知：
OQ＝R＋Rsin 53°
故OQ＝0.90 m
(3)带电粒子不从x轴射出(如图乙)，由几何关系得：
OP>R′＋R′cos 53°①
R′＝②
由①②并代入数据得：
B′> T＝5.33 T(取“≥”照样给分)
答案：(1)20 m/s　(2)0.90 m　(3)B′>5.33 T

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