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第4节带电粒子在叠加场中的运动
要点一　带电粒子在叠加场中运动的实例分析
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB所以v＝所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
[典例]　(多选)(2014·江苏高考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图8 4 1所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则(　　)
图8 4 1
A．霍尔元件前表面的电势低于后表面
B．若电源的正负极对调，电压表将反偏
C．IH与I成正比
D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比
[思路点拨]
(1)若把电源的正负极对调，电流IH和线圈的磁场方向如何变化？
提示：电流IH和磁场方向均反向。
(2)试分析电路的连接方式，并确定电流I、IH与IL的关系。
提示：I＝IH＋IL
(3)电压表测量的是什么电压？示数与IH有什么关系？
提示：电压表测量的是霍尔电压，与IH成正比。
[解析]　由左手定则可判定，霍尔元件的前表 ( http: / / www.21cnjy.com )面积累正电荷，电势较高，故A错。由电路关系可见，当电源的正、负极对调时，通过霍尔元件的电流IH和所在空间的磁场方向同时反向，前表面的电势仍然较高，故B错。由电路可见，＝，则IH＝I，故C正确。RL的热功率PL＝IRL＝2RL＝，因为B与I成正比，故有：UH＝k＝k′＝k′，可得知UH与PL成正比，故D正确。
[答案]　CD
[针对训练]
1.(2013·重庆高考)如图8 4 2所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a和b，内有带电荷量为q的某种自由运动电荷。导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B。当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低。由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为(　　)
图8 4 2
A.，负　　　　　　　 B. ，正
C.，负 D.，正
解析：选C　本题考查带电粒 ( http: / / www.21cnjy.com )子在磁场中的运动、电流的微观表达式，意在考查考生的推理与分析问题的能力。建立霍尔效应模型，根据左手定则，不管正电荷还是负电荷均应该向上偏，由于上表面的电势比下表面的电势低，说明电荷电性为负。当导电材料上、下表面之间的电压为U时，电荷所受电场力和洛伦兹力相等，q＝qvB，根据电流的微观表达式I＝nqvab，解得导电材料单位体积内自由运动的电荷数n＝，所以C项正确；A、B、D项错误。
2．(2014·福建高考)如图8 4 ( http: / / www.21cnjy.com )3，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于磁感应强度大小为B，方向沿z轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体(有大量的正、负离子)，且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v0沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变。
(1)求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U0；
(2)求开关闭合前后，管道两端压强差的变化Δp；
(3)调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S＝dh不变，求电阻R可获得的最大功率Pm及相应的宽高比d/h的值。
图8 4 3
解析：(1)设带电离子所带的电荷量为q，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U0保持恒定，有
qv0B＝q①
得U0＝Bdv0。②
(2)设开关闭合前后，管道两端压强差分别为p1、p2，液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到安培力为F安，有p1hd＝f③
p2hd＝f＋F安④
F安＝BId⑤
根据欧姆定律，有I＝⑥
两导体板间液体的电阻r＝ρ⑦
由②③④⑤⑥⑦式得Δp＝。⑧
(3)电阻R获得的功率为P＝I2R⑨
P＝2R⑩
当＝时
电阻R获得的最大功率Pm＝。
答案：见解析
要点二　带电粒子在叠加场中的运动
1．分析方法
2．三种场的比较
名称 力的特点 功和能的特点
重力场 大小：G＝mg方向：竖直向下 重力做功与路径无关重力做功改变物体的重力势能
静电场 大小：F＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关W＝qU电场力做功改变电势能
磁场 洛伦兹力F＝qvB方向可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
[多维探究]
(一)磁场与重力场共存
[典例1]　(多选)(2015·郑 ( http: / / www.21cnjy.com )州质检)如图8 4 4所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是图8 4 5中的(　　)
图8 4 4
图8 4 5
[解析]　带电圆环在磁场中受到向上 ( http: / / www.21cnjy.com )的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，A正确。当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且随着速度的减小而减小，圆环将做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，D正确。如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用， 且摩擦力越来越大，圆环将做加速度增大的减速运动，故B、C错误。
[答案]　AD
(二)电场与磁场共存
[典例2]　(2013·福建高考)如图8 4 ( http: / / www.21cnjy.com ) 6甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
图8 4 6
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A(a,0)点，求v1的大小。
(2)已知一粒子的初速度大 ( http: / / www.21cnjy.com )小为v(v>v1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin θ值。
(3)如图乙所示，若在此 ( http: / / www.21cnjy.com )空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。
[解析]　(1)带电粒子以速率v1在匀强磁场B中做匀速圆周运动，有qv1B＝m①
当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有R1＝②
②代入①式得v1＝③
(2)如图所示，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x＝的直线上。
当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有
sin θ′＝sin θ＝④
带电粒子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动，
满足qvB＝m⑤
由①④式解得sin θ＝⑥
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理有
qEym＝mv－mv⑦
由题知，有vm＝kym⑧
若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有
qv0B＝m⑨
v0＝kR0
由⑥⑦⑧⑨式解得vm＝＋ 。
[答案]　(1)　(2)2个　
(3)＋
(三)电场、磁场与重力场共存
[典例3]　(2010·安徽高考)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )8 4 7甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q点为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。
图8 4 7
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；
(2)求电场变化的周期T；
(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。
[解析]　(1)微粒做直线运动，则mg＋qE0＝qvB①
微粒做圆周运动，则
mg＝qE0②
联立①②式得
q＝③
B＝④
(2)设微粒从N1点运动到Q点的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则
＝vt1⑤
qvB＝m⑥
t2＝⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
t1＝，t2＝⑧
电场变化的周期
T＝t1＋t2＝＋⑨
(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求
d≥2R
联立③④⑥式得
R＝
设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩ 式得
t1min＝
因t2不变，T的最小值
Tmin＝t1min＋t2＝。
[答案]　(1)　　(2)＋　(3)
1．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流 ( http: / / www.21cnjy.com )计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图1所示。由于血液中的正负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为(　　)
图1
A．1.3 m/s，a正、b负　　　 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
解析：选A　由于正负离子在匀强磁场 ( http: / / www.21cnjy.com )中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断：a电极带正电，b电极带负电。血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为0，即qvB＝qE得v＝＝≈1.3 m/s。
2．(多选) (2015·江苏阜宁中学月 ( http: / / www.21cnjy.com )考)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图2是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是(　　)
图2
A．电势差UCD仅与材料有关
B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD<0
C．仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大
D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
解析：选BC　电势差UCD与磁感应强 ( http: / / www.21cnjy.com )度B、材料有关，选项A错误；若霍尔元件的载流子是自由电子，由左手定则可知，电子向C侧面偏转，则电势差UCD<0，选项B正确；仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大，选项C正确；在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直且东西放置，选项D错误。
3．(2010·福建高考)如图3所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )装置，左半部为速度选择器，右半部为匀强的偏转电场。一束同位素离子流从狭缝S1射入速度选择器，能够沿直线通过速度选择器并从狭缝S2射出的离子，又沿着与电场垂直的方向，立即进入场强大小为E的偏转电场，最后打在照相底片D上。已知同位素离子的电荷量为q(q>0)，速度选择器内部存在着相互垂直的场强大小为E0的匀强电场和磁感应强度大小为B0的匀强磁场，照相底片D与狭缝S1、S2的连线平行且距离为L，忽略重力的影响。
图3
(1)求从狭缝S2射出的离子速度v0的大小；
(2)若打在照相底片上的离子在偏转电场中沿速度v0方向飞行的距离为x，求出x与离子质量m之间的关系式(用E0、B0、E、q、m、L表示)。
解析：(1)能从速度选择器射出的离子满足
qE0＝qv0B0①
∴v0＝②
(2)离子进入匀强偏转电场E后做类平抛运动，则
x＝v0t③
L＝at2④
由牛顿第二定律得qE＝ma⑤
由②③④⑤解得x＝
答案：(1)　(2)
4．(多选)如图4所示，两平行 ( http: / / www.21cnjy.com )、正对金属板水平放置，使上面金属板带上一定量正电荷，下面金属板带上等量的负电荷，再在它们之间加上垂直纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以初速度v0沿垂直于电场和磁场的方向从两金属板左端中央射入后向上偏转。若带电粒子所受重力可忽略不计，仍按上述方式将带电粒子射入两板间，为使其向下偏转，下列措施中可能可行的是(　　)
图4
A．仅增大带电粒子射入时的速度
B．仅增大两金属板所带的电荷量
C．仅减小粒子所带电荷量
D．仅改变粒子的电性
解析：选ABD　带电粒子在两板之间受电 ( http: / / www.21cnjy.com )场力与洛伦兹力，但两者的大小不等，且方向不确定。若仅增大带电粒子射入时的速度，可能因为所受的洛伦兹力变大，而使带电粒子向下偏转，A正确；若仅增大两金属板所带的电荷量，因两极板间的电场强度增大，故带电粒子可能向下偏转，B正确；若仅减小粒子所带的电荷量，则由于粒子所受电场力与洛伦兹力以相同的倍数变化，故带电粒子仍向上偏转，C错误；仅改变粒子的电性，则由于两个力的方向都发生变化，带电粒子将向下偏转，D正确。
5．(多选)(2015·浙江三校模拟)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )5，空间中存在正交的匀强电场E和匀强磁场B(匀强电场水平向右)，在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球(不考虑两带电球的相互作用，两球电荷量始终不变)，关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
图5
A．沿ab、ac方向抛出的带电小球都可能做直线运动
B．只有沿ab抛出的带电小球才可能做直线运动
C．若有小球能做直线运动，则它一定是匀速运动
D．两小球在运动过程中机械能均守恒
解析：选AC　沿ab方向抛出 ( http: / / www.21cnjy.com )的带正电小球，或沿ac方向抛出的带负电的小球，在重力、电场力、洛伦兹力作用下，都可能做匀速直线运动，A正确，B错误。在重力、电场力、洛伦兹力三力都存在时的直线运动一定是匀速直线运动，C正确。两小球在运动过程中除重力做功外还有电场力做功，故机械能不守恒，D错误。
6．(多选)(2015·名校联盟模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )如图6甲所示，某空间存在着足够大的匀强磁场，磁场沿水平方向。磁场中有A、B两个物块叠放在一起，置于光滑水平面上。物块A带正电，物块B不带电且表面绝缘。在t＝0时刻，水平恒力F作用在物块B上，物块A、B由静止开始做加速度相同的运动。在物块A、B一起运动的过程中，图乙反映的可能是(　　)
图6
A．物块A所受洛伦兹力大小随时间t变化的关系
B．物块A对物块B的摩擦力大小随时间t变化的关系
C．物块A对物块B的压力大小随时间t变化的关系
D．物块B对地面压力大小随时间t变化的关系
解析：选CD　洛伦兹力F洛＝qvB＝q ( http: / / www.21cnjy.com )Bat，所以A错误。物块A对物块B的摩擦力大小Ff＝mAa，所以Ff随时间t的变化保持不变，B错误。A对B的压力FNA＝mAg＋qvB＝mAg＋qBat，C正确。B对地面的压力FNB＝(mA＋mB)g＋qBat，D正确。
7.(2015·南京月考)如图7所示的虚 ( http: / / www.21cnjy.com )线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场。一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O′点(图中未标出)穿出。若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O点射入，从区域右边界穿出，则粒子b(　　)
图7
A．穿出位置一定在O′点下方
B．穿出位置一定在O′点上方
C．运动时，在电场中的电势能一定减小
D．在电场中运动时，动能一定减小
解析：选C　a粒子要在电场、磁场的复合场区内 ( http: / / www.21cnjy.com )做直线运动，则该粒子一定沿水平方向做匀速直线运动，故对粒子a有：Bqv＝Eq，即只要满足E＝Bv无论粒子带正电还是负电，粒子都可以沿直线穿出复合场区；当撤去磁场只保留电场时，粒子b由于电性不确定，故无法判断从O′点的上方还是下方穿出，选项A、B错误；粒子b在穿过电场区的过程中必然受到电场力的作用而做类平抛运动，电场力做正功，其电势能减小，动能增大，故C项正确，D项错误。
8．(2015·吉林模拟)如图8所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面。当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为(　　)
图8
A．0　　　　　　　　　　 B．2mg
C．4mg D．6mg
解析：选C　设小球自左方摆到最低点时速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为v，则mv2＝mgL(1－cos 60°)，此时qvB－mg＝m，当小球自右方摆到最低点时，v大小不变，洛伦兹力方向发生变化，T－mg－qvB＝m，得T＝4mg，故C正确。
9．(多选)(2015·江西八校联考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图9所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中(　　)
图9
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
解析：选CD　对小球受力分析如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，则mg－μ(qE－qvB)＝ma，随着v的增加，小球加速度先增大，当qE＝qvB时达到最大值，amax＝g，继续运动，mg－μ(qvB－qE)＝ma，随着v的增大，a逐渐减小，所以A错误。因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B错误。若在前半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qE－qvB)＝m，得v＝；若在后半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－qE)＝m，得v＝，故C、D正确。
10.(2015·陕西长安一中等五校 ( http: / / www.21cnjy.com )一模)如图10所示，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下。一质量为m、带电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了60°，重力加速度为g，求：
图10
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)微粒从P运动到Q的时间。
解析：(1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上有
qE1sin 45 °＝mg
解得E1＝
微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则在竖直方向上有
mg＝qE2，E2＝
(2)设微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动时加速度为a，离开区域Ⅰ时速度为v，在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨道半径为R，则
a＝＝g
v2＝2ad1(或qE1cos 45°×d1＝mv2)
Rsin 60°＝d2
qvB＝m
解得B＝
(3)微粒在区域Ⅰ内做匀加速运动，t1＝
在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的圆心角为60°，则
T＝
t2＝＝
解得t＝t1＋t2＝ ＋
答案：见解析
11．(2014·四川高考)在如图11 ( http: / / www.21cnjy.com )所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝ m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝ 37°。过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25 T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104 N/C。小物体P1质量m＝2×10－3 kg、电荷量q＝＋8×10－6 C，受到水平向右的推力F＝ 9.98×10－3 N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力。当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1 s与P1相遇。P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求：
图11
(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；
(2)倾斜轨道GH的长度s。
解析：(1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则
F1＝qvB①
f＝μ(mg－F1)②
由题意，水平方向合力为零
F－f＝0③
联立①②③式，代入数据解得
v＝4 m/s④
(2)设P1在G点的速度大小为vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝mv－mv2⑤
P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律
qEcos θ－mgsin θ－μ(mgcos θ＋qEsin θ)＝ma1⑥
P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则
s1＝vGt＋a1t2⑦
设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则
m2gsin θ－μm2gcos θ＝m2a2⑧
P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2则
s2＝a2t2⑨
联立⑤～⑨式，代入数据得
s＝s1＋s2⑩
s＝0.56 m
答案：(1)4 m/s　(2)0.56 m

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