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(在此卷上答题无效)
数学
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的，
1.已知复数z=1+i,则z2的共轭复数是
A.2
B.2i
C.-2
D.-2i
2.集合U=R,集合A={xly=log(x-1)},B={xllx+11<3},则{xl-4A.A∩(CB)
B.C(AUB)
C.C(A∩B)
D.(CA)∩B
3.函数f(x)=二
,则下列函数中为奇函数的是
A.f(x+2)-1
B.fx+1)-2
C.f(x+1)+2
D.f(x-2)+1
4.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+Ab)⊥(a+ub),则
A.4=-1
B.u=1
C.A+u=-1
D.入w=1
5.2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶
段。在太空站内有甲、乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人
最多出仓一次，且时间不超过10分钟。若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验
成功终止试验。已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为
09,8,每人试验能否成功相互独
987
立，则试验成功的概率为
7
B.19
359
19
A10
C.
D.
120
360
20
6在△1BC中，B=年，BC边上的高等于兮BC,则a4-
A.10
B.3V10
3W/10
D.-
10
10
C.、10
10
10
7.已知数列{an}对任意k∈N*满足a:+a+1=3k+2,则a2+a2os=
A.3032
B.3035
C.3038
D.3041
【D-024】数学试卷第1页（共4页）
8.在△ABC中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分别为三边BC,CA,AB的中点，将△AFG,△BEG,△CEF分别
沿FG,EG,EF向上折起，使得A,B,C重合，记为P,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为
17m
b.2
,19π
C.2
21T
D.
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分
9.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n,则下列说法正确的是
A.a1=-8
B.数列{an}是递增数列
C.数列{Sn}的最小项为S,和So
D.满足Sn<0的最大正整数n=8
10.设a>0,b>0,满足a+2b=1,则下列说法正确的是
A.ab的最大值是
4
B子的最小恤是9
C云+公的最小值是写
D.a2+4b2的最小值是1
11.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB长
为4，E是母线AB的中点，则
A.圆台的侧面积为16m
B.圆台的内切球的表面积为3π
63
C.圆台的体积为
3 W
D.在圆台侧面上从C到E的最短路径的长度为2√13
12已知函数x)=了++ar+6(a,beR),则
A.a>0时，函数f(x)在R上单调递增
B.4=-3时，若(x)有3个零点，则实数6的取值范围是(-9,3)
C.若直线l与曲线y=f(x)有3个不同的交点A(x1,y,),B(x2,y2),C(x3,y3),且IAB1=|ACI,则
x1+x2十x3=3
D.若f代x)存在极值点xo,且f(xo)=f八x),其中xo≠x1,则x,+2x。+3=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29,30,38,25,37,40,42,32，那么这组
数据的第75百分位数为
14.设向量a和b满足Ia+b1=23,1a-b1=2,则a·b的值为
5.已知函数fx,+2,若不等式ae)≤1-fna-nx)恒成立，则a的最小值为
16,若cos写是关于x的方程a+bm2+1=0(a,b都是整数)的-个实根，则a+b=
【D-024】数学试卷第2页（共4页）数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B A D C C B ABD BC ACD BD
1. 【解析】 z2 (1 i)2 2i，共轭复数是 2i 。
2. 【解析】集合 A {x | x 1},B {x | 4 x 2}，所以 ( UA) B {x | 4 x 1}。
2x 1 3
3.【解析】 f (x) 2 关于点 (1,2)对称，故将 f (x) 的图像向左平移 1 个单位长度，再向下
x 1 x 1
2(x 1) 1 3
平移 2 个单位长度后，图像关于原点对称，选 A。事实上 f (x 1) 2 2 为奇函数。
(x 1) 1 x
4.【解析】由题设 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0，化简可得 1 .
9 8 7 1
5.【解析】解析 1：试验任务不成功的的概率是1 p (1 )(1 )(1 ) ，所以成功的概率是
10 9 8 720
719
。解析 2：试验任务成功的事件M 是甲成功的事件M1 ，甲不成功乙成功的事件M 2 ，甲乙都不成功丙
720
9 9 8 8
成 立 的 事 件 M3 的 和 ， 事 件 M1 ， M 2 ， M3 互 斥 ， P(M1) ， P(M2 ) (1 ) ，
10 10 9 90
9 8 7 7
P(M3) (1 ) (1 ) ，所以试验任务成功的概率
10 9 8 720
9 8 7 119
P(M ) P(M1 M 2 M3) .故选 D.
10 90 720 720
π
6.【解析】设BC边上的高 AD 1，结合B 可得 AB 2 , AC 5, BC 3,由余弦定理
4
2 5 9 10
cos A .
2 2 5 10
7.【解析】易得ak 2 ak 3,a2k 1 a1 3(k 1)，a2k 1 a2 3k 2 ，
a2 a2023 3 1012 2 3038 。
8.【解析】设 AB 2m, AC 2n,由题设m n 4。三棱锥P EFG中，FG PE 3, EF PG m,
x2 y2 32

EG PF n, 2 2 2将 P EFG放在棱长为 x, y, z的长方体中，有 y z m ，

z
2 x2 n2
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABAYAAggCoABBAABhCEQFYCgIQkAGAAKoGhFAMoAABwBFABAA=}#}
1
三棱锥P EFG的外接球就是长方体的外接球，所以 (2R)2 x2 y2 z2 (9 m2 n2 ) ，
2
(m n)2 1 17
由基本不等式 2m2 n2 8 ，所以外接球表面积 S 4 R (9 8) 。
2 2 2
9.【答案】ABD【解析】可求 an 2n 10，数列{Sn}的最小项为 S4 和 S5 . 选项 C 错误，其余易验证都正
确。
1 1 2 2
10.【答案】BC【解析】 a 2b 1 2 2ab ， ab的最大值是 ，当 a 2b 时，a 4b 取最小值是
8 2
1
，选项 AD 错误。
2
11.【答案】ACD【解析】轴截面梯形的上底为 2，下底为 6，高为2 3 ，侧面
展开图是半圆环（如图），
所 以 圆 台 的 侧 面 积 S (1+3) 4 16 ， 圆 台 的 体 积
1 26 3
V (9 3 ) 2 3 。
3 3
因为梯形有半径为 3 的内切圆（两组对边的和相等），所以圆台的内切球半径为 3 ，表面积为12 .
在圆台侧面上从C到E 2 2的最短路径，在展开图中是线段CE 6 4 2 13 .
12.【答案】BD【解析】求导 f ' (x) x2 2x a (x 1)2 a 1, 当a (0,1) 时， f ' (x) 0有 2 个不相
等的实根 x1, x2 ，在区间 (x1,x2 )上 f
' (x) 0， f (x) 单调递减，选项 A 错误。
当a 3时，令 f ' (x) x2 2x 3 (x 3)(x 1) 0，得 x1 3, x2 1，若 f (x) 有 3 个零点，则极大
5 5
值 f ( 3) 9 b 0 ，极小值 f (1) b 0 ，实数b的取值范围是 ( 9, )，选项 B 正确。
3 3
令二阶导数 f '' (x) 2x 2 0 ，得 x 1 ,则三次函数 f (x) 的对称中心是 ( 1, f ( 1)) 。当直线 l与曲线
y f (x) 有 3 个不同的交点 A(x1, y1),B(x2 , y2 ),C(x3, y3 ) ，且 | AB | | AC |时，点 A 一定是对称中心，所
以 x1 x2 x3 3x1 3，选项 C 错误。
若 f (x) 存在极值点 x '0 ，则 f (x) (x 1)
2 a 1 0 ， a 1， (x0 1)
2 1 a。令 x1 2x ，得0 t
x1 t 2x0 ，因为 f x0 f x1 ，于是 f x0 f t 2x0 ，所以
1 1 t
x30 x
2
0 ax0 b (t 2x0 )
3 (t 2x )20 a(t 2x0 ) b，化简得： ( 1)(t 3x )
2
0 0，因为
3 3 3
x0 x1 ，故3x0 t 0 ，于是 t 3，即 x1 2x0 3 0。选项 D 正确。故选 BD.
13.【答案】39【解析】从小到大排序：25,29,30,32,37,38,40,42,又8 75% 6，第 75 百分位数为:
38 40
39。
2
2 2 2 2
14.【答案】2【解析】由题设a 2a b b 12,a 2a b b 4 ，所以 a b 2 。
1 1 1 1
15.【答案】 【解析】函数 f (x) 在R上单调递减，且 f (x) f ( x) 1，
e 1 2x 1 2x 1 2 x
x x
所以 f (aex ) 1 f (ln a ln x) f (ln x ln a) f (ln ) aex，由单调性可得 ln 。
a a
x x x x
所以 xe ln ，考查函数 g (x) xex 的单调性可得 x ln ln x ln a，
a a a
数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABAYAAggCoABBAABhCEQFYCgIQkAGAAKoGhFAMoAABwBFABAA=}#}
1
所以 lna ln x x恒成立，易得h(x) ln x x的最大值是 1，因此 ln a 1,a 。
e
16.【答案】0
4 2
【解析】因为cos cos 1 2cos2 1 2[2cos2 1]2 8cos4 8cos2 1，
5 5 5 5 5 5
4 2
所以8cos 8cos cos 1 0，8cos2 (cos 1)(cos 1) cos 1 0，
5 5 5 5 5 5 5
2
所以[8cos (cos 1)+1](cos 1) 0，又cos 1 0，
5 5 5 5
2
所以8cos (cos 1)+1=8cos3 -8cos2 +1=0，比较系数可得a 8,b 8，a b 0。
5 5 5 5
11π π 2π
T ( ) π
17.【解析】（1）观察图象可得 A 2，函数 f (x)的周期 12 12 ，解得 2，............. 2 分
π
π π π即 f (x) 2sin 2x ，由 f ( ) 2sin( ) 0 ，得 kπ，即 kπ , k Z ， .............. 4 分
12 6 6 6
π π π
而 ，则 ，所以函数 y f x 的解析式是 f (x) 2sin(2x ) . ...................................................... 5 分
2 6 6
π
（2）将 f x 的图象向左平移 个单位长度，
12
π π π
可得到函数 y 2sin 2 x 2sin 2x 的图象， ...................................................................... 6 分
12 6 3
1
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
2
π
得到函数 g x 的图象，则 g x 2sin 4x+ ， ...................................................................................... 7 分
3
π π π 4π π
当0 x 时， 4x+ ，则 3 2sin 4x+ 2， ........................................................... 9 分 4 3 3 3 3
π
所以， 3 g x 2，因此， g x 在 0, 上的值域为 3, 2 . ...................................................... 10 分 4
10a 10b 0.3 a 0.005

10 0.045 0.020 a 0.7

18. 【解析】（1）由题意可知： ，解得 b 0.025 ，........................................ 3 分
可知每组的频率依次为：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05，
所以生物原始分的平均值等于50 0.05 60 0.25 70 0.45 80 0.2 90 0.05 69.5分 ........................ 5 分
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%，位于区间[75,85)的占比为
20%，因为成绩 A等级占比为15%，所以等级 A的原始分区间的最低分位于区间[75,85)，估计等级 A
15% 5%
的原始分区间的最低分为85 10 80，已知最高分为 94，所以估计此次考试生物成绩 A等
20%
级的原始分区间为[80,94]． ............................................................................................................................ 9 分
数学参考答案 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABAYAAggCoABBAABhCEQFYCgIQkAGAAKoGhFAMoAABwBFABAA=}#}
94 83 100 T
（3）由 ，解得T 89，该学生的等级分为 89 分． .................................................... 12 分
83 80 T 86
19. 【解析】(1)过点E作EF AB于F ,因为平面PAB 平面 ABCD，
平面PAB 平面 ABCD AB ,所以EF 面ABCD .................................................................................. 2 分
因为CD 面ABCD ,所以EF CD .又CD DE，
且EF DE E，所以CD 面DEF ,
可得CD DF ,因为 AB / /CD ,得DF AB。……………………3 分
由题设易得 ABD是等边三角形，所以F 点是 AB 的中点。
π π
在 Rt PAB中， PAB ， PBA ，EF 垂直平分 AB ，可得 AEF BEF , EAF ,
3 6 6
1 1 1 2 3
进一步 AEF AEP ,所以 S PAE S PAB 2 4
2 22 . ............................................ 4 分
3 3 2 3
因为平面PAB 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD AB ,DF AB ,所以DF 面PAB。
在等边三角形 ABD中， AB 4,DF 2 3 .DF是四面体 E PAD 的高 .............................................. 5 分
1 1 2 3 4
所以V V .………………6 分 E PAD D PAE S PAE DF 2 3
3 3 3 3
（2）由（1）知EF 面ABCD ，DF AB，以F 为原点，FD,FB,FE所
在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
2 3
可得坐标，D(2 3,0,0),C(2 3,4,0),E(0,0, ),P(0, 1, 3)， ........................................................ 7 分
3
2 3
所以DC (0,4,0),DE ( 2 3,0, ),DP ( 2 3, 1, 3),
3

n DC 4y 0,
令平面CDP的法向量 n (x, y, z) ，则 取n (1,0,2) ...................... 9 分
n DP 2 3x y 3z 0,
2 3
,又DE ( 2 3,0, )，设直线DE 与平面CDP所成角为 ，
3
数学参考答案 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABAYAAggCoABBAABhCEQFYCgIQkAGAAKoGhFAMoAABwBFABAA=}#}
4 3 2 3
DE n 3 2
则 sin cos DE,n . .......................................................................... 11 分
DE n 40 10
5
3
2
所以直线DE 与平面CDP所成角的正弦值为 . ......................................................................................... 12 分
10
20.【解析】（1）由已知和正弦定理可得:
sinC sin Bcos 2A 2sin Acos AcosB ..................................................................................................... 1 分
所以 sinC sin 2AcosB sin Bcos 2A sin(2A B) 0 ...................................................................... 2 分
又因为C (0, ), 2A B (0, ) ,所以C 2A B或者C 2A B ................................................. 3 分

当C 2A B时， A B 2A B , A ； ....................................................................................... 4 分
3
当C 2A B 时， A 2B与题设 A B不符 ...................................................................................... 5 分

综上所述， A . ............................................................................................................................................. 6 分
3
1 3
(2) ABC面积 S bc sin bc ........................................................................................................... 7 分
2 3 4

由 AD是角平分线， BAD CAD ,
6
1 1 1
因为 S ABC S ABD S ADC ,得 bc sin bsin c sin ， ........................................................... 9 分
2 3 2 6 2 6
4
即b c 3bc，由基本不等式 3bc 2 bc ，bc ，
3
2
当且仅当b c 3 时等号成立 ................................................................................................................... 10 分
3
3 3 4 3
所以面积 S bc . ............................................................................................................. 11 分
4 4 3 3
3
故 ABC面积的最小值 ............................................................................................................................. 12 分
3
an 1 1 a n 1
a a 2n 1 n 1 n
21.【解析】（1）由已知 n n 1 得 2 2 2 ........................................................................ 2 分
a 2 1 a 2 a 2 1
因此 n 1 （ n ），又 1 ， ........................................................................................ 4 分
2n 1 3 2 2n 3 21 3 6
an 2 1 1所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 ........................................................................ 5 分
2
n 3 6 2
a 2 1 1 2n 1 ( 1)n
因此 n ( )n 1 ，所以a ..................................................................................... 6 分
2n 3 6 2 n 3
1 1 4 7
（2）由已知a1 1,a2 3,a3 5, ，显然T Tn 单调递增， 1 T2 ............................. 8 分 a1 a2 3 4
当n 2且 n 是奇数时，
数学参考答案 第 5 页（共 6 页）
{#{QQABAYAAggCoABBAABhCEQFYCgIQkAGAAKoGhFAMoAABwBFABAA=}#}
1 1 1 1 2n 2n 1 2n 2n 1 1 1
3( ) 3 3 3( )
an 1 an 2
n 1 2n 1 1 (2n 1)(2n 1 1) 2n 2n 1 2n 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 3 7
所以Tn 1 3[( ) ( )] 1 3 ( ) 3 4 n n 1 . ... 10 分 a1 a2 an 2 2 2 2 4 2
n 1 4 2n 1 4
7
当n 2且 n 是偶数时，则n 1是奇数，有Tn Tn 1 ............................................................................ 11 分
4
* 1 1 1 7
所以，对任意n N ,Tn ......................................................................................... 12 分
a1 a2 an 4
22.【解析】（1）函数 f (x)的定义域是 ( , 1) (0, ) ， ...................................................................... 1 分
1
先证明 ln x x 1，设 g(x) ln x x 1，则 g (x) 1，在（0，1）上 g (x) 0, g(x) 单调递增，
x
在（1， ）上 g (x) 0, g(x) 单调递减， g(x) g(1) 0，所以 ln x x 1 .......................................... 3 分
1 1 1
可得 ln 1，得到 ln x 1 ，等号当且仅当 x 1时成立 ............................................................... 4 分
x x x
1 1 x 1 1
所以 f (x) ln(1 ) 1 0，注意1 1，所以 f (x) 0恒成立 ................ 5 分
x x 1 x 1 x 1 x
因此， f (x)的定义域在区间 ( , 1)和 (0, )上都是单调递增 .............................................................. 6 分
1 1
a （1+ ）n a （1+ ）n 1（2）由题设 n ， n 1 ，
n n 1
1 1
ln an n ln(1 )，ln an 1 (n 1) ln(1 ) ............................................................................................ 8 分
n n 1
1 1
只需证明n ln(1 ) (n 1) ln(1 )， .................................................................................................. 9 分
n n 1
1
因为 f (x) x ln(1 )在（0， ）上单调递增，显然成立。
x
1 1
下面证明an （1+ ）
n e，等价于证明 ln an n ln(1 ) 1 ............................................................... 10 分
n n
1 1
也即证明 ln(1 ) ，由（1）过程可知 ln(1 x) x，故原不等式得证 .............................................. 12 分
n n
数学参考答案 第 6 页（共 6 页）
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