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第一章 数与式
第一节 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆ 广东数学中考中实数内容考查以选择题、填空形式为主，考查的知识点较为单一，实数运算类的题综合性稍强一点，会结合特殊三角函数值、0次幂以及算术平方根等一起考，但总体难度依旧不大，属于较易得分题。
考点2 实数的分类 ☆☆
考点3 科学记数法和近似数 ☆☆☆
考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆
考点5 实数大小比较 ☆
考点6 实数的运算 ☆☆☆
考点1：实数的相关概念
1.数轴：数轴是规定了___________________的一条直线。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
同一数轴上的单位长度要统一；
数轴上所有的点与全体实数一一对应。
2.相反数：符号________________，数字相同的两个数，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别注意：
数轴上表示相反数的两个点在原点两边，且到远点的距离相等，这两个点关于原点对称。
0的相反数还是0。
相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
相反数的非零两数商为-1，即a，b互为相反数，则== -1(a0,b0)
3.倒数：乘积是_________________的两个数互为倒数。
特别注意：
0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；
若ab=1 a、b互为倒数；
若ab=-1 a、b互为负倒数。
4.绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与__________________的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，
若|a|=a，则a≥0；
若|a|=-a，则a≤0。
考点2：实数的分类
__________________统称为有理数，__________________统称为实数，实数的分类如下：
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数 正分数
有理数 负整数 有理数 0 负整数
分数 正分数 负有理数
负分数 负分数
特别注意：
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，有规律但不循环的小数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如cos45o等；
考点3 科学记数法和近似数
1.科学记数法：把一个数写成____________的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
2.近似数的精确位：一个近似数，____________到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位。
考点4 平方根、算术平方根、立方根
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
0的算术平方根为__________；从定义可知，只有当a_____0时,a才有算术平方根。
2.平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。
3.立方根：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
考点5 实数大小比较
实数大小比较的几种常用方法：
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数____________。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
（6）类别比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
考点6 实数运算
1.常见的几种实数运算
运算 法则
乘方 （n个a相乘）
0次幂 1（）.
负整数指数幂
去绝对值符号 , 当a大于b时，=a-b; 当a等于b时，=0, 当a小于b时，=b-a
-1的奇偶次幂 -1的奇数次幂为-1，-1的偶数次幂为1.
常见的开方
2.四则运算法则
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取____________的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，取__________较大加数的符号，并用较大的绝对值________较小的绝对值；
③一个数与0相加，仍得这个数.
④相反两数相加得______。
有理数加法的运算律：
①加法的交换律：a+b=b+a ；
②加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的____________；即a-b=a+（-b）.
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号为____________，异号为____________，并把____________相乘；
②任何数同零相乘都得零；
③几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。当负因式的个数为奇数时，乘积为负；当负因式的个数为偶数时，乘积为正。
有理数乘法的运算律：
①乘法的交换律：ab=ba；
②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
（4）有理数除法法则：除以一个不为0数，等于乘以这个数的______；注意：零不能做除数，.
（5）乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
有理数乘方的法则：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；
③负数的偶次幂是正数；
④0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算法则：
先____________，后____________，最后____________，如果有____________，先算括号里面的。
考点1：实数的相关概念
◇例题1．是的（ ）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方
◇例题2．下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
◇例题3．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（ ）

A．3 B．1 C． D．
◇例题4．的绝对值是 ．
◇例题5．已知互为相反数，则的值为 ．
◆变式训练
1．的相反数是（　　）
A．2 B． C． D．
2．的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
4．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
考点2：实数的分类
◇例题1．把符合条件的数填在相应的大括号内．
整数{ …}；无理数{ …}；
正有理数{ …}；负分数{ …}．
◇例题2．请把下列各数填入相应的集合中．
，，，，，，，．
非负数集合：__；
分数集合：__；
无理数集合：__．
◆变式训练
1．下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B． C． D．
2．在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
3．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
4．在，，，，这五个数中，有理数有 个
考点3 科学记数法和近似数
◇例题1．2023年常州市人口总数万人．人口总数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◇例题2．长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为（ ）
A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米
◇例题3．用四舍五入法取近似值，将数精确到的结果是 ．
◆变式训练
1．第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．已知圆周率，小学阶段我们经常使用的3.14是将精确到（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
3．用四舍五入法把某数取近似值为，精确度正确的是（ ）
A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位
4．下列说法正确的是（ ）
A．4.6万精确到个位 B．0.730精确到百分位
C．精确到千分位 D．精确到千位
考点4 平方根、算术平方根、立方根
◇例题1．实数9的算术平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
◇例题2．16的平方根是（ ）
A．8 B．4 C． D．
◇例题3．的立方根是（ ）
A．0.1 B． C． D．0.01
◆变式训练
1．的平方根是( )
A． B． C． D．
2．的算术平方根是 ．
3．的立方根是 ．
4．一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ．
考点5 实数大小比较
◇例题1．四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
◇例题2．请写出一个比大且比10小的无理数： ．
◇例题3．比较大小： （填“”，“”或“”）．
◆变式训练
1．比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
2．在四个数中，最小的实数是 ．
考点6 实数运算
◇例题1．定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A． B．5 C． D．
◇例题2．计算：等于（ ）
A． B． C．2 D．0
◇例题3．计算： ．
◇例题4．计算：．
◆变式训练
5．计算 ．
6．计算：．
7．计算：．
1．（2021·广东·统考中考真题）下列实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022·广东深圳·统考中考真题）下列互为倒数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．（2022·广东·统考中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（2023·广东·统考中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
5．（2023·广东深圳·统考中考真题）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东深圳·二模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
7．（2024·广东·统考中考模拟）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
8．（2018·广东·统考中考真题）一个正数的平方根分别是和，则 ．
9．（2018·广东·统考中考真题）已知，则 ．
10．（2020·广东·统考中考真题）若，则 ．
11．（2023·广东·统考中考真题）（1）计算：
1．﹣3的倒数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
3．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
4．在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b＜a B．a＜﹣2 C．a+b＞0 D．﹣a＞b
6．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．比较大小：3 　 　（填写“＜”或“＞”）．
8．与最接近的整数是 　 　．
9．如果，那么x+2y的算术平方根为 　 　．
10．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算3⊙（﹣4）的值为 　 　．
11．计算：．
12．计算：．
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第一章 数与式
第一节 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆ 广东数学中考中实数内容考查以选择题、填空形式为主，考查的知识点较为单一，实数运算类的题综合性稍强一点，会结合特殊三角函数值、0次幂以及算术平方根等一起考，但总体难度依旧不大，属于较易得分题。
考点2 实数的分类 ☆☆
考点3 科学记数法和近似数 ☆☆☆
考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆
考点5 实数大小比较 ☆
考点6 实数的运算 ☆☆☆
考点1：实数的相关概念
1.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
同一数轴上的单位长度要统一；
数轴上所有的点与全体实数一一对应。
2.相反数：符号相反，数字相同的两个数，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别注意：
数轴上表示相反数的两个点在原点两边，且到远点的距离相等，这两个点关于原点对称。
0的相反数还是0。
相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
相反数的非零两数商为-1，即a，b互为相反数，则== -1(a0,b0)
3.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
特别注意：
0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；
若ab=1 a、b互为倒数；
若ab=-1 a、b互为负倒数。
4.绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，
若|a|=a，则a≥0；
若|a|=-a，则a≤0。
考点2：实数的分类
整数和分数统称为有理数，有理数和无理数统称为实数，实数的分类如下：
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数 正分数
有理数 负整数 有理数 0 负整数
分数 正分数 负有理数
负分数 负分数
特别注意：
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，有规律但不循环的小数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如cos45o等；
考点3 科学记数法和近似数
1.科学记数法：把一个数写成的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位。
考点4 平方根、算术平方根、立方根
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
2.平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。
3.立方根：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
考点5 实数大小比较
实数大小比较的几种常用方法：
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
（6）类别比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
考点6 实数运算
1.常见的几种实数运算
运算 法则
乘方 （n个a相乘）
0次幂 1（）.
负整数指数幂
去绝对值符号 , 当a大于b时，=a-b; 当a等于b时，=0, 当a小于b时，=b-a
-1的奇偶次幂 -1的奇数次幂为-1，-1的偶数次幂为1.
常见的开方
2.四则运算法则
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
③一个数与0相加，仍得这个数.
④相反两数相加得0。
有理数加法的运算律：
①加法的交换律：a+b=b+a ；
②加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
②任何数同零相乘都得零；
③几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。当负因式的个数为奇数时，乘积为负；当负因式的个数为偶数时，乘积为正。
有理数乘法的运算律：
①乘法的交换律：ab=ba；
②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
（4）有理数除法法则：除以一个不为0数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
（5）乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
有理数乘方的法则：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；
③负数的偶次幂是正数；
④0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算法则：
先乘方，后乘除，最后加减，如果有括号，先算括号里面的。
考点1：实数的相关概念
◇例题1．是的（ ）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方
【答案】A
【点拨】本题主要考查倒数的定义，掌握两个数的乘积等于1，那么这两数互为倒数，是解题的关键．根据倒数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴是的倒数．
故选：A．
◇例题2．下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【点拨】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度即可判断所给出的四个数轴哪个正确．
【详解】由数轴三要素：单位长度、正方向和原点可知，
、无正方向，错误，故不符合题意；
、符合数轴三要素，正确，故符合题意；
、单位长度不统一，错误，故不符合题意；
、无原点，错误，故不符合题意；．
故选：．
◇例题3．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（ ）

A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【点拨】直接利用数轴得出结果即可．
【详解】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为，
故选：C．
◇例题4．的绝对值是 ．
【答案】
【点拨】根据绝对值的意义，实数的绝对值永远是非负数，负数的绝对值是它的相反数，即可得解．
【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
．
故答案为：．
◇例题5．已知互为相反数，则的值为 ．
【答案】0
【点拨】根据相反数的性质即可求解．
【详解】解：∵互为相反数，
∴．
故答案为：0．
◆变式训练
1．的相反数是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【点拨】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
【详解】解：依题意，的相反数是2，
故选：A．
2．的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【点拨】先求出，再求倒数．
【详解】因为，
所以的倒数是．
故选：D．
3．已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【答案】B
【点拨】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
∴．
故选：B．
4．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
考点2：实数的分类
◇例题1．把符合条件的数填在相应的大括号内．
整数{ …}；无理数{ …}；
正有理数{ …}；负分数{ …}．
【点拨】根据整数的定义、无理数的定义、正有理数的定义和负分数的定义分类即可．
【详解】解：整数{…}；
无理数{…}；
正有理数{…}；
负分数{…}．
◇例题2．请把下列各数填入相应的集合中．
，，，，，，，．
非负数集合：__；
分数集合：__；
无理数集合：__．
【点拨】由于实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数；实数还可分为正实数、负实数和利用这些结论即可求解．
【详解】解：非负数集合：；
分数集合：；
无理数集合：．
故答案为：，，，，；，，，；，．
◆变式训练
1．下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【点拨】根据整数的概念可以解答本题．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意；
B、 0.5是负分数，故选项B不符合题意；
C、不是负整数，故选项C不符合题意；
D、-2是负整数，符合题意．
故选：D．
2．在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【点拨】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数，
故选： C．
3．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【点拨】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．在，，，，这五个数中，有理数有 个
【点拨】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.
【详解】根据题意可得有理数有，，，
，为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为3．
考点3 科学记数法和近似数
◇例题1．2023年常州市人口总数万人．人口总数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示．本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
【详解】解：万．
故选：A
◇例题2．长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为（ ）
A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米
【答案】B
【点拨】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．本题根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可．
【详解】解：米对应的原数为6700000米，
故选B
◇例题3．用四舍五入法取近似值，将数精确到的结果是 ．
【答案】
【点拨】本题考查了求近似数，掌握四舍五入法是解题的关键．
将万分位的，四舍五入即可求解．
【详解】解：用四舍五入法将精确到的近似值是，
故答案为：．
◆变式训练
1．第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选D．
2．已知圆周率，小学阶段我们经常使用的3.14是将精确到（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
【答案】C
【点拨】此题考查了精确度，理解精确度的确定方法：根据保留的数位的下一位，利用四舍五入得到精确数．
【详解】将精确到百分位，即精确度0.01得到，
故选：C．
3．用四舍五入法把某数取近似值为，精确度正确的是（ ）
A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位
【答案】D
【点拨】将数还原后，原数最后一个数字2所在的位置即是该数精确的位置．
【详解】解：=0.052，
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．4.6万精确到个位 B．0.730精确到百分位
C．精确到千分位 D．精确到千位
【答案】D
【点拨】本题主要考查近似数及科学记数法，熟练掌握近似数及科学记数法是解题的关键；因此此题可根据近似数及科学记数法进行求解．
【详解】解：A、4.6万，所以4.6万精确到千位，故该选项错误；
B、0.730精确到千分位，故该选项错误；
C、，所以精确到十位，故该选项错误；
D、，所以精确到千位，故该选项正确；
故选D．
考点4 平方根、算术平方根、立方根
◇例题1．实数9的算术平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，若实数a、b满足，当a为非负数时，a就叫做b的算术平方根，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴实数9的算术平方根为3，
故选：A．
◇例题2．16的平方根是（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【点拨】根据平方根的定义进行计算．
【详解】解：16的平方根是，
故答案选：C．
◇例题3．的立方根是（ ）
A．0.1 B． C． D．0.01
【答案】A
【点拨】本题考查立方根，掌握开立方的法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选A．
◆变式训练
1．的平方根是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
的平方根是，
故选：．
2．的算术平方根是 ．
【答案】2
【点拨】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．
【详解】解：∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
3．的立方根是 ．
【答案】
【点拨】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
4．一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ．
【答案】2
【点拨】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．
【详解】∵和是正数a的平方根，
∴，
解得 ，
将b代入，
∴正数 ，
∴，
∴的立方根为：，
故填：2．
考点5 实数大小比较
◇例题1．四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【点拨】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最大的数是2．
故选：C
◇例题2．请写出一个比大且比10小的无理数： ．
【答案】（答案不唯一）
【点拨】根据实数的大小比较即可求出答案．
【详解】解：∵5＜7＜100，
∴<<10
∴比大且比10小的无理数为，
故答案为：（答案不唯一）．
◇例题3．比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【点拨】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
◆变式训练
1．比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【点拨】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案为：＜．
2．在四个数中，最小的实数是 ．
【答案】
【点拨】先计算出，再根据比较实数的大小法则即可．
【详解】解：，，
故，
故答案为：．
考点6 实数运算
◇例题1．定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【点拨】根据题意列出算式，求解即可
【详解】
．
故选B．
◇例题2．计算：等于（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】C
【点拨】先化简绝对值，求解特殊角的三角函数，负整数指数幂，零次幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：
=2，
故选C．
◇例题3．计算： ．
【答案】
【点拨】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
◇例题4．计算：．
【点拨】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
◆变式训练
5．计算 ．
【点拨】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
6．计算：．
【点拨】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
．
7．计算：．
【点拨】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】原式
1．（2021·广东·统考中考真题）下列实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【点拨】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．
【详解】解：，，，
∴，
故选：A．
2．（2022·广东深圳·统考中考真题）下列互为倒数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【点拨】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【详解】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故选：A．
3．（2022·广东·统考中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【点拨】利用乘方的意义计算即可．
【详解】解：
故选：D．
4．（2023·广东·统考中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作元，可知支出5元记作元；故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·统考中考真题）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
6．（2023·广东深圳·二模）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
7．（2024·广东·统考中考模拟）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
【答案】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，，故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2018·广东·统考中考真题）一个正数的平方根分别是和，则 ．
【答案】2．
【点拨】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．
【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，
故答案为2．
9．（2018·广东·统考中考真题）已知，则 ．
【答案】2．
【点拨】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．
【详解】∵+|b﹣1|=0，
又∵，，
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，
∴a+1=2.
故答案为2．
10．（2020·广东·统考中考真题）若，则 ．
【答案】1
【点拨】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】∵
∴，，
∴，
故答案为：1．
11．（2023·广东·统考中考真题）（1）计算：；
【点拨】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可；
【详解】解：（1）
；
1．﹣3的倒数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】乘积是1的两数互为倒数，依据倒数的定义解答即可．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：B．
2．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将35000000用科学记数法表示为：3.5×107．
故选：B．
3．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数进行解答即可．
【解答】解：±＝±3
故选：A．
4．在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是．
故选：C．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b＜a B．a＜﹣2 C．a+b＞0 D．﹣a＞b
【分析】由数轴可得﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，再利用实数的加法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
则A，B均不符合题意，
∵|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
即﹣a＞b，
则C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
6．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据尾数的循环性得出结论即可．
【解答】解：由题意知，2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵2023÷4＝505…3，
∴22023的个位数字与23相同，为8，
故选：D．
7．比较大小：3 　 　（填写“＜”或“＞”）．
【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
8．与最接近的整数是 　 　．
【分析】先估算出的范围，再将其与3.5进行比较、求解．
【解答】解：∵3＜＜4，且3.52＝12.25，
∴3.5＜＜4，
∴与最接近的整数是4，
故答案为：4．
9．如果，那么x+2y的算术平方根为 　　．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
故答案为：．
10．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算3⊙（﹣4）的值为 　 　．
【分析】根据题中的新定义进行计算即可得．
【解答】解：根据题中的新定义得：3⊙（﹣4）＝|3+（﹣4）|+|3﹣（﹣4）|＝1+7＝8，
故答案为：8．
11．计算：．
【分析】先根据绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
12．计算：．
【分析】先计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣2．
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