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第二章 方程与不等式
第四节 一元一次不等式（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式及不等式的基本性质 ☆☆ 本节内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式（组）的解法为主，体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 一元一次不等式 ☆☆☆
考点3 一元一次不等式组 ☆☆☆
考点4 不等式（组）的实际应用 ☆☆☆
■考点一　不等式及不等式的基本性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
■考点二　一元一次不等式
1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
■考点三　一元一次不等式组
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
■考点四　不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
■易错提示
1.不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
2.运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
3. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
■考点一　不等式及不等式的基本性质
◇典例1：（2023·河北中考模拟）语句“的与的和不超过”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】x的即x，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可．
【解析】 “x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
◆变式训练
1．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
【答案】A
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得，解得．故选：A．
【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
◇典例2：（2023·四川德阳·统考中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵，∴，，，，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
◆变式训练
1.（2023年北京市中考数学真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
2．（2022·江苏宿迁·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
◇典例3：（2023·广西·中考模拟）如图，在数轴上表示x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据数轴可知，表示x的数在数2的右边，且不等于2，因此即可判断x的取值范围 ．
【详解】由数轴知：，故答案为：x>2．
【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈．
◆变式训练
1．（2023·重庆一模）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式在数轴上表示为： ．故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．
2. （2021·四川南充·统考中考真题）满足的最大整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，，不满足，故该选项不符合题意，故选：C．
【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
■考点二　一元一次不等式
◇典例4：（2023·浙江·九年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义：形如或或或（其中a是不等于0的常数，b为常数），由此进行判断即可．
【详解】解：（1）即是一元一次不等式；（2）是二元二次整式，不是不等式；（3）是二元一次不等式（4）不是一元一次不等式；（5）是一元一次不等式 ；（6）不是一元一次不等式，故选B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次不等式的定义．
◆变式训练
1．（2022·黑龙江·九年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
【答案】1
【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，求解即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得：且解得答案为1
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念．
2．（2022·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
◇典例5：（2023·绵阳市·中考模拟）解不等式．
【答案】
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移项要变号．
◆变式训练
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
化系数为1，得．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
2．（2023·四川眉山·一模）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范
围是______．
【答案】
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式，得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
■考点三　一元一次不等式组
◇典例6：（2023年广东广州中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．
◆变式训练
1．（2023年四川省德阳市中考数学真题）不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
2.（2023·四川凉山·统考中考真题）不等式组的所有整数解的和是_________．
【答案】7
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
【详解】解：，由①得：，∴，解得：；
由②得：，整理得：，解得：，
∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4；
∴，故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
3．（2023·四川成都·统考中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
【详解】解：（1）；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
◇典例7：（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，，解得：，为整数，．
②整数解为：，，，、、、，，解得：，为整数，．
综上，整数的值为或故答案为：或．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）已知不等式组的解集是，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，∴，，∴，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023年四川省眉山市中考数学真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，由②得：，解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，∴；故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
3．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，∴，故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
◇典例8：（2022·九龙县九年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【详解】解：①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案为：m＜-6．
【点睛】本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
【答案】－＜＜4
【分析】先解方程组用含a的式子表示方程组的解，根据方程组的解是正数，列出关于a的不等式组，再求解．
【详解】解：，①＋②得：，，
①－②得：，，所以，原方程组的解为：，
∵ 方程组的解为正，∴＞0且＞0，解得：－＜＜4，故填：－＜＜4．
【点睛】本题考查了方程组的解法，以及一元一次不等式组的解法，解此类问题要先用字母a表示方程组的解，再根据题意，列不等式组，最后求解．
2．（2023·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集比较，可求出n的取值范围．
【详解】∵不等式组有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范围为：n＜8．故选：C．
【点睛】考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中参数范围的问题．可以先将参数当作常数处理，求出解集与已知解集比较，进而即可求解．
3．（2023·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
【答案】B
【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a的范围．
【详解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式组无解，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
◇典例9：（2023·辽宁九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据有理数的除法法则得出两个不等式组,求出每个不等式组的解集,集求出答案
【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负“，
有① 或② ，解不等式组①，得 ，
解不等式组②，得不等式组②无解，故原不等式组的解集为：，
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则
◆变式训练
1．（2023·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【答案】
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，∵，则；
∵，分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题.
2．（2023·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案．
【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了一元一次不等式组的解法和有理数乘除法则的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
■考点四　不等式（组）的实际应用
◇典例11：（2023·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
【答案】 1 7
【分析】当时，代数式的值，根据1＜20，可确定输出的值为1，列不等式，求解即可得答案．
【详解】解：当时，，
∵，∴当时，输出的值为1，
，移项合并得，系数化1得，∴x最大整数=7．故1；7．
【点睛】本题考查流程图与代数式求值，列不等式，不等式的最大整数解，掌握代数式求值，列不等式是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·湖北黄陂·九年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
【答案】 3
【分析】①分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论；②根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：①输入3，得：，输入4，得：，
输入7，得：，∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
②依题意得：，解得：．
x的取值范围为，故答案为：3；．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．
◇典例12：（2023·射阳县九年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
【答案】39或44或49
【分析】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，列出不等式组为0＜5x＋14 8（x 1）＜8解出即可．
【详解】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．
◆变式训练
1.（2022·宁波市鄞州区九年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
【答案】17
【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5 答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【详解】设小聪答对了x道题，根据题意，得：5x 2（19 x）＞80，解得x＞16，
∵x为整数，∴x＝17，即小聪至少答对了17道题，故答案为：17．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【详解】（1）解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
◇典例13：（2023·山东济宁市·九年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑(　　)
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
【答案】B
【分析】设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，根据速度×时间=路程结合要在18分钟内到达，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且）元，设降价幅度为x，
则，解得，
即为了不亏本，降价幅度最多为．故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
2.（2023·浙江绍兴市·九年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电塔，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；（2）设需要y年才能收回成本，据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）设这个月晴天的天数为x，由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整数，∴至少需要7年才能收回成本．
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
◇典例14：（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件(3)购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则（且n为整数），
∵，当时，W随n的增大而减小，
∴当时，W取最大值，为．
此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
◆变式训练
1．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．
【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，
由题意得：，解得：33≤x≤37，
∵x为正整数，∴x的取值为34、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元
(2)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．
【详解】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，
由题意得：，解得，
答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元．
（2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，
购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，
，解得，
又为正整数，所有可能的取值为18，19，20，
①当，时，购买总费用为（元），
②当，时，购买总费用为（元），
③当，时，购买总费用为（元），
所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
1．（2023·四川雅安·统考中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2022年山东省聊城市中考数学真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，解得：．所以的取值范围是．故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，∴，故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，不等式组的整数解为，0、1，
则，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．
【详解】解：，由①得，；由②得，；
∵解集为，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．
6．（2023年山东省聊城市中考数学真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
7．（2023·四川成都·统考中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
(2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元
【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，
，解得：，
答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
（2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，
解得：，
设总费用为元，根据题意，
∵，随的增大而增大，∴当时，最小，
∴最少总费用为（元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
8．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，解得：，
∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，设总费用为w元，则，
∵，∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
9．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2) (3)型30台，型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台
由题意得：，解得，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴解得：∴
随的增大而减小，当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
10．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】(1)(2)(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可；（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：，解得；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量为千克，
∴当时，；
当时，；
综上所述，；
（3）当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，∴解得．∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
1．（2023·广东·中考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可．
【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为，故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集．
2．（2023·浙江绍兴市·九年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【详解】解：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
3．（2023·浙江杭州·中考模拟）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．（2023·广西·中考模拟）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
【答案】
【分析】解一元一次方程得出方程的解，代入不等式组可得答案．
【详解】解：解方程得，
∵为不等式组的解，∴，解得，
即n的取值范围为：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
5．（2023·湖南九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
【答案】.
【分析】仿造例题，将所求不等式变形为不等式组，然后进一步求取不等式组的解集最终得出答案即可.
【详解】∵两数相乘（或相除），异号得负，∴由不等式可得：
或 ，解不等式组①得：，解不等式组②得：该不等式组无解，
综上所述，所以原不等式解集为：.
【点睛】本题主要考查了不等式组解集的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.
6．（2023·四川乐山·中考模拟）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
【答案】；；见详解；
【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
7．（2023年重庆九年级期中）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
8．（2023·山东·九年级期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】(1)500元；(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
，解得：，
∴元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意：
，解得：，
∵m，均为正整数，∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
9．（2023·湖北·九年级期末）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆(3)学校租车总费用最少是2800元．
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
【详解】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
10．（2023·北京市九年级期末）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ……
脚长（毫米） ……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋号 22 23 24 25 26 27 ……
脚长 ……
脚长 160 165 170 175 180 185 ……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】（1），；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；（3）应购买44号的鞋．
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【详解】（1）
（2）由与解得：
把代入得所以
则得：，即
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是．
（3）根据可知能被5整除,而所以
将代入中得故应购买44号的鞋．
【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
1．（2023·重庆·校考二模）“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
【答案】740
【分析】设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，根据题意，得，求得x，b，后根据不等式的性质，取值的整数性质，讨论计算即可．
【详解】解：设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，
根据题意，得，解得，因为，所以；
因为，且a为整数，b为整数，x为整数，所以，
所以（人），故答案为：740．
【点睛】本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，整数的性质，熟练掌握方程组的解法，不等式组的解法是解题的关键．
2．（2023·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式，解得：，
关于x的不等式的解也是不等式的解，
，不等式的解集是，，解得：，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
3．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，，解得，
方程可化为，解得，
关于的分式方程的解为正数，且，
解得且，且，
则所有满足条件的整数的值之和为，故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
4．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，∴，解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴解得：，即且，解得：且
∴a的取值范围是，且∴a可以取：1，3，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵不等式组无解，∴，解得：，∴．故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
【答案】(1)(2)2或3
【分析】（1）把方程①整体代入③得到关于y的方程，求得，再把代入①得到，从而得到方程组的解；（2）把方程组的解代入得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数解即可．
【详解】（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，解得：，
把代入①得：，∴原方程组的解是；
（2）由（1）可知方程的解为，
∵方程的解满足，
∴，解得．∴整数a为2或3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的整数解等知识，读懂题意，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
7．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：，解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：，
∵，∴，
∵，∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
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第二章 方程与不等式
第四节 一元一次不等式（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式及不等式的基本性质 ☆☆ 本节内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式（组）的解法为主，体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 一元一次不等式 ☆☆☆
考点3 一元一次不等式组 ☆☆☆
考点4 不等式（组）的实际应用 ☆☆☆
■考点一　不等式及不等式的基本性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做 ．能使不等式成立的未知数的值，叫做 ．
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去） ，不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以） ，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以） ，不等号的方向改变 若，，则或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
■考点二　一元一次不等式
1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤：① ；② ；③移项；④合并同类项；⑤ （注意不等号方向是否改变）．
■考点三　一元一次不等式组
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成 ．
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的 ，求不等式组解集的过程，叫做 ．
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的 ，再利用数轴求出这些一元一次不等式的解集的 即可，如果没有公共部分，则该不等式组 ．
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀
. 同大取大
. 同小取小
. 大小、小大中间找
. 大大、小小取不了
■考点四　不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设 ；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“ ”连接，不少于、不低于、至少用“ ”连接．
■易错提示
1.不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
2.运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
3. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
■考点一　不等式及不等式的基本性质
◇典例1：（2023·河北中考模拟）语句“的与的和不超过”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
◇典例2：（2023·四川德阳·统考中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年北京市中考数学真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏宿迁·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·广西·中考模拟）如图，在数轴上表示x的取值范围是________．
◆变式训练
1．（2023·重庆一模）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
2. （2021·四川南充·统考中考真题）满足的最大整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
■考点二　一元一次不等式
◇典例4：（2023·浙江·九年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（2022·黑龙江·九年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
2．（2022·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
◇典例5：（2023·绵阳市·中考模拟）解不等式．
◆变式训练
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
2．（2023·四川眉山·一模）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范
围是______．
■考点三　一元一次不等式组
◇典例6：（2023年广东广州中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年四川省德阳市中考数学真题）不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
2.（2023·四川凉山·统考中考真题）不等式组的所有整数解的和是_________．
3．（2023·四川成都·统考中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
◇典例7：（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
◆变式训练
1．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）已知不等式组的解集是，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
2．（2023年四川省眉山市中考数学真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2022·九龙县九年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
2．（2023·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
◇典例9：（2023·辽宁九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
◆变式训练
1．（2023·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
2．（2023·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
■考点四　不等式（组）的实际应用
◇典例11：（2023·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
◆变式训练
1．（2023·湖北黄陂·九年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
◇典例12：（2023·射阳县九年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
◆变式训练
1.（2022·宁波市鄞州区九年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
2．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
◇典例13：（2023·山东济宁市·九年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑(　　)
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
◆变式训练
1．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·浙江绍兴市·九年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电塔，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
◇典例14：（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
◆变式训练
1．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
1．（2023·四川雅安·统考中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年山东省聊城市中考数学真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
5．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
6．（2023年山东省聊城市中考数学真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
7．（2023·四川成都·统考中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
8．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
9．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
10．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
1．（2023·广东·中考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江绍兴市·九年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
3．（2023·浙江杭州·中考模拟）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西·中考模拟）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
5．（2023·湖南九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
6．（2023·四川乐山·中考模拟）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
7．（2023年重庆九年级期中）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
8．（2023·山东·九年级期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
9．（2023·湖北·九年级期末）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？
10．（2023·北京市九年级期末）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ……
脚长（毫米） ……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋号 22 23 24 25 26 27 ……
脚长 ……
脚长 160 165 170 175 180 185 ……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
1．（2023·重庆·校考二模）“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
2．（2023·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
3．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
4．（2023年重庆市中考数学真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________．
6．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
7．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
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