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第四章 图形的认识
复习课
1.能从实物中抽象出几何图形，知道立体图形与平面图形的关系
2.知道线段、射线、直线的概念以及表示方法,知道点与直线的位置关系
3.知道比较线段长短的方法，会用直尺和圆规作两条线段的和与差
4.掌握两个基本事实,并能应用它们解决简单的问题
5.知道角相关的概念以及表示方法,并会进行度、分、秒的换算与计算
立体图形
平面图形
几何图形
线段
角
度量与计算
大小比较
余角与补角
角平分线
两点确定一条直线
两点之间线段最短
同角（或等角)的余角相等
等角（或同角）的补角相等
直线
射线
长短比较
1.几何图形：从各式各样的物体外形中抽象出来的图形，统称为几何图形.
一、几何图形
3.平面图形：有些图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.
2.立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.
二、线段、直线、射线
1.线段:线段有两个端点,一条线段可以用表示它的端点的两个大写字母来表示,也可以用一个小写字母来表示.
2.射线:将线段向一端无限延长形成了射线.射线有一个端点,射线可以用端点和射线上任意一点来表示.
3.直线:将线段向两端无限延长形成了直线,直线没有端点.直线可以用它上面的两个点表示,也可以用一个小写字母表示.
名称 图 表示方法 端点个数 延伸方向 可否度量
线段
射线
直线
联系 线段和射线可以看作是直线的一部分，将线段向一个方向延长得到射线，向两个方向延长得到直线，将射线反向延长得到直线
1.直线AB(或直线BA)2.直线l
向两端无限延伸
0个
不可度量
1.射线AB
2.射线l
向一端无限延伸
1个
不可度量
A
B
l
．
．
1.线段AB(或线段BA)2.线段a
不可延伸
2个
可度量
A
B
l
．
．
A
B
a
．
．
二、线段、直线、射线
4.点与直线有两种位置关系：
点在直线上(直线经过点)，点在直线外(直线不经过点).
5.两条不同的直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.
二、线段、直线、射线
6.直线的基本事实：
过两点有且只有一条直线(或两点确定一条直线)
7.比较线段长短的方法：
比较线段长短的方法有度量法和叠合法.度量法一般用直尺测量,叠合法一般使用圆规.
二、线段、直线、射线
8.线段的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短. （两点之间线段最短）
9.连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离.
11.线段的中点：
点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点.用数学语言表示线段AB、AC、BC之间的关系:AB=BC= AC.
二、线段、直线、射线
10.尺规作图：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图.
三、角
1.角：我们把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所形成的图形叫做角，射线的端点O叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
O
A
B
始边
终边
角的内部
射线原来的位置OA叫做角的始边，旋转后的位置OB叫做角的终边，
从始边旋转到终边所扫过的区域，叫做角的内部.
角的始边和终边统称为角的边，
三、角
2.平角：当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角.
4.通常用符号“∠”来表示角,具体表示方法如下:
3.周角：当射线绕着端点旋转一周，有重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角.
B
O
A
∠AOB，∠BOA或∠O
1
∠1
α
∠α
三、角
5.比较角的大小：
比较两个角的方法有测量法、叠合法.
6.角的平分线：
以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线.
8.一个周角等于360°.一个平角等于180°.
7.角的度量单位:度、分、秒,
它们之间的关系是1°=60'=3600″;1'=60″;1'=( )°;1″= ( )'.
三、角
9.角的分类：
平角的一半(即90°的角)叫做直角.小于直角(即小于90°)的角叫做锐角.大于直角但小于平角(即大于90°但小于180°)的角叫做钝角.
10.余角：
如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角.
三、角
11.补角：
如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角.
12.同角(或等角)的补角相等；同角(或等角)的余角相等.
例1.图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.
正方体
球
长方体
四棱锥
1. 请你分别说出从下列实物中能抽象出的立体图形.
圆锥
球
长方体
球
圆柱
例2.如图，平面内四点A、B、C、D，任意三点都不在同一条直线上，那过其中任意的两点，可画出几条直线(不重复)？
解：对于已知四点，A点与其他三点共可确定3条直线，
过B，C，D也各有3条，
这样共有4×3＝12(条)直线，
但每条都重复一次，
所以应该是 ＝6(条)．
直线是无端点、向两个方向延伸、不可度量的，这就需要区别于线段和射线；其次要理解“两点确定一条直线”这一基本事实.
归纳总结
2.下列说法正确的是（　　）
A．延长线段AB和延长线段BA的含义相同
B．射线AB和射线BA是同一条射线
C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
D．延长直线AB
C
3.分别以点A，B，C，D，E，F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来.
解：图中分别以点A，B，C，D，E，F为端点的线段共有14条，分别为线段AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF.
例3.如图，已知线段a，b， 作一条线段c，使c=2a+b.
b
a
(1)作射线AE；
(2)在直线AE上截取线段AB=BC=a.
B
解：作图步骤如下：
C
(3)在射线CE上截取CD=b，则线段AD即为所求.
A
E
D
c=2a+b
4.已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距离是（ ）
A.8cm B.2cm C.4cm D.8cm或2cm
D
5. 如图,已知线段a,b,c.(a>b)作一条线段使它等于a-b+c;
a
b
c
a-b+c
a
b
解：如图所示：
c
例4.如图，线段AB＝32cm，点C在AB上，且AC∶CB＝5∶3，点D是AC的中点，点O是AB的中点，求DB与OC的长．
【分析】 从图上可以看出DB＝AB－AD，而D是AC的中点，AD＝ AC，结合AC∶CB＝5∶3，AB＝32 cm，故AC和BC可求，OC＝OB－BC＝ AB－BC.
因为O是AB的中点，所以OB＝ AB＝16（cm） ，
所以AC＝ ·AB= = 20 (cm)，
BC＝ ·AB= =12 (cm).
解：因为AC∶CB＝5∶3，AC＋CB＝AB
因为D是AC的中点，所以AD＝ AC＝10 （cm），
所以DB＝AB－AD＝32－10＝22(cm)．
所以OC＝OB－BC＝16－12＝4(cm)，
所以DB＝22 cm，OC＝4 cm.
归纳总结
线段长度计算问题首先找出线段之间存在什么等量关系，所求线段与已知线段的和差或者比例关系；线段中点这一条件也是至关重要的，需要熟练运用.
B
6.如图，已知线段AB=10cm，点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，那么线段MN的长为（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．不能确定
例5.计算．（1）80°-53°17′；（2）180°-34°54′-21°33′．
【分析】根据度分秒的计算解答：两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若满60，则转化为度，注意以60为进制即可得出结果．
解：（1）原式=
79°60'-53°17'
=26°43'；
（2）原式=
145°+35°-34°54′-21°33′
=145°+6′-21°33′
=123°+22°+6′-21°33′
=123°33′．
归纳总结
(2)度分秒的减法:度与度、分与分、秒与秒分别相减,如果不够减,就向前一位借1,借1°就相当于借60',借1'就相当于借60″.
(1)度分秒的加法:度与度、分与分、秒与秒分别相加,计算结束后,满60进1.
7.下列说法正确的是（　　）
A．12°25′+25°47′=39°2′
B．48°15′-30°30′=18°15′
C．58.25°=58°15′
D．42°24′＜42.34°
C
例6.如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OB是∠AOC的平分线，∠AOB=25°，求∠COD的度数．
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据余角的定义列式求出∠BOD，然后计算即可得解．
解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=25°，
∵∠AOB与∠BOD互为余角，
∴∠BOD=90°-∠AOB=90°-25°=65°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=65°-25°=40°．
(2) 锐角和钝角一定互补. （ ）
8.判断
(3) 一个角的补角一定大于这个角. （ ）
(4) 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角的补角相等. （ ）
(1) 钝角的补角一定是锐角. （ ）
√
×
×
√
【分析】设这个角为x°，则这个角的余角=90°-x°，补角=180°-x°，结合题意可得出答案，求解即可．
解：设这个角为x°，
则这个角的余角=90°-x°，补角=180°-x°，
解得：x=60．故选：C．
C
由题意得，90°-x°= （180°-x°）,
9.如果一个角的余角等于这个角的补角的 ,那么这个角是（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．75
10.如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC=42°，∠COE=90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度数．
解：∵点O为直线AB上的一点，∠BOC=42°，
∴∠AOC=180°-42°=138°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOD= ∠AOC=69°，
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=90°-69°=21°，
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=48°．
立体图形
平面图形
几何图形
线段
角
度量与计算
大小比较
余角与补角
角平分线
两点确定一条直线
两点之间线段最短
同角（或等角)的余角相等
等角（或同角）的补角相等
直线
射线
长短比较

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