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第6章 圆周运动 第4讲 第1课时 生活中的圆周运动
课前预习（看教材填空）
一、火车转弯
1．运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有 ，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
2．轨道设计：弯道处外轨略高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是 ，它与重力G的合力水平指向 。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由 来提供。
二、汽车过拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
对桥或凹形路 面的压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对凹形路面的压力
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，所以FN＝mg－m。
2．完全失重状态：当v＝ 时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于 状态。
四、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做 圆心的运动。
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的 。
3．应用：洗衣机 ，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等，分离血液中的血浆和红细胞。
4．防止：汽车在公路转弯处必须 行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
课堂讲解
知识点1、火车转弯问题
(1)火车车轮的结构特点：火车车轮有突出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有突出轮缘的一边在两轨道的内侧，这种结构有助于固定火车运动的轨迹．
(2)铁路的弯道
①如果铁路弯道的内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，如图甲所示．但是火车的质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用太大，铁轨和车轮极易受损．
②如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，减小了轮缘与外轨的挤压．
(3)火车转弯时的规定速度如图所示，若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力，则满足mgtanθ＝m，此时v0＝(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。
由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，即规定速度．
①当火车转弯速度v＝v0时，轮缘对内、外轨均无侧压力．
②当火车转弯速度v>v0时，外轨道对轮缘有向里的侧压力．
③当火车转弯速度v④向心力是水平的．
例1、 (多选)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道连线与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是(重力加速度大小为g)( )
A．轨道半径R＝
B．v＝
C．火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
变式1、(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是(　 )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
知识点2、汽车转弯问题
1．水平面上弯道转弯
汽车在水平路面上转弯时，由静摩擦力提供转弯所需的向心力，μmg≥m，即v≤。在冰雪路面上转弯时，为了安全起见，一要降低速度，二要增大转弯半径。
2．外高内低斜面式弯道转弯
该情境跟火车垫高外轨的情境类似，转弯时所需向心力F向由重力mg和支持力FN的合力提供。如图所示，F向＝mgtanθ＝，可得v＝。
当车速v＞时，车轮仍将受到沿斜面向下的摩擦力(类似于外轨对火车轮缘的弹力)作用；若车速v＜，则车轮受到沿斜面向上的摩擦力(类似于内轨对火车轮缘的弹力)作用。
例2、一质量为1.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，当汽车经过半径为100 m的弯道时，汽车的速度为36 km/h。(1)路面对轮胎的径向静摩擦力为多大？
(2)若路面对轮胎的径向最大静摩擦力为9×103 N，为保障汽车不发生侧滑，汽车转弯的速度不能超过多少？
(3)为防止汽车侧滑，可以在弯道处让路面倾斜，假设某弯道路面倾角为27°，弯道半径为80 m，汽车速度为多大时，路面对轮胎的侧向摩擦力恰好为零？(g取10 m/s2，tan27°≈0.5)
变式2、随着我国综合国力的提升，近几年来我国的公路网发展迅猛．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时，不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tanθ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
知识点3、汽车过拱形桥问题
(1)汽车在过拱形桥时，受到的支持力是变力，因此，汽车受到的合力也是变力，且大小、方向均变化．
(2)汽车在拱形桥的最高点和最低点时，支持力和重力在同一竖直线上，故合力也在此竖直线上．
①汽车过拱形桥的最高点时，汽车对桥的压力小于其重力．
A．如右图所示，此时重力mg和支持力FN的合力提供汽车在该点的向心力．由牛顿第二定律得F＝mg－FN＝m，桥面对其支持力FN＝mg－mB．由F′N＝mg－m可知，汽车的行驶速率越大，汽车对桥面的压力越小；当汽车的速率等于时，汽车对桥面的压力为零，这是汽车在桥顶运动的最大临界速度，超过这个速度，汽车将飞越桥顶．
②汽车通过凹形桥的最低点时，汽车对桥面的压力大于自身重力．
如右图所示，重力mg和支持力FN的合力提供汽车在该点的向心力，由牛顿第二定律得F＝FN－mg＝m，桥面对其支持力FN＝mg＋m>mg.由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力F′N＝FN＝mg＋m>mg，方向竖直向下．可见，此位置汽车对桥面的压力大于自身重力，且汽车行驶的速率越大，汽车对桥面的压力就越大．
例3、一质量m＝2×103 kg的汽车，驶过半径R＝80 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g取10 m/s2。
(1)如图甲，若桥面是凹形，求汽车以20 m/s的速度通过桥的最低点时，对桥面的压力大小。
(2)如图乙，若桥面是拱形，求汽车以10 m/s的速度通过桥的最高点时，对桥面的压力大小。
(3)汽车以多大速度通过拱形桥顶点时，对桥面刚好无压力？
变式3、如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
知识点4、对离心运动的理解
1．从两个角度理解向心力
(1)需要方面：F需＝mωv＝m＝mω2R＝mR。
(2)提供方面：F供为受力分析后沿半径指向圆心方向的合力。
2．离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动、离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定。
(1)若Fn＝mrω2，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
(2)若Fn＞mrω2，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若Fn＜mrω2，即“提供”小于“需要”，物体做半径变大的离心运动。
(4)若Fn＝0，物体沿切线方向飞出，逐渐远离圆心。
注意 (1)产生离心运动是惯性的表现而不是物体受到了“离心力”。
(2)做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去的运动。
例4、下列关于离心现象的说法中正确的是(　　)
A．当物体所受的离心力大于向心力时将产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将做背离圆心的运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将沿切线方向飞出
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将做曲线运动
变式4、(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
课后巩固
1．若火车按规定的速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小的速率转弯时(　 　)
A．仅内轨对车轮有侧压力 B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮均有侧压力 D．内、外轨对车轮均无侧压力
2．火车在拐弯时，对于其向心力的分析正确的是(　 　)
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．主要是由于内、外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
3．在下列四种情况中，同一汽车对凸形桥顶部的压力最小的是(　 　)
A．以较小的速度驶过半径较大的桥 B．以较小的速度驶过半径较小的桥
C．以较大的速度驶过半径较大的桥 D．以较大的速度驶过半径较小的桥
4．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为(g为重力加速度)(　　)
A．v＝k　 B．v≤
C．v≤ D．v≤
5．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应(　 　)
A．以尽可能小的速度通过桥顶 B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶 D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
6．(多选)有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠着筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为(　 　)
A．游客受到与筒壁垂直的压力作用 B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力 D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
7．(多选)在绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星中，下列仪器可以使用的是(　 　)
A．弹簧秤 B．水银气压计 C．水银温度计 D．天平
8．汽车以一定速率通过拱桥，则(　 　)
A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力
C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力 D．汽车所受的合力为零
9．关于离心运动，下列说法中正确的是(　 )
A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B．在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动
C．只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动
D．当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动
10.在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111 m的短道竞赛．运动员比赛过程中在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线．图中圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看成质点)．下列论述正确的是(　 　)
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
11．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关．下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h的部分数据关系：(g取10 m/s2)
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨的高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，推导出h和r关系的表达式，并求出r＝550 m时h的值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力．已知我国铁路内外轨的间距设计值L＝1 320 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数)．（θ很小，根据数学关系有tanθ≈sinθ）（）
12．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处时接到，已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g(不计人和吊篮的大小及重物的质量)．求：
(1)接住前重物下落运动的时间t；
(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v；
(3)乙同学在最低点处对吊篮的压力F.
13.有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，如图所示。取g＝10 m/s2。
(1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，求桥对汽车的支持力的大小；
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，求汽车此时的速度大小；
(3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。此时驾驶员对座椅的压力是多大？驾驶员处于什么状态？
参考答案
课前预习
向心加速度 高 斜向弯道内侧 圆心 重力与支持力的合力
越小 越大
完全失重
远离 向心力 脱水 低速
课堂讲解
答案 BD
解析　对火车转弯时进行受力分析，如图所示，火车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供，则mgtanθ＝m，故转弯半径R＝；转弯时的速度v＝；火车速度小于v时，需要的向心力减小，此时内轨对车轮产生一个向外的作用力，即车轮挤压内轨；若火车速度大于v时，需要的向心力变大，外轨对车轮产生一个向里的作用力，即车轮挤压外轨，车轮对外轨的作用力平行轨道平面向外。故B、D正确。
变式1、答案 AC
解析：当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，选项A正确，B错误；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，选项C正确，D错误．
例2、答案 (1)1 000 N　(2)30 m/s　(3)20 m/s
解析　(1)由题意知v＝36 km/h＝10 m/s
由径向静摩擦力提供向心力得f＝m
解得f＝1 000 N。
(2)由题意得fm＝m。
解得vm＝30 m/s。
(3)当路面对轮胎的侧向摩擦力恰好为零时，由重力和路面支持力的合力提供向心力，即mgtan27°＝m 解得v1＝20 m/s。
变式2、答案 (1)20 m/s　(2)15 m/s
解析 　(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．则有mgtanθ＝m
所以v0＝＝ m/s＝20 m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncosθ，N2＝Nsinθ，f1＝fsinθ，f2＝fcosθ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝mg＝mg
根据F向＝m可得
v＝＝ m/s
＝15 m/s.
例3、答案 (1)3×104 N　(2)1.75×104 N (3)20 m/s
解析　(1)若桥面为凹形，在最低点有
FN1－mg＝m，解得FN1＝3×104 N
根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力大小为3×104 N。
(2)若桥面为拱形，在最高点有
mg－FN2＝m，
解得FN2＝1.75×104 N
根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力大小为1.75×104 N。
(3)当对桥面刚好没有压力时，汽车只受重力，重力提供向心力，根据牛顿第二定律得
mg＝m
解得v＝20 m/s。
变式3、答案 (1)10 m/s　(2)1×105 N
解析：(1)汽车在凹形桥底部时，对桥面压力最大，由牛顿第二定律得
FN－mg＝m，代入数据解得v＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，对桥面压力最小，由牛顿第二定律得
mg－F′N＝，代入数据解得F′N＝1×105 N，
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于1×105 N.
答案 C
解析 当物体所受的合外力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体将做离心运动，因此产生离心现象的原因是F合变式4、答案 BC
解析　若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A项错误；若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于拉力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B项正确，D项错误；若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线方向运动，C项正确。
课后巩固
答案 A
解析：当火车以小于规定的速率转弯时，有下滑趋势，故对内轨有侧压力，由牛顿第三定律，内轨对火车有侧压力，选项A正确．
答案 D
解析：火车以规定速率拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故选项A、B错误；当拐弯时的速率大于(小于)规定速率时，外(内)轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是由重力、支持力和侧压力的合力来提供的，故选项C错误，D正确．
答案 D
解析：汽车在凸形桥顶部时，mg－FN＝，此时压力FN＝mg－，当v较大而r较小时，FN较小，故选项D正确．
答案 B
解析：水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v≤.
答案 B
解析：在桥顶时对汽车受力分析，有mg－FN＝m，得FN＝mg－m，由此可知线速度越大，汽车在桥顶受到的支持力越小，即车对桥的压力越小．
答案 AC
解析：游客随圆筒在水平面内做圆周运动，圆筒弹力提供向心力，A正确，B错误；游客在竖直方向受到的摩擦力和重力平衡，C正确，D错误．
答案 AC
解析：在绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星中，人造卫星的重力完全充当向心力，处于完全失重状态，所以利用重力原理的一切仪器都不能使用，虽然弹簧秤不能测量重力，但可以测量拉力，故选项A、C正确．
答案 C
解析：汽车过拱桥的运动是在竖直面内的圆周运动，因速率一定，故向心力大小不变，汽车所受的合力提供向心力，故汽车所受的合力不为零，选项D错误；在最高点时，汽车的重力与拱桥对汽车的支持力的合力提供向心力，故汽车的重力大于拱桥对汽车的支持力，由牛顿第三定律可得，汽车的重力大于汽车对桥的压力，选项A、B错误，C正确．
答案 D
解析：所谓离心运动是指原来在做圆周运动的物体后来远离圆心，所以选项A错误；离心运动发生的条件是：实际的合力小于做圆周运动所需要的向心力，所以选项B、C错误，D正确．
答案 D
解析：运动员发生侧滑是因为运动员受到指向圆心的合力小于所需要的向心力，A、B错误；若在O点发生侧滑，若向心力突然消失，则沿切线Oa运动，而实际是由于所提供的向心力小于所需要的向心力，因此滑动的方向在Oa与Ob之间，C错误，D正确．
11、答案 (1)hr＝33 m2　60 mm　(2)57 km/h
解析：(1)由题表中数据可知，每组的h与r之积为常数，即hr＝660×50×10－3 m2＝33 m2.所以当r＝550 m时h＝60 mm.
(2)内外轨对车轮都没有侧向压力时，火车的受力分析如图所示．
则F＝mgtanθ＝m
因为θ很小，根据数学关系有tanθ≈sinθ＝
所以v＝＝v＝＝≈15.8 m/s≈57 km/h..
12、答案 (1)2　(2)π (3)mg，方向竖直向下
解析：(1)由2R＝gt2，解得t＝2.
(2)由圆周运动的规律有v＝
由几何关系得s＝　联立解得v＝π.
(3)由牛顿第二定律有F′－mg＝m
解得F′＝mg
由牛顿第三定律可知，乙同学在最低点处对吊篮的压力F＝F′＝mg，方向竖直向下
13、答案 　(1)7 600 N　(2)10 m/s (3)8 000 m/s　0　完全失重状态
解析　(1)以汽车为研究对象，由牛顿第二定律得
mg－FN＝m，代入数据解得
FN＝7 600 N。
(2)当FN＝0时，有mg＝m
得v2＝＝10 m/s。
(3)当汽车速度v3＝时汽车就会“飞”起来，将R＝6.4×106 m代入得v3＝8 000 m/s，
选驾驶员为研究对象，由m′g－FN′＝m′得FN′＝0
根据牛顿第三定律知驾驶员对座椅的压力为0，驾驶员处于完全失重状态。

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