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长方体和正方体的体积解决问题（易错专项突破）
小学数学六年级上册高频期末易错题
在小学数学的学习过程中，期末考试是必须要进行的，也是每个学期最重要的时间段，期末考试不仅是考查本学期学习的课程，同样也是考查前几年知识的综合，因此非常重要，而在期末考试中，解决问题题量大，分值至少占了40%—60%的比例，所以本文档是解决问题专项训练，希望对大家有帮助！
下面开始我们的训练！
一、解答题
1．艺术节期间，要给台阶表面铺红地毯（如图），每节台阶大小一样，至少需要多大面积的红地毯？

2．有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是30厘米，宽是26厘米，高是20厘米，平放时水面高14厘米（下图）。如果把这个容器竖起来放（下图），水的高度会是多少厘米？
3．用木条做一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体框架。
（1）至少需要木条多少分米？（接头处忽略不计）。
（2）在框架的表面贴上彩纸，至少需要彩纸多少平方分米？
（3）请提出一个数学问题，并解答。
4．一个房间长为6米，宽为3.5米，高为3米，门窗面积共8平方米，现在要在这个房间的四壁和顶面粉刷涂料。如果每平方米需用涂料3千克，一共要用涂料多少千克？
5．看图解答。
6．一个养鱼池长60米，宽30米，深2米，现改建成游泳池。
（1）在四壁和底面涂上一层水泥，涂水泥的面积是多少平方米？
（2）如果每立方米水重1吨，这个养鱼池最多可以装水多少吨？
7．一个长方体容器，底面是边长60厘米的正方形。容器里直立着一个高1米的长方体铁块，铁块地面上边长15厘米的正方形。这时水深50厘米。现在把铁块向上提起24厘米，那么露出水面的铁块被水浸湿的部分面积是多少平方厘米？
8．甲、乙两个长方体水箱的底面积分别是150平方厘米和100平方厘米，甲水箱中水深40厘米。乙水箱是空的。现在将甲水箱中的一部分水倒入乙水箱，使这两个水箱的水面高度相等。这时水面高是多少厘米？
9．如图所示，火柴盒是由外盒和内盒组成的，从外面量火柴盒的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、1.5厘米。
（1）一个火柴盒所占空间有多大？
（2）做一个火柴盒外盒，所需要的硬纸板是多少平方厘米？（接头处忽略不计）
10．一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽5厘米，高5厘米，里面装有4厘米高的水（如图）。如果以右面为底竖着放，那么水的高度是多少厘米？
11．如图长方形的纸板，在四个顶点处分别剪去一个边长是a厘米的小正方形，把剩余部分折成一个无盖的长方体容器，怎样设计才能使它的容积最大？请说明理由（尺寸取整厘米数）。
12．如下图是一张长方形铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个长10厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体盒子（连接处忽略不计）。这张长方形铁皮的面积是多少平方厘米？
13．一辆货车，车厢从里面量长4米，宽2.5米，高1.5米，货物堆放的高度是1.2米，已知每立方米货物重1.6吨，那么这辆货车装的货物重多少吨？
14．世园会中“草坪剧场”上搭建的特色帐篷四周喷绘有世界各国的国花，作为文化互动展示区。帐篷设计尺寸如下图，请算一算，每顶帐篷四周的喷绘面积有多少平方米？
15．图中的①和②是两块形状不同的铁皮，将每块铁皮弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶（②号焊接成的是一个底面为正方形的无盖长方体），几号铁桶装水更多一些？请用计算说明。
16．李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。
（1）如果要用彩带把这个礼品盒捆扎起来（扎法如下图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？
（2）做这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸板？
17．一个长方体容器（如图，单位：厘米），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，现在容器内的水深6厘米。如果把这个容器装满水，还需要多少毫升的水？
18．挖一个长方体水池，水池的长16米，宽8米，高2米。在水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？这个水池最多能存水多少立方米？
19．一种酸奶采用长方体包装盒，从外面量，纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高85毫米。盒面上标注“净含量220毫升”，请问标注是否真实？请你按照自己的想法算一算，做出解释。
20．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长12分米，宽5分米，高2分米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）在鱼缸里注入42升的水，这时鱼缸里的水深是多少分米？（玻璃厚度忽略不计）
21．飞翔实验中学建一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深2米。请你算一算：
（1）如果在游泳池的四壁和底部抹水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（2）沿游泳池内壁1.5米高处用白漆画一条水位线，水位线全长多少米？
（3）在这个游泳池内注水至水位线，大约能注水多少立方米？
22．一个长方体形状的游泳池，长20米，宽15米，深1.6米。
（1）挖成这个游泳池共需要挖土多少立方米？
（2）在池内的四周和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？
23．一间教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，门窗和黑板的面积一共是20.5平方米。要粉刷的面积是多少平方米？
24．剧院大门前有10级台阶，每级台阶长16米，宽0.3米，高0.2米。
（1）10级这样的台阶共占地多少平方米？
（2）给这些台阶贴上地砖，至少需要多少平方米的地砖？

25．下面的长方体容器中盛有水，水面高5厘米。将一个棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在容器中的水里，水会溢出吗？请计算说明。

参考答案
1．7.5平方米
【分析】观察图可知，把台阶通过平移可以得到一个长3米、高2米，宽1.5米的长方体，求需要多大面积的红地毯，实际上是求长方体的上面一个面的面积和右面一个面的面积的和，根据公式列式解答即可。
【详解】3×1.5＋1.5×2
＝4.5＋3
＝7.5（平方米）
答：至少需要7.5平方米的红地毯。
【分析】本题主要考查了长方体的每个面的面积的计算，要掌握平移的方法，并能灵活运用面积公式。
2．21厘米
【分析】根据题意可知：平放和竖放容器内的水的体积没变，只是水在容器内体积的形状改变了；先根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积，然后用体积除以竖放时容器的底面积，列式解答即可。
【详解】30×26×14÷（20×26）
＝780×14÷520
＝10920÷520
＝21（厘米）
答：水的高度会是21厘米。
【分析】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键。
3．（1）38分米；（2）59平方分米；（3）见详解
【分析】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（4＋3＋2.5）×4即可求出木条的总长度；
（2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（4×3＋4×2.5＋3×2.5）×2即可求出彩纸的总面积；
（3）提出的问题合理即可，例如：长方体的体积是多少？根据长方体的体积＝长×宽×高，用4×3×2.5即可求出长方体的体积。
【详解】（1）（4＋3＋2.5）×4
＝9.5×4
＝38（分米）
答：至少需要木条38分米。
（2）（4×3＋4×2.5＋3×2.5）×2
＝（12＋10＋7.5）×2
＝29.5×2
＝59（平方分米）
答：至少需要彩纸59平方分米。
（3）问题：长方体的体积是多少？
4×3×2.5＝30（立方分米）
答：长方体的体积是30立方分米。（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了长方体的棱长和、表面积、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
4．210千克
【分析】要求共要多少千克涂料，需知道粉刷涂料的面积，求粉刷涂料的面积就是求房间的前，后，左，右，上5个面的面积减去门窗面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出5个面的面积，再减去门窗面积，求出粉刷的面积，进而解答。
【详解】[6×3.5＋（6×3＋3.5×3）×2－8]×3
＝[21＋（18＋10.5）×2－8]×3
＝[21＋28.5×2－8]×3
＝[21＋57－8]×3
＝[78－8]×3
＝70×3
＝210（千克）
答：一共要用涂料210千克。
【分析】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
5．3.4944千克
【分析】这个零件的体积＝补成长方体后的体积－空白部分长方体的体积，补成长方体后的长宽高分别是20厘米、4厘米、8厘米，空白部分长方体的长宽高分别是12厘米、4厘米、4厘米，根据长方体体积公式能够算出零件的体积，所以这个零件的重量＝这个零件的体积×每立方厘米钢的重量，最后进行单位换算，即1千克＝1000克。
【详解】20×4×8－12×4×4
＝80×8－48×4
＝640－192
＝448（立方厘米）
448×7.8＝3494.4（克）＝3.4944（千克）
答：这个零件重3.4944千克。
【分析】考查长方体的体积计算及立体图形的割补法的应用。
6．（1）2160平方米
（2）3600吨
【分析】（1）求涂水泥的面积就是求长方体养鱼池的底面和四个侧面的面积和；
（2）这个养鱼池最多可以装水多少吨，先计算养鱼池的容积，根据长乘宽乘高计算即可，最后再用容积乘每立方米水重解答。
【详解】（1）
（平方米）
答：涂水泥的面积是2160平方米。
（2）
（立方米）
（吨）
答：养鱼池最多可以装水3600吨。
7．1536平方厘米
【分析】铁块的状态从浸入水中50厘米到提起24厘米，容器内水面高度会下降，可以先求出由于提起而下降的水面高度。那么露出水面的铁块被水浸湿部分的高度等于24厘米与下降高度的和。铁块浸湿部分的面积是四个侧面（底边15厘米，高是浸湿部分高度）的面积，据此解答。
【详解】铁块提起水面下降高度：
（厘米）
铁块浸湿高度：
（厘米）
铁块被水浸湿部分的面积：
（平方厘米）
答：露出水面的铁块被水浸湿的部分面积是1536平方厘米。
8．24厘米
【分析】根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出甲水箱水的体积；甲、乙两个水箱的体积和等于原来甲水箱的体积，高＝体积÷底面积；用甲水箱原来的体积除以甲、乙两水箱的底面积和，即可求出这时水面的高度，据此解答。
【详解】150×40÷（150＋100）
＝6000÷250
＝24（厘米）
答：这时水面高是24厘米。
【分析】解答本题的关键明确两个水箱的水面高度相同，两个水箱的体积和等于原来甲水箱的体积。
9．（1）30立方厘米
（2）55平方厘米
【分析】（1）求一个火柴盒所占空间，就是求这个长方体火柴盒的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答；
（2）求做这个火柴盒外盒，就是去掉左右两侧的面的面积，即求这个长方体四个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽×2＋长×高×2，代入数据，即可解答。
【详解】（1）5×4×1.5
＝20×1.5
＝30（立方厘米）
答：一个火柴盒所占空间有30立方厘米。
（2）5×4×2＋5×1.5×2
＝20×2＋7.5×2
＝40＋15
＝55（平方厘米）
答：所需的硬纸板是55平方厘米。
【分析】利用长方体体积公式以及表面积公式进行解答，注意求表面积需要哪些面的面积。
10．16厘米
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据可求出水箱中水的体积。如果以右面为底竖着放，水的体积不变，长和宽都变为5厘米，用水的体积除以长和宽即可求出水的高度。
【详解】20×5×4÷（5×5）
＝400÷25
＝16（厘米）
答：水的高度是16厘米。
【分析】本题考查长方体体积的应用。明确水的体积不变，据此灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。
11．a＝2厘米时，长方体容积最大；理由见详解
【分析】因为长、宽、高都是整厘米数，且四个角剪去的小正方形均相同，小正方形的边长就是这个长方体盒子的高，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；分别求出当a是1厘米、2厘米、3厘米……，求出长方体的容积，再进行比较，即可解答。
【详解】当a＝1厘米时，这个长方体的长是15－1－1＝13（厘米），宽是11－1－1＝9（厘米），高是1厘米；容积是：
13×9×1
＝117×1
＝117（立方厘米）
当a＝2厘米时，这个长方体的长是15－2－2＝11（厘米），宽是11－2－2＝7（厘米），高是2厘米；容积是：
11×7×2
＝77×2
＝154（立方厘米）
当a＝3厘米时，这个长方体的长是15－3－3＝9（厘米），宽是11－3－3＝5（厘米），高是3厘米；容积是：
9×5×3
＝45×3
＝135（立方厘米）
当a＝4厘米时，这个长方体的长是15－4－4＝7（厘米），宽是11－4－4＝3（厘米），高是4厘米；容积是：
7×3×4
＝21×4
＝84（立方厘米）
当a＝5厘米时，这个长方体的长是15－5－5＝5（厘米），宽是11－5－5＝1（厘米），高是5厘米；容积是：
5×1×5
＝5×5
＝25（立方厘米）
154＞135＞117＞84＞25
当a＝2厘米，长方体的容积最大。
答：当剪去一个边长是2厘米的小正方形时，这个无盖的长方体容器最大。
【分析】解答本题的关键是熟练掌握长方体体积公式，理由长方体体积公式进行解答。
12．286平方厘米
【分析】根据长方形展开图可知：这张长方形铁皮的的长等于长方体盒子的长×2＋高×2，宽等于长方体盒子宽＋高×2，代入数据求出长，宽，再代入长方形面积公式计算即可。
【详解】长：10×2＋3×2
＝20＋6
＝26（厘米）
宽：5＋3×2
＝5＋6
＝11
面积：26×11＝286（平方厘米）
答：这张长方形铁皮的面积是286平方厘米。
【分析】本题主要考查长方体展开图，明确长方形的长宽与长方体盒子长、宽、高的关系是解题的关键。
13．19.2吨
【分析】首先根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出货物的体积，然后用货物的体积乘每立方米货物的质量即可。
【详解】4×2.5×1.2×1.6
＝10×1.2×1.6
＝12×1.6
＝19.2（吨）
答：这辆货车装的货物重19.2吨。
【分析】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
14．30平方米
【分析】观察图形可知：帐篷的下部是长3米、宽3米、高2.5米的长方体，求每顶帐篷四周的喷绘面积也就是求长方体前、后、左、右四个侧面的面积和。因为长方体的长等于宽，所以四个侧面都是长3米、宽2.5米的长方形。根据长方形的面积＝长×宽，用3×2.5先求出1个侧面的面积，再乘4即可求出每顶帐篷四周的喷绘面积。
【详解】3×2.5×4
＝7.5×4
＝30（平方米）
答：每顶帐篷四周的喷绘面积有30平方米。
15．①号铁桶装水多一些
【分析】根据题意，结合图形，先求出每个长方体的长、宽、高，再根据：长方体的体积＝长×宽×高，分别求出两个长方体铁桶的容积，然后进行比较，即可得出结论。
【详解】①100－60＝40（厘米）
100－40－40
＝60－40
＝20（厘米）
40×20×60
＝800×60
＝4800（立方厘米）
②120÷4＝30（厘米）
80－30＝50（厘米）
30×30×50
＝900×50
＝45000（立方厘米）
因为48000立方厘米＞45000立方厘米，所以①号铁桶装水更多一些；
答：①号铁桶装水多一些。
【分析】根据题意找出每个长方体的长、宽、高后求出容积，再比较大小，选容积最大的即可。
16．（1）26分米
（2）59平方分米
【分析】（1）根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长＋两条宽＋4条高再加上打结用的2分米，据此解答；
（2）首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由六个长方形组成，求得这六个面的面积和即可解决问题。
【详解】（1）4×2＋3×2＋2.5×4＋2
＝8＋6＋10＋2
＝26（分米）
答：一共需要彩带26分米。
（2）（4×3＋3×2.5＋2.5×4）×2
＝（12＋7.5＋10）×2
＝29.5×2
＝59（平方分米）
答：做这个礼品盒至少要59平方分米的硬纸板。
【分析】（1）此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和；
（2）是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积。
17．2400毫升
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先计算出高是10厘米长方体的体积，再求出水深是6厘米的体积，再用高是10厘米长方体的体积－水深是6厘米长方体的体积，即可解答。
【详解】30×20×10－30×20×6
＝600×10－600×6
＝6000－3600
＝2400（立方厘米）
2400立方厘米＝2400毫升
答：还需要2400毫升的水。
【分析】熟练掌握长方体体积公式的应用，关键是熟记公式。
18．224平方米；256立方米
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由于游泳池无盖，所以抹水泥的部分是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据容积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。
【详解】
（平方米）
（立方米）
答：抹水泥的面积是224平方米。这个水池最多能存水256立方米。
【分析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
19．标注不真实；见详解
【分析】根据体积、容积的意义可知，容器的体积一定大于它的容积。根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个包装盒的体积，然后与所标注的“净含量”进行比较，然后这个盒子的体积大于所标注的“净含量”，说明标注真实，否则标注就不真实。据此解答即可。
【详解】85毫米＝8.5厘米
6.4×4×8.5
＝25.6×8.5
＝217.6（立方厘米）
217.6立方厘米＜220毫升
答：标注不真实，因为酸奶盒的容积小于220毫升。
【分析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．（1）128平方分米
（2）0.7分米
【分析】（1）由于玻璃鱼缸无盖，所以需要玻璃的面积是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋（ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
（2）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。
【详解】（1）12×5＋（12×2＋5×2） ×2
＝60＋（24＋10） ×2
＝60＋34×2
＝60＋68
＝128（平方分米）
答：做这个鱼缸至少需要玻璃128平方分米。
（2）42升＝42立方分米
42÷（12×5）
＝42÷60
＝0.7（分米）
答：这时鱼缸里的水深是0.7分米。
【分析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
21．（1）1840平方米
（2）170米
（3）2250立方米
【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。
（2）根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，把数据代入公式解答。
（3）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】（1）60×25＋60×2×2＋25×2×2
＝1500＋240＋100
＝1840（平方米）
答：抹水泥部分的面积是1840平方米。
（2）（60＋25）×2
＝85×2
＝170（米）
答：水位线全长170米。
（3）60×25×1.5
＝1500×1.5
＝2250（立方米）
答：大约能注水2250立方米。
【分析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
22．（1）480立方米
（2）412平方米
【分析】（1）求挖成这个游泳池共需要挖土多少立方米，就是求这个长方体游泳池的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答；
（2）求贴瓷砖的面积，就是求长方体游泳池5个面积的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】（1）20×15×1.6
＝300×1.6
＝480（立方米）
答：挖成这个游泳池共需要挖土480立方米。
（2）20×15＋（20×1.6＋15×1.6）×2
＝300＋（32＋24）×2
＝300＋56×2
＝300＋112
＝412（平方米）
答：贴瓷砖的面积是412平方米。
【分析】熟练掌握长方体体积公式、长方体表面积公式是解答本题的关键。
23．158.5平方米
【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出它的5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要粉刷的面积。
【详解】12×5＋（12×3.5＋5×3.5）×2－20.5
＝60＋59.5×2－20.5
＝60＋119－20.5
＝158.5（平方米）
答：要粉刷的面积是158.5平方米。
【分析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．（1）48平方米；（2）80平方米
【分析】（1）根据占地面积＝长×宽，用16×0.3求出每个台阶的占地面积，再乘10即可求出10个台阶的占地面积；
（2）通过平移可知，台阶的贴地砖的面积相当于10个台阶的前面和上面的面积和，据此列式（16×0.3＋16×0.2）×10解答。
【详解】（1）16×0.3×10＝48（平方米）
答：10级这样的台阶共占地48平方米。
（2）（16×0.3＋16×0.2）×10
＝（4.8＋3.2）×10
＝8×10
＝80（平方米）
答：给这些台阶贴上地砖，至少需要80平方米的地砖。
【分析】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用，明确求哪些面的面积是解答本题的关键。
25．水不会溢出。
【分析】用8－5＝3厘米，求出长方体容器内没有水部分长方体的高；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，先求出长方体容器内没有水部分的体积，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再和长方体容器内没有水部分的体积比较，大于没有水部分的体积，水会溢出，小于没有水部分的体积，水不会溢出。
【详解】10×8×（8－5）
＝80×3
＝240（立方厘米）
6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
，水不会溢出。
答：水不会溢出。

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