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第12章　证　明
12.3　互逆命题
基础过关全练
知识点1　互逆命题
1.(2022上海中考改编)下列说法正确的是(　　)
A.命题一定有逆命题
B.真命题的逆命题一定是假命题
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
2.下列各命题的逆命题成立的是(　　)
A.对顶角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是90°,那么这两个角相等
3.命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是　　　　　　.
知识点2　反例
4.【新课标例79变式】能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(　　)
　　A 　　　B
C 　　　D
5.举反例说明下列命题是假命题.
(1)三角形的内角都大于或等于60°;
(2)m2一定是正数;
(3)三条直线两两相交,一定有三个交点.
知识点3　平行线的基本性质
6.【真实情境】某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上时的实物图,图②是其部分示意图,其中AB,CD都与地面l平行,AM∥CB,∠BCD=60°,∠BAC=55°,则∠MAC=(　　)
　
A.55°　　　B.65°　　　C.75°　　　D.80°
7.【新独家原创】【一题多解】如图,我国一艘舰艇在A处测得敌舰在北偏东45°方向的C处,同时另一艘舰艇在B处测得敌舰在北偏西25°的方向上,则∠ACB=　　　　.
8.如图,已知∠DAC+∠ACB=180°,∠1=∠2,∠3=∠4,∠ACF=24°,
∠DAC=4∠5.
(1)求证:CE平分∠BCF;
(2)求∠5的大小.
知识点4　直角三角形的性质与判定
9.(2022湖南岳阳中考)如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的度数是(　　)
A.30°　　　B.40°　　　C.50°　　　D.60°
10.(2023山东烟台期末)如图,直线AB∥CD,且AC⊥CB于点C,若∠BAC=35°,则∠BCD的度数为　(　　)
A.65°　　　B.55°　　　C.45°　　　D.35°
11.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D,若∠1=∠2,则△ABC是(　　)
A.直角三角形　　　
B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　
D.无法确定
12.如图,BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD是　　　　三角形.
13.【教材变式·P160T2】如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.
(1)判断△ACD的形状,并证明;
(2)你在证明(1)中结论的过程中应用了哪一对互逆的真命题
能力提升全练
14.(2023湖北荆州中考,7,★★☆)如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F=47°,则图中∠G的度数是
(　　)
A.80°　　　B.76°　　　C.66°　　　D.56°
15.(2023江苏南通通州期末,12,★☆☆)能作为反例说明命题“如果a>-3,那么a2>9”是假命题的a的一个值可以为　　　　.
16.(2022四川乐山中考,12,★☆☆)如图,已知直线a∥b,∠BAC=90°,∠1=50°,则∠2=　　　　.
17.(2022江苏盐城大丰飞达路中学第一次学情检测节选,25,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数;
(2)过点D作DF∥BE,交AE的延长线于点F,求∠F的度数.
素养探究全练
18.【推理能力】(2023江苏南京期中)如图,在△ABC和△FBC中,∠A≤∠F.点F与点A位于线段BC所在直线的两侧,分别延长AB、AC至点D、E.
　　　
　　　
【特殊化思考】
当∠A=∠F时,请尝试探究:
(1)如图①,当点F在∠A内部时,∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为　　　　;
(2)如图②,当点F在∠A外部时,∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为　　　　;
(3)若CG平分∠ECF,BH平分∠FBD,无论点F在∠A内部(如图③)还是在∠A外部(如图④),都有CG∥BH,请选择一幅图进行证明;
【一般化探究】
当∠A<∠F,且点F在∠A内部时,请尝试探究:
(4)若射线CG、BH分别是∠ECF、∠DBF的n等分线(n为大于2的正整数),且∠ECG=∠ECF,∠HBD=∠DBF,若要使CG∥BH,直接写出∠A与∠F需满足的条件:　　　　　　　　　.
答案全解全析
基础过关全练
1.A　命题一定有逆命题,A选项说法正确.真命题的逆命题不一定是假命题,也不一定是真命题,故B、C选项说法错误.假命题的逆命题不一定是假命题,例如:假命题“角分别相等的三角形全等”,其逆命题是真命题,故D选项说法错误.故选A.
2.C　A.逆命题为“相等的两个角是对顶角”,逆命题不成立;B.逆命题为“如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等”,逆命题不成立;C.逆命题是“同位角相等,两直线平行”,逆命题成立;D.逆命题为“如果两个角相等,那么这两个角都是90°”,逆命题不成立.故选C.
3.答案　如果a=b,那么a2=b2
解析　把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
4.A　A.两个角都是30°,这两个角相等,且这两个角不是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项符合题意.B.两个角都是30°,这两个角相等,但这两个角是对顶角,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.C.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.D.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.故选A.
5.解析　(1)(答案不唯一,合理即可)等腰直角三角形的两个锐角的度数都是45°,且45°<60°,故原命题是假命题.
(2)当m=0时,m2=0,0不是正数,故原命题是假命题.
(3)(答案不唯一,合理即可)如图,三条直线两两相交,但只有一个交点,故原命题是假命题.
6.B　∵AB∥l,CD∥l,∴AB∥CD.
∵∠BCD=60°,
∴∠ABC=∠BCD=60°.
又∵∠BAC=55°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-60°=65°.
∵AM∥CB,∴∠MAC=∠ACB=65°,故选B.
7.答案　70°
解析　方法一:如图,过点C作CD∥AE,因为AE∥BF,所以CD∥AE∥BF,所以∠1=∠A=45°,∠2=∠B=25°,所以∠ACB=∠1+∠2
=70°.
方法二:如图,过点C作直线CD∥AE,因为AE∥BF,所以CD∥AE∥BF,所以∠3+∠A=180°,∠4+∠B=180°,所以∠3=135°,∠4=155°,所以∠ACB=360°-∠3-∠4=360°-135°-155°=70°.
8.解析　(1)证明:∵∠DAC+∠ACB=180°,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AD∥EF,∴EF∥BC,∴∠3=∠5.
∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴CE平分∠BCF.
(2)∵∠DAC+∠ACB=180°,∠DAC=4∠5,∠4=∠5,
∴4∠5+2∠5+∠ACF=180°.
∵∠ACF=24°,∴∠5=26°.
9.C　如图,在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∠DCE=40°,
∴∠CED=90°-40°=50°,
∵l∥AB,∴∠1=∠CED=50°.
10.B　∵AC⊥CB,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-35°=55°,
∵直线AB∥CD,∴∠BCD=∠ABC=55°,故选B.
11.A　∵ED⊥AB,∴∠1+∠A=90°,
∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.故选A.
12.答案　直角
解析　在△DBC中,∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-80°-70°=30°,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,
∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°,
∴△ABD是直角三角形.
13.解析　(1)△ACD是直角三角形.证明如下:
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,
∴△ACD是直角三角形.
(2)应用了“直角三角形的两个锐角互余”“有两个角互余的三角形是直角三角形”这一对互逆的真命题.
能力提升全练
14.C　如图,延长AB交EG于M,延长CD交FG于N,过G作GK∥AB,
∵AB∥CD,∴GK∥AB∥CD,
∴∠KGM=∠EMB,∠KGN=∠DNF,
∴∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF,
∴∠EGF=∠EMB+∠DNF.
∵∠ABE=80°,∠E=47°,
∴∠EMB=∠ABE-∠E=33°.
同理,∠DNF=33°.
∴∠EGF=∠EMB+∠DNF=33°+33°=66°.
故选C.
15.答案　-2(答案不唯一)
16.答案　40°
解析　在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠1=50°,
则∠ACB=90°-50°=40°.∵a∥b,∴∠2=∠ACB=40°.
17.解析　(1)∵∠ACB=90°,∠A=40°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°.
∵BE是∠CBD的平分线,
∴∠CBE=∠CBD=65°.
(2)∵∠BCE=180°-∠ACB=90°,由(1)得∠CBE=65°,
∴∠CEB=90°-65°=25°.
∵DF∥BE,∴∠F=∠CEB=25°.
素养探究全练
18.解析　(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
在△FBC中,∠F+∠FBC+∠FCB=180°,
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F).
∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°,∠DBF+∠ABC+∠FBC=180°,
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF+∠DBF),
∴∠ECF+∠DBF=∠A+∠F.
又∵∠A=∠F,∴∠ECF+∠DBF=2∠A.
故答案为∠ECF+∠DBF=2∠A.
(2)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
在△FBC中,∠F+∠FBC+∠FCB=180°,
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F).
∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°,∠FBC-∠DBF+∠ABC=180°,
∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF-∠DBF),
∴∠ECF-∠DBF=∠A+∠F.
又∵∠A=∠F,∴∠ECF-∠DBF=2∠A.
故答案为∠ECF-∠DBF=2∠A.
(3)若选择图③,
证明:如图,过点F作FM∥CG.
∴∠GCF=∠CFM.
∵CG平分∠ECF,BH平分∠DBF,
∴∠GCF=∠ECF,∠HBF=∠DBF.
由(1)知∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠CFB,
∴∠GCF+∠HBF=(∠ECF+∠DBF)=∠CFB,
∴∠CFM+∠HBF=∠CFB.
∵∠CFM+∠BFM=∠CFB,
∴∠HBF=∠BFM,∴FM∥BH,∴CG∥BH.
若选择图④,
证明:如图,设BF与CG交于点N.
∵CG平分∠ECF,BH平分∠DBF,
∴∠GCF=∠ECF,∠HBF=∠DBF.
同(2)可得∠DBF-∠ECF=2∠A.
∵∠A=∠F,∴∠DBF-∠ECF=2∠F,
∴∠HBF-∠GCF=(∠DBF-∠ECF)=∠F.
∵∠FNG是△FCN的一个外角,
∴∠FNG=∠GCF+∠F,即∠FNG-∠GCF=∠F,
∴∠FNG=∠HBF,∴CG∥BH.
(4)如图,过点F作FM∥CG,连接AF.
∵CG∥BH,∴FM∥BH.
∵FM∥CG,∴∠GCF=∠CFM.
∵FM∥BH,∴∠HBF=∠BFM.
又∵∠ECG=∠ECF,∠HBD=∠DBF,
∴∠GCF=∠ECF,∠HBF=∠DBF,
∴∠BFC=∠CFM+∠BFM=∠GCF+∠HBF
=∠ECF+∠DBF=(∠ECF+∠DBF).
又∵∠ECF=∠CAF+∠AFC,∠DBF=∠BAF+∠AFB,
∴∠ECF+∠DBF=∠CAF+∠AFC+∠BAF+∠AFB=∠BAC+∠BFC,
∴∠BFC=(∠BAC+∠BFC),
∴∠BFC=(n-1)∠BAC,
故答案为∠BFC=(n-1)∠BAC.

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