资源简介

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3.2三角恒等变换
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 3
考点一：两角和与差的三角函数 3
考点二：二倍角公式 9
考点三：降幂公式 12
考点四：三角恒等变换的化简问题 16
考点五：给角求值问题 21
考点六：给值求值问题 23
考点七：给值求角问题 26
考点八：三角形与三角恒等变换 29
【真题在线】 33
【专项突破】 44
考点 考情分析 考频
三角恒等变换 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全国甲卷T9 3年5考
三角函数的图象与性质 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全国乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全国甲卷T11 2022年全国乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全国甲卷T16 3年9考
三角函数的图象变换与解析式 2023年全国甲卷T10 2021年全国乙卷T7 2年2考
同角三角函数的基本关系 2023年全国甲卷T7
三角函数的诱导公式 2023年全国甲卷T13
预测：三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心.近几年全国卷都有所考察，考察的难度整体中等偏下.二轮复习时建议做好基础的同时适当的提升试题的灵活度.
考点一：两角和与差的三角函数
【典例精析】（多选）（2023·河北保定·统考二模）如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（ ）

A．的大小为 B．面积的最小值为
C．长度的最小值为 D．点到的距离可以是
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·河南新乡·统考一模），，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在单调递增
三、填空题
4．（2023·四川宜宾·统考一模）已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为 ．
5．（2023上·山西·高三校联考期中）已知，，则 ．
【解题技巧】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点二：二倍角公式
【典例精析】（多选）（2023·吉林长春·统考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
3．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．若锐角满足，则
4．（2023·山西·校联考模拟预测）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【解题技巧】
二倍角公式的关注点
(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等.
(2)注意倍角公式的正用、逆用、活用，尤其是倍角公式的变形.
(3)看结构：掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名称和结构的特点，如系数、次数等.
考点三：降幂公式
【典例精析】（多选）
（2021·广东珠海·统考二模）已知函数，则（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的一个增区间是
D．把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为 ．
5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则 .
【解题技巧】
1.已知θ的某个三角函数值，求关于的三角函数值的步骤：
(1)根据θ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值；
(2)注意的取值范围，代入半角公式计算.
2.注意公式的选取：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.
考点四：三角恒等变换的化简问题
【典例精析】（多选）（2023·江西景德镇·统考一模）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．存在，使得恒成立
D．在上单调递增
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
二、多选题
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
三、填空题
4．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
【解题技巧】
1.观察分析三角函数式中的各角的联系(互余或互补)，可以利用诱导公式变角和变名，对三角函数式进行化简.
2.观察三角函数式的名称和结构，灵活对公式进行正用、逆用或变形用.
3.本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到化简与证明的目的.
考点五：给角求值问题
【典例精析】（2022上·广东茂名·高一统考期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020上·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东汕头·统考二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题技巧】
求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
考点六：给值求值问题
【典例精析】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）若，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．或 D．1或
3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）若，则 ．
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若，且，则 ．
【解题技巧】
注意角的取值范围，结合角所在的范围，准确的求解角的值.
考点七：给值求角问题
【典例精析】（多选）（2023·福建三明·统考三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A． B． C．或 D．
二、填空题
4．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
5．（2022·河北石家庄·统考一模）已知角，，则 .
【解题技巧】
在三个三角函数中合理的求解其中的某个三角函数有利于准确的求出角.
考点八：三角形与三角恒等变换
【典例精析】（多选）（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练】
一、单选题
1．（2020·浙江·校联考模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，则角
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2020·广东广州·统考二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江宁波·校联考模拟预测）已知非零实数的绝对值全不相等，那么满足“”的（ ）
A．仅有一组 B．仅有二组 C．仅有三组 D．有无穷多组
4．（2023·四川凉山·二模）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中,如果,那么的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【解题技巧】
在解决与三角形有关的问题时，首先搞清楚角的限制范围，防止求解的结果出现多根与少根的情况.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
10．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
11．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
14．（2021·全国·统考高考真题）（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考一模），，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川乐山·统考一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川攀枝花·统考一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
8．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．的图象关于点中心对称
C．的所有零点为
D．是以为周期的函数
三、填空题
9．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
10．（2023·全国·模拟预测）若，则 ．
11．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，，若的图像是中心对称图形，则 ，对称中心的坐标为 ．
四、解答题
12．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.
(1)求角；
(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积.
13．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．
14．（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知．
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
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3.2三角恒等变换
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 3
考点一：两角和与差的三角函数 3
考点二：二倍角公式 9
考点三：降幂公式 12
考点四：三角恒等变换的化简问题 16
考点五：给角求值问题 21
考点六：给值求值问题 23
考点七：给值求角问题 26
考点八：三角形与三角恒等变换 29
【真题在线】 33
【专项突破】 44
考点 考情分析 考频
三角恒等变换 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全国甲卷T9 3年5考
三角函数的图象与性质 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全国乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全国甲卷T11 2022年全国乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全国甲卷T16 3年9考
三角函数的图象变换与解析式 2023年全国甲卷T10 2021年全国乙卷T7 2年2考
同角三角函数的基本关系 2023年全国甲卷T7
三角函数的诱导公式 2023年全国甲卷T13
预测：三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心.近几年全国卷都有所考察，考察的难度整体中等偏下.二轮复习时建议做好基础的同时适当的提升试题的灵活度.
考点一：两角和与差的三角函数
【典例精析】（多选）（2023·河北保定·统考二模）如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（ ）

A．的大小为 B．面积的最小值为
C．长度的最小值为 D．点到的距离可以是
【答案】BC
【分析】选项A：设线段、的长度分别为、，可得，可得，设，可得，可得；
选项B：设可得，由可得；
选项C：由，根据基本不等式可得；
选项D：根据线段、的长度分别为、，可得直线的方程为
，根据距离公式可得距离为.
【详解】选项A：
设线段、的长度分别为、，，
则，，
因为的周长为定值，所以．
则由勾股定理得，即，
又因为，，于是
因为，所以即，故A错误；
选项B：
设，则，，，
因为所以，即，
故，故B正确；
选项C：由A选项的推理可知，
所以，所以，即
又因得，当且仅当即时等号成立，故C正确；
选项D：
以为轴正向，为轴正向建立平面直角坐标系，
又选项A可知：，，，，
则直线的方程为，即，
即，
则C点到直线的距离
故D错误．
故选：BC
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
【详解】，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故选：B
2．（2023·河南新乡·统考一模），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式计算即得.
【详解】由，得，即，而，
所以.
故选：A
二、多选题
3．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在单调递增
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断CD.
【详解】由题知，定义域为，
，
所以是奇函数，故A正确；
因
，
所以是的周期，故B错；
，
当且仅当时，等号成立，
由得，
即，所以，故C正确；
因，
，
则，
所以在上不是单调递增的，故D错.
故选：AC
三、填空题
4．（2023·四川宜宾·统考一模）已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】由题意首先得出，结合诱导公式、两角和差的正弦公式算出，进一步可以算出，结合以及正弦定理即可算出，最终根据三角形面积公式即可求解.
【详解】因为A、C、B成等差数列，所以，即，
又，
所以，
解得，则，因为，即，
所以，
又，
所以由正弦定理有，即，解得，
所以的面积为.
故答案为：.
5．（2023上·山西·高三校联考期中）已知，，则 ．
【答案】
【分析】由二倍角正切公式可求得，由，利用两角和差正切公式可求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
【解题技巧】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点二：二倍角公式
【典例精析】（多选）（2023·吉林长春·统考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先将两边平方，结合，得出，结合得出，再计算出，即可求出和，根据同角三角函数的商数关系，二倍角的余弦公式和正切公式，两角的余弦公式分别计算即可判断各选项．
【详解】由得，，则，
因为，，
所以，所以，
由，解得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
，即，
解得或（舍去），故C正确；
对于D，，故D错误，
故选：BC．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式，结合角的范围，即可求得答案.
【详解】由题意，
则，
所以，即，
又因为，
所以，
则，
所以.
故选：C
2．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果.
【详解】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故选：B.
二、多选题
3．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．若锐角满足，则
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式化简即可判断A；利用二倍角公式和辅助角公式化简等式即可判断B；两边平方，结合二倍角公式可判断C；利用基本关系式求，结合正切的两角和公式可判断D.
【详解】因为，所以，A正确．
因为，所以B错误．
将方程两边平方，得，解得，C正确．
因为，所以，，
则，D正确．
故选：ACD
4．（2023·山西·校联考模拟预测）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2
【答案】AC
【分析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判断；C、D根据的区间单调性求最小值即可判断.
【详解】A：，正确；
B：因为，所以或，错误；
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为2，当时，的最小值为，C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【分析】先根据二倍角公式化简原方程，然后结合求解出结果.
【详解】因为，
所以，
而，故，，
则，
又，得，
由，知，
故答案为：.
【解题技巧】
二倍角公式的关注点
(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等.
(2)注意倍角公式的正用、逆用、活用，尤其是倍角公式的变形.
(3)看结构：掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名称和结构的特点，如系数、次数等.
考点三：降幂公式
【典例精析】（多选）
（2021·广东珠海·统考二模）已知函数，则（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的一个增区间是
D．把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像
【答案】ACD
【分析】化简函数的表达式，再逐一验证各选项即可得解.
【详解】依题意：，
对于A选项：的周期，即A正确；
对于B选项：因，则不是函数的对称轴，即B不正确；
对于C选项：得，
即单调递增区间是，k=0时，是的一个增区间，即C正确；
对于D选项：函数的图像向左平移个单位得，即D正确.
故选：ACD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】由，则，
即，即，
解得或，
因为，所以，
则，
所以.
故选：D.
2．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得函数在时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
【详解】因为满足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因为，，
所以，所以，，
，
因为，所以.
故选：D.
二、多选题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由，得，利用三角换元转化为三角函数问题，从而得出结果.
【详解】解：由，得，
令，得.
选项A：，故A正确；
选项B：因为，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：
，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定等式求出三角形的内角C，再利用正弦定理及三角恒等变换、三角函数性质求解作答.
【详解】因，显然，，
锐角中，，，则，
令，由得：，
由正弦定理得，，
因此，
而，则，即有，
所以的取值范围为.
故答案为：.
5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则 .
【答案】/
【分析】首先根据三角恒等变换得，再利用平移的原则得到解析式为，最后根据其对称性即可得到答案.
【详解】因为，
就函数图象向右平移个单位后得到，
又因为函数图象关于原点对称，所以，，
因为，所以的值是.
故答案为：.
【解题技巧】
1.已知θ的某个三角函数值，求关于的三角函数值的步骤：
(1)根据θ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值；
(2)注意的取值范围，代入半角公式计算.
2.注意公式的选取：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.
考点四：三角恒等变换的化简问题
【典例精析】（多选）（2023·江西景德镇·统考一模）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、数量积、模长的坐标表示列方程或不等式，结合三角恒等变换及正余弦型函数的性质求值或范围，判断各项正误.
【详解】A：若，则，，则，
所以，错；
B：若，则，而，对；
C：若，则，故，，则或，
所以或，错；
D：若，则，可得，，
所以，故，对；
故选：BD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．存在，使得恒成立
D．在上单调递增
【答案】C
【分析】结合函数关系得到判断A；对赋值成化简得到判断B；假设成立，赋值验证，判断C；对在上化简得到单调性判断D.
【详解】A选项： ，
当且仅当，即等号成立，故A正确．
B选项：因为
，所以的图象关于点对称，B正确．
C选项：若存在，使得恒成立，
取，得，即；
取，得，即．
所以，由，得，（注意的定义域为）
所以，由B选项知，得，不符合题意，
所以不存在，使得恒成立，C错误．
D选项：当时，单调递增，D正确．
故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
【答案】B
【分析】根据三角函数的平移变换求出的表达式，然后依次判断各个选项即可．
【详解】因为，
所以，
由，得，，则，，又，所以，
所以，．
对于A：，所以不是奇函数，A错误；
对于B：当时，，，B正确；
对于C：因为，所以的图像不关于点对称，C错误；
对于D：当时，，根据函数的图像与性质可知，在上不单调，D错误．
故选：B.
二、多选题
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简可得的解析式，结合余弦函数的最值可判断A；利用代入验证法可判断B，C；结合余弦函数的单调性可判断D.
【详解】由题意得
，
故的最小值为，A正确；
将代入中，得，
即的图象关于点对称，B错误；
将代入中，得，
即此时取到最小值，即直线是图象的一条对称轴，C正确；
当时，，由于在上单调递减，
故在区间上单调递减，D正确，
故选：ACD
三、填空题
4．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用三角恒等变换将化简，再结合的图像和性质得解.
【详解】
，
，
，
设，，
有三个极值点和三个零点，由的性质可得，
，.
故答案为：.
5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.
【详解】由正弦定理得，
因为，所以，即，可得.
因为，所以，得，解得.
，化简得，
由正弦定理 余弦定理，得，化简得，
由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.
故答案为：
【解题技巧】
1.观察分析三角函数式中的各角的联系(互余或互补)，可以利用诱导公式变角和变名，对三角函数式进行化简.
2.观察三角函数式的名称和结构，灵活对公式进行正用、逆用或变形用.
3.本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到化简与证明的目的.
考点五：给角求值问题
【典例精析】（2022上·广东茂名·高一统考期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
2．（2021·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角恒等变换求的值，再利用作差法比较的大小.
【详解】，
，
∵，则，
又∵，则
，则，即
∴
故选：C.
3．（2020上·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
4．（2022·广东汕头·统考二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
【解题技巧】
求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
考点六：给值求值问题
【典例精析】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）若，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设则，，利用诱导公式及二倍角公式求出，即可得解.
【详解】设，因为，则，，
所以，所以，
因为，所以，即.
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．或 D．1或
【答案】B
【分析】由二倍角公式及商数关系化已知为关于的方程，求得后，再求．
【详解】由，及，得，
即，所以或．
若，则，没有意义，
所以．
故选:B．
3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式得到，从而求出，再由二倍角公式求出、，再由计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
.
所以
.
故选：D.
二、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
故答案为：
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若，且，则 ．
【答案】/
【分析】结合角的范围和同角三角函数的基本关系，先求出角的正弦与余弦，再将所求式子利用二倍角公式转化为角的正余弦，代入求值即可.
【详解】因为，
联立，解得，
则．
故答案为：.
【解题技巧】
注意角的取值范围，结合角所在的范围，准确的求解角的值.
考点七：给值求角问题
【典例精析】（多选）（2023·福建三明·统考三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
【答案】（满足或的其中一值）
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故答案为：（满足或的其中一值）.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为，
又因为，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，是方程的两根，
所以
所以，
因为
所以且，
所以，所以，
所以，
故选:B.
二、填空题
4．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
【答案】
【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.
【详解】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
5．（2022·河北石家庄·统考一模）已知角，，则 .
【答案】
【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
【解题技巧】
在三个三角函数中合理的求解其中的某个三角函数有利于准确的求出角.
考点八：三角形与三角恒等变换
【典例精析】（多选）（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.
【详解】由题知，，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以的形状为直角三角形，
故选：A
【变式训练】
一、单选题
1．（2020·浙江·校联考模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，则角
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【分析】将已知通过余弦定理化简，得到或，同时由另一已知条件舍去，再由正弦定理进行边角互化，通过两角和的三角函数公式及诱导公式进行求解．
【详解】由余弦定理，
得，
因而或．
又，所以，从而，即．
由正弦定理，得，
则，从而，
所以，所以在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换及诱导公式等三角函数公式，考查考生的基本运算能力．
2．（2020·广东广州·统考二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值．
【详解】解：，，，
由正弦定理,可得,可得，
，设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，
又，可得，
可得，，可得，
，则为锐角，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.
3．（2020·浙江宁波·校联考模拟预测）已知非零实数的绝对值全不相等，那么满足“”的（ ）
A．仅有一组 B．仅有二组 C．仅有三组 D．有无穷多组
【答案】D
【分析】根据正切恒等式说明即可；
【详解】解：令，，
因为
当，时， 满足
因为，所以，
所以
所以
所以有无穷多组满足
故选：D
【点睛】本题考查正切恒等的应用，考查转化思想，属于中档题.
4．（2023·四川凉山·二模）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】根据正弦定理可得，
所以
所以，
即，
整理得，则或，
因为，，，，
则或，即或，所以由不能推出；
当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，
故p是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中,如果,那么的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】D
【分析】将写为,将写为,代入题中式子,展开化简,即可得均为锐角,但无法确定大小,由此选出结果.
【详解】解:由题知,因为中,
所以
,
故,即均为锐角,
但无法确定大小,故的形状不能确定.
故选:D
【解题技巧】
在解决与三角形有关的问题时，首先搞清楚角的限制范围，防止求解的结果出现多根与少根的情况.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
7．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
8．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
9．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
10．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
11．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
12．（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
13．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
14．（2021·全国·统考高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
15．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考一模），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式计算即得.
【详解】由，得，即，而，
所以.
故选：A
2．（2023·四川乐山·统考一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】，
所以.
故选：C
3．（2023·四川攀枝花·统考一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】由，则，
即，即，
解得或，
因为，所以，
则，
所以.
故选：D.
4．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换化简，即可根据整体法求解.
【详解】由可得，
当时，，
要使在区间上的值域是，
则，解得，
故选：A
6．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果.
【详解】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故选：B.
二、多选题
7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
【答案】BD
【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】对于A中，若，可得
因为，可得，解得，
又因为时，，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为，可得，所以，
又因为，所以，
则，所以B正确；
对于C中，由，
则，所以C错误；
对于D中，因为，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
8．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．的图象关于点中心对称
C．的所有零点为
D．是以为周期的函数
【答案】AC
【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角公式运算求解；对于D：举例说明即可.
【详解】对于A：因为，
所以的图象关于直线轴对称，故A正确；
对于B：因为，，所以的图象不关于点中心对称，B错误.
对于C：因为，
注意到，
令，得，即，
故的所有零点为，故C正确；
对于D：因为，所以不是的周期，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
9．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
【答案】
【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.
【详解】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
10．（2023·全国·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
故答案为：
11．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，，若的图像是中心对称图形，则 ，对称中心的坐标为 ．
【答案】 0 （）
【分析】先进行向量数量积运算表示出，再利用三角恒等变换将函数解析式化简，结合函数的对称性即可得解；根据正弦函数的对称中心整体代换进行求解.
【详解】因为，，
当（）时，，
此时的图像是中心对称图形，
则（）．
令，则（），解得（），
所以对称中心的坐标为（）．
故答案为：0；
四、解答题
12．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.
(1)求角；
(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理或余弦定理实现边角互化，从而求角的大小；
（2）用余弦定理结合三角形面积公式求解.
【详解】选①：由，
得，
因为，则，
可得，
所以.
选②：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
选③：由得
则
即，
且，可知，则，
解得，即，
，故.
（2）由，得，
即.
由余弦定理得，所以.
解得（舍去）或，所以.
13．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；
（2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,
【详解】（1）
，
由题意知，的最小正周期为，所以，解得，
∴，
令，解得
取，则取，则，
所以在上的单调递增区间为．
（2）由（1）知，
当时，，
由的对称性可知，解得，
所以.
14．（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知．
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间；
（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.
【详解】（1），.
因为，，所以，
故函数在单调增区间为；
（2）将向左平移个单位得到
将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到，
又因为的图象关于直线对称，则，
解得：
因为，所以当时，，
故.
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